Теорема Кантора о пересечении - Cantors intersection theorem

Теорема Кантора о пересечении ссылается на две тесно связанные теоремы из общая топология и реальный анализ, названный в честь Георг Кантор, о пересечениях убывающих вложенных последовательности непустых компактов.

Топологическое утверждение

Теорема. Пусть S - топологическое пространство. Убывающая вложенная последовательность непустых компактных замкнутых подмножеств S имеет непустое пересечение. Другими словами, если предположить представляет собой последовательность непустых компактных замкнутых подмножеств S, удовлетворяющих

следует, что

Условие замкнутости может быть опущено в ситуациях, когда каждое компактное подмножество S закрыт, например, когда S является Хаусдорф.

Доказательство. Предположим от противного, что . Для каждого k, позволять . С и , у нас есть . Поскольку закрыты относительно S и поэтому также замкнут относительно , то , их набор дополняет в , открыты относительно .

С компактный и это открытая крышка (на ) из , конечное покрытие можно извлечь. Позволять . потом потому что , по гипотезе вложенности коллекции Как следствие, . Но потом , противоречие.

Выписка для действительных чисел

Теорема в реальном анализе делает такой же вывод для закрыто и ограниченный подмножества множества действительные числа . В нем говорится, что убывающая вложенная последовательность непустых, замкнутых и ограниченных подмножеств имеет непустое пересечение.

Эта версия следует из общей топологической постановки в свете Теорема Гейне – Бореля, который утверждает, что множества действительных чисел компактны тогда и только тогда, когда они замкнуты и ограничены. Однако он обычно используется в качестве леммы при доказательстве указанной теоремы и поэтому требует отдельного доказательства.

Например, если , пересечение над является. С другой стороны, обе последовательности открытых ограниченных множеств и последовательность неограниченных замкнутых множеств есть пустой перекресток. Все эти последовательности правильно вложены.

Эта версия теоремы обобщается на , набор п-элементные векторы действительных чисел, но не обобщаются на произвольные метрические пространства. Например, в пространстве рациональное число, наборы

замкнуты и ограничены, но их пересечение пусто.

Отметим, что это не противоречит ни топологическому утверждению, так как множества не компактны, как и вариант ниже, так как рациональные числа не полны относительно обычной метрики.

Простое следствие теоремы состоит в том, что Кантор набор непусто, так как определяется как пересечение убывающей вложенной последовательности наборов, каждое из которых определяется как объединение конечного числа отрезков; следовательно, каждое из этих множеств непусто, замкнуто и ограничено. На самом деле множество Кантора содержит несчетное количество точек.

Теорема. Позволять - семейство непустых, замкнутых и ограниченных подмножеств удовлетворение

Потом,

Доказательство. Каждое непустое, замкнутое и ограниченное подмножество допускает минимальный элемент . Поскольку для каждого k, у нас есть

,

следует, что

,

так - возрастающая последовательность, содержащаяся в ограниченном множестве . В теорема о монотонной сходимости для ограниченных последовательностей действительных чисел теперь гарантирует существование предельной точки

Для фиксированных k, для всех и с тех пор был закрыт и Икс это предельная точка, следует, что . Наш выбор k было произвольно, следовательно Икс принадлежит и доказательство завершено. ∎

Вариант в полных метрических пространствах

В полное метрическое пространство, имеет место следующий вариант теоремы Кантора о пересечении.

Теорема. Предположим, что X - полное метрическое пространство и это последовательность непустых замкнутых вложенных подмножеств X, диаметры стремятся к нулю:

куда определяется

Тогда пересечение содержит ровно одну точку:

для некоторого x из X.

Доказательство (набросок). Доказательство состоит в следующем. Поскольку диаметры стремятся к нулю, диаметр пересечения равен нулю, поэтому он либо пуст, либо состоит из одной точки. Так что достаточно показать, что он не пустой. Выберите элемент для каждого k. Поскольку диаметр стремится к нулю, а вложены, образуют последовательность Коши. Поскольку метрическое пространство полно, эта последовательность Коши сходится к некоторой точке Икс. Поскольку каждый закрыто, и Икс является пределом последовательности в , Икс должен лежать в . Это верно для каждого k, а значит, пересечение должен содержать Икс. ∎

Верно и обратное к этой теореме: если Икс является метрическим пространством со свойством, что пересечение любого вложенного семейства непустых замкнутых подмножеств, диаметры которых стремятся к нулю, непусто, то Икс - полное метрическое пространство. (Чтобы доказать это, пусть последовательность Коши в Икс, и разреши быть закрытием хвоста этой последовательности.)

Рекомендации

  • Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Кантора о пересечении". MathWorld.
  • Джонатан Левин. Интерактивное введение в математический анализ. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-01718-1. Раздел 7.8.