Коалгебра Cofree - Cofree coalgebra

В алгебра, то cofree коалгебра из векторное пространство или же модуль это коалгебра аналог свободная алгебра векторного пространства. Кофсвободная коалгебра любого векторного пространства над поле существует, хотя он сложнее, чем можно было бы ожидать по аналогии со свободной алгеброй.

Определение

Если V векторное пространство над полем F, то свободная коалгебра C (V), из V, является коалгеброй вместе с линейная карта C (V) → V, такое, что любое линейное отображение из коалгебры Икс к V факторов через гомоморфизм коалгебр из Икс к C (V). Другими словами, функтор C является правый смежный к забывчивый функтор от коалгебр к векторным пространствам.

Кофсвободная коалгебра векторного пространства всегда существует и единственна с точностью до канонический изоморфизм.

Коф-свободная кокоммутативная коалгебра определяется аналогичным образом и может быть построена как самая большая кокоммутативная коалгебра в кокоммутативной коалгебре.

Строительство

C (V) можно построить как завершение из тензорная коалгебра Т(V) из V. За k ∈ N = {0, 1, 2, ...}, пусть Т^kV обозначить k-складывать тензорная мощность из V:

${\displaystyle T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V,}$

с Т⁰V = F, и Т¹V = V. потом Т(V) это прямая сумма из всех Т^kV:

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V=\mathbb {F} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots .}$

В добавок к градуированная алгебра структура, заданная изоморфизмами тензорного произведения Т^jV ⊗ Т^kV → Т^j+kV за j, k ∈ N, Т(V) имеет градуированную структуру коалгебры Δ: Т(V) → Т(V) ⊠ Т(V) определяется расширением

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{k}):=\sum _{j=0}^{k}(v_{0}\otimes \dots \otimes v_{j})\boxtimes (v_{j+1}\otimes \dots \otimes v_{k})}$

по линейности ко всем Т(V).

Здесь символ тензорного произведения ⊠ используется для обозначения тензорного произведения, используемого для определения коалгебры; его не следует путать с тензорным произведением ⊗, которое используется для определения оператора билинейного умножения тензорной алгебры. Эти двое действуют в разных пространствах, на разных объектах. Дополнительное обсуждение этого вопроса можно найти в тензорная алгебра статья.

В приведенной выше сумме используется трюк с короткой рукой, определяющий ${\displaystyle v_{0}=v_{k+1}=1\in \mathbb {F} }$ быть единицей в поле ${\displaystyle \mathbb {F} }$. Например, этот трюк с короткими руками дает в случае ${\displaystyle k=1}$ в приведенной выше сумме результат, который

${\displaystyle \Delta (v)=1\boxtimes v+v\boxtimes 1}$

за ${\displaystyle v\in V}$. Аналогично для ${\displaystyle k=2}$ и ${\displaystyle v,w\in V}$, получается

${\displaystyle \Delta (v\otimes w)=1\boxtimes (v\otimes w)+v\boxtimes w+(v\otimes w)\boxtimes 1.}$

Обратите внимание, что нет необходимости когда-либо писать ${\displaystyle 1\otimes v}$ поскольку это просто старое скалярное умножение в алгебре; то есть очевидно, что ${\displaystyle 1\otimes v=1\cdot v=v.}$

С обычным продуктом это сопродукт не делает Т(V) в биалгебра, но вместо этого двойной к структуре алгебры на Т(V^∗), куда V^∗ обозначает двойное векторное пространство линейных карт V → F. Его можно превратить в биалгебру с произведением ${\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}=(i,j)v_{i+j}}$ куда (я, j) обозначает биномиальный коэффициент ${\displaystyle {\tbinom {i+j}{i}}}$. Эта биалгебра известна как алгебра Хопфа с разделенной степенью. Произведение двойственно структуре коалгебры на Т(V^∗), что делает тензорную алгебру биалгеброй.

Здесь элемент Т(V) определяет линейную форму на Т(V^∗) с использованием невырожденные пары

${\displaystyle T^{k}V\times T^{k}V^{*}\to \mathbb {F} }$

индуцированный оценкой, и двойственность между копродуктом на Т(V) и продукт на Т(V^∗) Значит это

${\displaystyle \Delta (f)(a\otimes b)=f(ab).}$

Эта двойственность распространяется на невырожденное спаривание

${\displaystyle {\hat {T}}(V)\times T(V^{*})\to \mathbb {F} ,}$

куда

${\displaystyle {\hat {T}}(V)=\prod _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V}$

это прямой продукт тензорных степеней V. (Прямая сумма Т(V) является подпространством прямого произведения, для которого только конечное число компонент отличны от нуля.) Однако копроизведение Δ на Т(V) распространяется только на линейное отображение

${\displaystyle {\hat {\Delta }}\colon {\hat {T}}(V)\to {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V)}$

