Лемма Брамбла – Гильберта. - Bramble–Hilbert lemma

В математика, особенно числовой анализ, то Брамбл – Гильберт лемма, названный в честь Джеймс Х. Брамбл и Стивен Гильберт, ограничивает ошибка из приближение из функция ${\displaystyle \textstyle u}$ по многочлен порядка максимум ${\displaystyle \textstyle m-1}$ с точки зрения производные из ${\displaystyle \textstyle u}$ порядка ${\displaystyle \textstyle m}$. И ошибка приближения, и производные от ${\displaystyle \textstyle u}$ измеряются ${\displaystyle \textstyle L^{p}}$ нормы на ограниченный домен в ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$. Это похоже на классический численный анализ, где, например, ошибка линейная интерполяция ${\displaystyle \textstyle u}$ можно ограничить, используя вторую производную от ${\displaystyle \textstyle u}$. Однако лемма Брамбла – Гильберта применима в любом количестве измерений, а не только в одном измерении, а ошибка приближения и производные от ${\displaystyle \textstyle u}$ измеряются более общими нормами, включающими средние значения, а не только максимальная норма.

Для выполнения леммы Брамбла – Гильберта необходимы дополнительные предположения относительно области определения. По сути, граница домена должно быть "разумным". Например, исключаются домены с острием или щелью с нулевым углом на вершине. Липшицевы домены достаточно разумны, в том числе выпуклый домены и домены с непрерывно дифференцируемый граница.

Основное применение леммы Брамбла – Гильберта - доказательство оценок погрешности интерполяции функции ${\displaystyle \textstyle u}$ оператором, сохраняющим многочлены порядка до ${\displaystyle \textstyle m-1}$, через производные от ${\displaystyle \textstyle u}$ порядка ${\displaystyle \textstyle m}$. Это важный шаг в оценке ошибок для метод конечных элементов. Там лемма Брамбла – Гильберта применяется к области, состоящей из одного элемента (или, в некоторой сверхконвергенция результаты, небольшое количество элементов).

Одномерный случай

Прежде чем формулировать лемму в полной общности, полезно рассмотреть несколько простых частных случаев. В одном измерении и для функции ${\displaystyle \textstyle u}$ который имеет ${\displaystyle \textstyle m}$ производные на интервале ${\displaystyle \textstyle \left(a,b\right)}$, лемма сводится к

${\displaystyle \inf _{v\in P_{m-1}}{\bigl \Vert }u^{\left(k\right)}-v^{\left(k\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)}\leq C\left(m\right)\left(b-a\right)^{m-k}{\bigl \Vert }u^{\left(m\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)},}$

куда ${\displaystyle \textstyle P_{m-1}}$ является пространством всех многочленов порядка не выше ${\displaystyle \textstyle m-1}$.

В случае, когда ${\displaystyle \textstyle p=\infty }$, ${\displaystyle \textstyle m=2}$, ${\displaystyle \textstyle k=0}$, и ${\displaystyle \textstyle u}$ дважды дифференцируема, это означает, что существует многочлен ${\displaystyle \textstyle v}$ степени один такой, что для всех ${\displaystyle \textstyle x\in \left(a,b\right)}$,

${\displaystyle \left\vert u\left(x\right)-v\left(x\right)\right\vert \leq C\left(b-a\right)^{2}\sup _{\left(a,b\right)}\left\vert u^{\prime \prime }\right\vert .}$

Это неравенство также следует из известной оценки погрешности линейной интерполяции при выборе ${\displaystyle \textstyle v}$ как линейный интерполянт ${\displaystyle \textstyle u}$.

Утверждение леммы

^{[сомнительный ]}

Предполагать ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ ограниченная область в ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \textstyle n\geq 1}$, с границей ${\displaystyle \textstyle \partial \Omega }$ и диаметр ${\displaystyle \textstyle d}$. ${\displaystyle \textstyle W_{p}^{k}(\Omega )}$ это Соболевское пространство всех функций ${\displaystyle \textstyle u}$ на ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ с слабые производные ${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }u}$ порядка ${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert }$ вплоть до ${\displaystyle \textstyle k}$ в ${\displaystyle \textstyle L^{p}(\Omega )}$. Здесь, ${\displaystyle \textstyle \alpha =\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$ это мультииндекс, ${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert =}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$ и ${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }}$ обозначает производную ${\displaystyle \textstyle \alpha _{1}}$ раз относительно ${\displaystyle \textstyle x_{1}}$, ${\displaystyle \textstyle \alpha _{2}}$ раз относительно ${\displaystyle \textstyle x_{2}}$, и так далее. Полунорма Соболева на ${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$ состоит из ${\displaystyle \textstyle L^{p}}$ нормы высших производных,

${\displaystyle \left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}=\left(\sum _{\left\vert \alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha }u\right\Vert _{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}{\text{ if }}1\leq p<\infty }$

и

${\displaystyle \left\vert u\right\vert _{W_{\infty }^{m}(\Omega )}=\max _{\left\vert \alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha }u\right\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$

${\displaystyle \textstyle P_{k}}$ - пространство всех многочленов порядка до ${\displaystyle \textstyle k}$ на ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }v=0}$ для всех ${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$ и ${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert =m}$, так ${\displaystyle \textstyle \left\vert u+v\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}}$ имеет одинаковое значение для любого ${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$.

