Теорема Кантора о пересечении - Cantors intersection theorem

Теорема Кантора о пересечении ссылается на две тесно связанные теоремы из общая топология и реальный анализ, названный в честь Георг Кантор, о пересечениях убывающих вложенных последовательности непустых компактов.

Топологическое утверждение

Теорема. Пусть S - топологическое пространство. Убывающая вложенная последовательность непустых компактных замкнутых подмножеств S имеет непустое пересечение. Другими словами, если предположить ${\displaystyle (C_{k})}$ представляет собой последовательность непустых компактных замкнутых подмножеств S, удовлетворяющих

${\displaystyle C_{0}\supset C_{1}\supset \cdots \supset C_{n}\supset C_{n+1}\supset \cdots ,}$

следует, что

${\displaystyle \left(\bigcap _{k}C_{k}\right)\neq \emptyset .}$

Условие замкнутости может быть опущено в ситуациях, когда каждое компактное подмножество S закрыт, например, когда S является Хаусдорф.

Доказательство. Предположим от противного, что ${\displaystyle \bigcap C_{k}=\emptyset }$. Для каждого k, позволять ${\displaystyle U_{k}=C_{0}\setminus C_{k}}$. С ${\displaystyle \bigcup U_{k}=C_{0}\setminus \left(\bigcap C_{k}\right)}$ и ${\displaystyle \bigcap C_{k}=\emptyset }$, у нас есть ${\displaystyle \bigcup U_{k}=C_{0}}$. Поскольку ${\displaystyle C_{k}}$ закрыты относительно S и поэтому также замкнут относительно ${\displaystyle C_{0}}$, то ${\displaystyle U_{k}}$, их набор дополняет в ${\displaystyle C_{0}}$, открыты относительно ${\displaystyle C_{0}}$.

С ${\displaystyle C_{0}\subset S}$ компактный и ${\displaystyle (U_{k})}$ это открытая крышка (на ${\displaystyle C_{0}}$) из ${\displaystyle C_{0}}$, конечное покрытие ${\displaystyle \{U_{k_{1}},U_{k_{2}},\ldots ,U_{k_{m}}\}}$ можно извлечь. Позволять ${\displaystyle M=\max _{1\leq i\leq m}{k_{i}}}$. потом ${\displaystyle \bigcup U_{k_{i}}=U_{M}}$ потому что ${\displaystyle U_{1}\subset U_{2}\subset \cdots \subset U_{n}\subset U_{n+1}\cdots }$, по гипотезе вложенности коллекции ${\displaystyle (C_{k}).}$ Как следствие, ${\displaystyle C_{0}=\bigcup U_{k_{i}}=U_{M}}$. Но потом ${\displaystyle C_{M}=C_{0}\setminus U_{M}=\emptyset }$, противоречие. ∎

Выписка для действительных чисел

Теорема в реальном анализе делает такой же вывод для закрыто и ограниченный подмножества множества действительные числа ${\displaystyle \mathbf {R} }$. В нем говорится, что убывающая вложенная последовательность ${\displaystyle (C_{k})}$ непустых, замкнутых и ограниченных подмножеств ${\displaystyle \mathbf {R} }$ имеет непустое пересечение.

Эта версия следует из общей топологической постановки в свете Теорема Гейне – Бореля, который утверждает, что множества действительных чисел компактны тогда и только тогда, когда они замкнуты и ограничены. Однако он обычно используется в качестве леммы при доказательстве указанной теоремы и поэтому требует отдельного доказательства.

Например, если ${\displaystyle C_{k}=[0,1/k]}$, пересечение над ${\displaystyle (C_{k})}$ является${\displaystyle \{0\}}$. С другой стороны, обе последовательности открытых ограниченных множеств ${\displaystyle C_{k}=(0,1/k)}$ и последовательность неограниченных замкнутых множеств ${\displaystyle C_{k}=[k,\infty )}$ есть пустой перекресток. Все эти последовательности правильно вложены.

Эта версия теоремы обобщается на ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$, набор п-элементные векторы действительных чисел, но не обобщаются на произвольные метрические пространства. Например, в пространстве рациональное число, наборы

${\displaystyle C_{k}=[{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}+1/k]=({\sqrt {2}},{\sqrt {2}}+1/k)}$

замкнуты и ограничены, но их пересечение пусто.

Отметим, что это не противоречит ни топологическому утверждению, так как множества ${\displaystyle C_{k}}$ не компактны, как и вариант ниже, так как рациональные числа не полны относительно обычной метрики.