со значениями в завершенное тензорное произведение, который в данном случае

${\displaystyle {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V)=\prod _{j,k\in \mathbb {N} }T^{j}V\otimes T^{k}V,}$

и содержит тензорное произведение как собственное подпространство:

${\displaystyle {\hat {T}}(V)\otimes {\hat {T}}(V)=\{X\in {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V):\exists \,k\in \mathbb {N} ,f_{j},g_{j}\in {\hat {T}}(V){\text{ s.t. }}X={\textstyle \sum }_{j=0}^{k}(f_{j}\otimes g_{j})\}.}$

Завершенная тензорная коалгебра C (V) - наибольшее подпространство C удовлетворение

${\displaystyle T(V)\subseteq C\subseteq {\hat {T}}(V){\text{ and }}{\hat {\Delta }}(C)\subseteq C\otimes C\subseteq {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V),}$

который существует, потому что если C₁ и C₂ удовлетворяют этим условиям, то их сумма C₁ + C₂.

Оказывается^[1] который C (V) является подпространством всех репрезентативные элементы:

${\displaystyle C(V)=\{f\in {\hat {T}}(V):{\hat {\Delta }}(f)\in {\hat {T}}(V)\otimes {\hat {T}}(V)\}.}$

Кроме того, по принципу конечности коалгебр любая ж ∈ C (V) должна принадлежать конечномерной подкоалгебре в C (V). Использование дуальности в паре с Т(V^∗), следует, что ж ∈ C (V) тогда и только тогда, когда ядро ж на Т(V^∗) содержит двусторонний идеал конечной коразмерности. Эквивалентно,

${\displaystyle C(V)=\bigcup \{I^{0}\subseteq {\hat {T}}(V):I\triangleleft T(V^{*}),\,\mathrm {codim} \,I<\infty \}}$

это объединение аннигиляторов я ⁰ идеалов конечной коразмерности я в Т(V^∗), которые изоморфны двойственным элементам конечномерной алгебры Т(V^∗)/я.

Пример

Когда V = F, Т(V^∗) - алгебра многочленов F[т] в одной переменной т, и прямой продукт

${\displaystyle {\hat {T}}(V)=\prod _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V}$

можно отождествить с векторным пространством F[[τ]] формального степенного ряда

${\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {N} }a_{j}\tau ^{j}}$

в неопределенном τ. Копроизведение Δ на подпространстве F[τ] определяется

${\displaystyle \Delta (\tau ^{k})=\sum _{i+j=k}\tau ^{i}\otimes \tau ^{j}}$

и C (V) - наибольшее подпространство в F[[τ]], на которой это продолжается до структуры коалгебры.

Двойственность F[[τ]] × F[т] → F определяется τ^j(т^k) = δ_jk так что

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{j\in \mathbb {N} }a_{j}\tau ^{j}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=0}^{N}b_{k}t^{k}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{N}a_{k}b_{k}.}$

Положив т=τ⁻¹, это постоянный член в произведении двух формальная серия Laurent. Таким образом, для полинома п(т) с ведущим членом т^N, формальная серия Лорана

${\displaystyle {\frac {\tau ^{j-N}}{p(\tau ^{-1})}}={\frac {\tau ^{j}}{\tau ^{N}p(\tau ^{-1})}}}$

является формальным степенным рядом для любого j ∈ N, и уничтожает идеальный я(п) создано п за j < N. С F[т]/я(п) имеет размер N, эти формальные степенные ряды охватывают аннигилятор я(п). Кроме того, все они принадлежат к локализация из F[τ] в идеале, порожденном τ, т.е. имеют вид ж(τ)/грамм(τ) куда ж и грамм являются полиномами, а грамм имеет ненулевой постоянный член. Это пространство рациональные функции в τ которые обычный на нуле. Наоборот, любая собственная рациональная функция аннулирует идеал вида я(п).

Любой ненулевой идеал F[т] является главный, с конечномерным фактором. Таким образом C (V) - сумма аннигиляторов главные идеалы я(п), т.е.пространство рациональных функций, регулярных в нуле.

Рекомендации

1. Хазевинкель 2003

• Блок, Ричард Э .; Леру, Пьер (1985), "Обобщенные дуальные коалгебры алгебр с приложениями к кокосвободным коалгебрам", Журнал чистой и прикладной алгебры, 36 (1): 15–21, Дои:10.1016 / 0022-4049 (85) 90060-Х, ISSN  0022-4049, МИСТЕР  0782637
• Hazewinkel, Michiel (2003), "Cofree коалгебры и многомерная рекурсивность", Журнал чистой и прикладной алгебры, 183 (1): 61–103, Дои:10.1016 / S0022-4049 (03) 00013-6, ISSN  0022-4049, МИСТЕР  1992043
• cofree коалгебра в nLab