Теорема коммандино - Commandinos theorem

Медианы тетраэдра, пересекающегося в точке ${\displaystyle S}$ (его центроид), так что
${\displaystyle {\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}={\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}}$

Теорема Коммандино, названный в честь Федерико Коммандино (1509–1575), утверждает, что четыре медианы из тетраэдр параллельны в точке S, что делит их в соотношении 3: 1. В тетраэдре медиана - это отрезок прямой, соединяющий вершину с центроид противоположного лицо - то есть центр тяжести противоположного треугольника. Смысл S также центр тяжести тетраэдра.^[1][2][3]

Теорема приписывается Коммандино, который в своей работе заявил De Centro Gravitatis Solidorum (Центр тяжести твердых тел, 1565 г.), что четыре медианы тетраэдра совпадают. Однако, по словам ученого XIX века Гийома Либри, Франческо Мауролико (1494–1575) утверждали, что нашли результат раньше. Тем не менее Либри считал, что это было известно еще раньше Леонардо да Винчи, который, похоже, использовал его в своей работе. Джулиан Кулидж разделяет эту оценку, но отмечает, что не может найти никакого явного описания или математической трактовки теоремы в трудах да Винчи.^[4] Другие ученые предполагали, что результат, возможно, был известен греческим математикам еще в древности.^[5]

Обобщения

Теорема Коммандино имеет прямой аналог для симплексы любой измерение:^[6]

Позволять ${\displaystyle \Delta }$ быть ${\displaystyle d}$-симплекс некоторого измерения ${\displaystyle d>1}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(d,n\in \mathbb {N} ,n\geq d)}$ и разреши ${\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{p}}$ быть его вершинами. Кроме того, пусть ${\displaystyle \ell _{0},\ell _{1},\ldots ,\ell _{d}}$, быть медианами ${\displaystyle \Delta }$, линии, соединяющие каждую вершину ${\displaystyle V_{i}}$ с центром тяжести противоположного ${\displaystyle (d-1)}$-размерный грань ${\displaystyle V_{0}\ldots V_{i-1}V_{i+1}\ldots V_{d}}$. Затем эти линии пересекают друг друга в точке ${\displaystyle S}$, в соотношении ${\displaystyle d:1}$.

Полная общность

Первый аналог легко доказать с помощью следующего, более общего результата, аналогичного способу рычаги по физике работают:^[7]

Позволять ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle k}$ быть натуральные числа, так что в ${\displaystyle \mathbb {R} }$-векторное пространство ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, ${\displaystyle m+k}$ попарно разные точки ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m},Y_{1},\dots ,Y_{k}\in {\mathcal {V}}}$ даны.

Позволять ${\displaystyle S_{X}}$ быть центром тяжести точек ${\displaystyle X_{i}\;(i=1,\dots ,m)}$, позволять ${\displaystyle S_{Y}}$ быть центром тяжести точек ${\displaystyle Y_{j}\;(j=1,\dots ,k)}$, и разреши ${\displaystyle S}$ быть центроидом всех этих ${\displaystyle m+k}$ точки.

Тогда есть

${\displaystyle S=S_{X}+{\frac {k}{m+k}}(S_{Y}-S_{X})={\frac {m}{m+k}}S_{X}+{\frac {k}{m+k}}S_{Y}.}$

В частности, центроид ${\displaystyle S}$ лежит на линии ${\displaystyle {\overline {{S_{X}}{S_{Y}}}}}$ и делит его в соотношении ${\displaystyle k:m}$.

Теорема реуша

Предыдущая теорема имеет и другие интересные следствия, отличные от упомянутого выше обобщения теоремы Коммандино. Его можно использовать для доказательства следующей теоремы о центроиде тетраэдра, впервые описанной в Mathematische Unterhaltungen немецким физик Фридрих Эдуард Ройш:^[8][9]

Центроид тетраэдра можно найти, взяв средние точки двух пар двух противоположных края и соединение соответствующих средних точек через их соответствующую среднюю линию. Точка пересечения обеих срединных линий будет центроидом тетраэдра.

Так как тетраэдр имеет шесть ребер в трех противоположных парах, получаем следующее следствие:^[8]

В тетраэдре три средние линии, соответствующие средним точкам противоположных краев, равны одновременный, а их точка пересечения - центр тяжести тетраэдра.

Теорема Вариньона

Частный случай теоремы Ройша, когда все четыре вершины тетраэдра равны копланарный и лежат на одной плоскости, тем самым превращаясь в четырехугольник, Теорема Вариньона, названная в честь Пьер Вариньон, утверждает следующее:^[10][11]

Пусть четырехугольник в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ быть данным. Затем две средние линии, соединяющие середины противоположных краев, пересекаются в центре тяжести четырехугольника и делятся им пополам.

Рекомендации

1. Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Математическая космическая одиссея: сплошная геометрия в 21 веке. Математическая ассоциация Америки, 2015 г., ISBN  9780883853580, стр. 97–98
2. Натан Альтшиллер-Корт: Тетраэдр и его описанный параллелепипед. Учитель математики, Vol. 26, No. 1 (ЯНВАРЬ 1933), pp. 46–52 (JSTOR )
3. Норман Шаумбергер: Теорема Коммандино. Двухлетний математический журнал колледжа, Vol. 13, No. 5 (ноябрь 1982 г.), стр. 331 (JSTOR )
4. Натан Альтшиллер Корт: Примечания к центроиду. Учитель математики, Vol. 53, No. 1 (ЯНВАРЬ 1960), pp. 34 (JSTOR )
5. Ховард Ивс: Великие моменты в математике (до 1650 г.). МАА, 1983 г., ISBN  9780883853108, п. 225
6. Эгберт Харцхейм (1978). Einführung in die kombinatorische Topologie (на немецком). Дармштадт: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. п. 33. ISBN  3-534-07016-X.
7. Эгберт Харцхейм (1978), Einführung in die Kombinatorische Topologie (на немецком языке), Дармштадт, стр. 31, ISBN  3-534-07016-X
8. Фридрих Иосиф Пифагор Рике (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Zweites Heft. 1973, с. 100, 128
9. В логове Mathematische Unterhaltungen (Zweites Heft, S. 128) wird auf die S. 36 von Reuschs Abhandlung Der Spitzbogen verwiesen.
10. Coxeter, op. соч., С. 242
11. ДУДЕН: Rechnen und Mathematik. 1985, с. 652

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Коммандино». MathWorld.
• Пара хороших расширений медианных свойств