Простое следствие теоремы состоит в том, что Кантор набор непусто, так как определяется как пересечение убывающей вложенной последовательности наборов, каждое из которых определяется как объединение конечного числа отрезков; следовательно, каждое из этих множеств непусто, замкнуто и ограничено. На самом деле множество Кантора содержит несчетное количество точек.

Теорема. Позволять ${\displaystyle (C_{k})}$ - семейство непустых, замкнутых и ограниченных подмножеств ${\displaystyle \mathbf {R} }$ удовлетворение

${\displaystyle C_{0}\supset C_{1}\supset \cdots C_{n}\supset C_{n+1}\cdots .}$

Потом,

${\displaystyle \left(\bigcap _{k}C_{k}\right)\neq \emptyset .}$

Доказательство. Каждое непустое, замкнутое и ограниченное подмножество ${\displaystyle C_{k}\subset \mathbf {R} }$ допускает минимальный элемент ${\displaystyle x_{k}}$. Поскольку для каждого k, у нас есть

${\displaystyle x_{k+1}\in C_{k+1}\subseteq C_{k}}$,

следует, что

${\displaystyle x_{k}\leq x_{k+1}}$,

так ${\displaystyle (x_{k})}$ - возрастающая последовательность, содержащаяся в ограниченном множестве ${\displaystyle C_{0}}$. В теорема о монотонной сходимости для ограниченных последовательностей действительных чисел теперь гарантирует существование предельной точки

${\displaystyle x=\lim _{k\to \infty }x_{k}.}$

Для фиксированных k, ${\displaystyle x_{j}\in C_{k}}$ для всех ${\displaystyle j\geq k}$ и с тех пор ${\displaystyle C_{k}}$ был закрыт и Икс это предельная точка, следует, что ${\displaystyle x\in C_{k}}$. Наш выбор k было произвольно, следовательно Икс принадлежит ${\displaystyle \bigcap _{k}C_{k}}$ и доказательство завершено. ∎

Вариант в полных метрических пространствах

В полное метрическое пространство, имеет место следующий вариант теоремы Кантора о пересечении.

Теорема. Предположим, что X - полное метрическое пространство и ${\displaystyle C_{k}}$ это последовательность непустых замкнутых вложенных подмножеств X, диаметры стремятся к нулю:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\operatorname {diam} (C_{k})=0,}$

куда ${\displaystyle \operatorname {diam} (C_{k})}$ определяется

${\displaystyle \operatorname {diam} (C_{k})=\sup\{d(x,y)|x,y\in C_{k}\}.}$

Тогда пересечение ${\displaystyle C_{k}}$ содержит ровно одну точку:

${\displaystyle \bigcap _{k=1}^{\infty }C_{k}=\{x\}}$

для некоторого x из X.

Доказательство (набросок). Доказательство состоит в следующем. Поскольку диаметры стремятся к нулю, диаметр пересечения ${\displaystyle C_{k}}$ равен нулю, поэтому он либо пуст, либо состоит из одной точки. Так что достаточно показать, что он не пустой. Выберите элемент ${\displaystyle x_{k}\in C_{k}}$ для каждого k. Поскольку диаметр ${\displaystyle C_{k}}$ стремится к нулю, а ${\displaystyle C_{k}}$ вложены, ${\displaystyle x_{k}}$ образуют последовательность Коши. Поскольку метрическое пространство полно, эта последовательность Коши сходится к некоторой точке Икс. Поскольку каждый ${\displaystyle C_{k}}$ закрыто, и Икс является пределом последовательности в ${\displaystyle C_{k}}$, Икс должен лежать в ${\displaystyle C_{k}}$. Это верно для каждого k, а значит, пересечение ${\displaystyle C_{k}}$ должен содержать Икс. ∎

Верно и обратное к этой теореме: если Икс является метрическим пространством со свойством, что пересечение любого вложенного семейства непустых замкнутых подмножеств, диаметры которых стремятся к нулю, непусто, то Икс - полное метрическое пространство. (Чтобы доказать это, пусть ${\displaystyle (x_{k})}$ последовательность Коши в Икс, и разреши ${\displaystyle C_{k}}$ быть закрытием хвоста этой последовательности.)

Рекомендации

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Кантора о пересечении". MathWorld.
• Джонатан Левин. Интерактивное введение в математический анализ. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-01718-1. Раздел 7.8.