Лемма (Брамбл и Гильберт) При дополнительных предположениях относительно области ${\displaystyle \textstyle \Omega }$, указанная ниже, существует константа ${\displaystyle \textstyle C=C\left(m,\Omega \right)}$ независим от ${\displaystyle \textstyle p}$ и ${\displaystyle \textstyle u}$ такой, что для любого ${\displaystyle \textstyle u\in W_{p}^{m}(\Omega )}$ существует многочлен ${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$ такой, что для всех ${\displaystyle \textstyle k=0,\ldots ,m,}$

${\displaystyle \left\vert u-v\right\vert _{W_{p}^{k}(\Omega )}\leq Cd^{m-k}\left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}.}$

Исходный результат

Лемма была доказана Брамблом и Гильбертом. ^[1] в предположении, что ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ удовлетворяет свойство сильного конуса; то есть существует конечное открытое покрытие ${\displaystyle \textstyle \left\{O_{i}\right\}}$ из ${\displaystyle \textstyle \partial \Omega }$ и соответствующие конусы ${\displaystyle \textstyle \{C_{i}\}}$ с вершинами в начале координат такими, что ${\displaystyle \textstyle x+C_{i}}$ содержится в ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ для любого ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle \in \Omega \cap O_{i}}$.

Формулировка леммы здесь является простой переписыванием правого неравенства, сформулированного в теореме 1 в.^[1] Фактическое заявление в ^[1] в том, что норма факторного пространства ${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )/P_{m-1}}$ эквивалентен ${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$ полунорм. В ${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$ норма не обычная, но термины масштабируются с ${\displaystyle \textstyle d}$ так что правое неравенство в эквивалентности полунорм получается точно так же, как в формулировке здесь.

В исходном результате выбор полинома не оговаривается, а значение константы и ее зависимость от области определения ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ не может быть определено из доказательства.

Конструктивная форма

Альтернативный результат был дан Дюпоном и Скоттом. ^[2] в предположении, что область ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ является звездообразный; то есть существует шар ${\displaystyle \textstyle B}$ такой, что для любого ${\displaystyle \textstyle x\in \Omega }$закрытый выпуклый корпус из ${\displaystyle \textstyle \left\{x\right\}\cup B}$ это подмножество ${\displaystyle \textstyle \Omega }$. Предположим, что ${\displaystyle \textstyle \rho _{\max }}$ - супремум диаметров таких шаров. Соотношение ${\displaystyle \textstyle \gamma =d/\rho _{\max }}$ называется кусочком ${\displaystyle \textstyle \Omega }$.

Тогда лемма верна с постоянной ${\displaystyle \textstyle C=C\left(m,n,\gamma \right)}$, то есть постоянная зависит от области ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ только из-за своей крупности ${\displaystyle \textstyle \gamma }$ и размер пространства ${\displaystyle \textstyle n}$. Кроме того, ${\displaystyle v}$ можно выбрать как ${\displaystyle v=Q^{m}u}$, куда ${\displaystyle \textstyle Q^{m}u}$ является усредненным Полином Тейлора, определяется как

${\displaystyle Q^{m}u=\int _{B}T_{y}^{m}u\left(x\right)\psi \left(y\right)\,dx,}$

куда

${\displaystyle T_{y}^{m}u\left(x\right)=\sum \limits _{k=0}^{m-1}\sum \limits _{\left\vert \alpha \right\vert =k}{\frac {1}{\alpha !}}D^{\alpha }u\left(y\right)\left(x-y\right)^{\alpha }}$

- многочлен Тейлора степени не выше ${\displaystyle \textstyle m-1}$ из ${\displaystyle \textstyle u}$ сосредоточен на ${\displaystyle \textstyle y}$ оценивается в ${\displaystyle \textstyle x}$, и ${\displaystyle \textstyle \psi \geq 0}$ - функция, имеющая производные всех порядков, равные нулю вне ${\displaystyle \textstyle B}$, и такой, что

${\displaystyle \int _{B}\psi \,dx=1.}$

Такая функция ${\displaystyle \textstyle \psi }$ всегда существует.

Дополнительные сведения и учебное пособие см. В монографии автора Бреннер и Скотт.^[3] Результат можно распространить на случай, когда домен ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ представляет собой объединение конечного числа звездчатых областей, что немного более общее, чем свойство сильного конуса, и других полиномиальных пространств, чем пространство всех многочленов до заданной степени.^[2]

Связанные с линейными функционалами

Этот результат непосредственно следует из приведенной выше леммы, и его также иногда называют леммой Брамбла – Гильберта, например Ciarlet.^[4] По сути, это теорема 2 из.^[1]

Лемма Предположим, что ${\displaystyle \textstyle \ell }$ это непрерывный линейный функционал на ${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$ и ${\displaystyle \textstyle \left\Vert \ell \right\Vert _{W_{p}^{m}(\Omega )^{^{\prime }}}}$ это двойная норма. Предположим, что ${\displaystyle \textstyle \ell \left(v\right)=0}$ для всех ${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$. Тогда существует постоянная ${\displaystyle \textstyle C=C\left(\Omega \right)}$ такой, что

${\displaystyle \left\vert \ell \left(u\right)\right\vert \leq C\left\Vert \ell \right\Vert _{W_{p}^{m}(\Omega )^{^{\prime }}}\left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}.}$

Рекомендации

1. Дж. Х. Брамбл и С. Р. Гильберт. Оценка линейных функционалов на пространствах Соболева с применением к преобразованиям Фурье и сплайн-интерполяции. SIAM J. Numer. Анальный., 7:112–124, 1970.
2. Тодд Дюпон и Риджуэй Скотт. Полиномиальное приближение функций в пространствах Соболева. Математика. Комп., 34(150):441–463, 1980.
3. Сюзанна С. Бреннер и Л. Риджуэй Скотт. Математическая теория методов конечных элементов, том 15 Тексты по прикладной математике. Springer-Verlag, Нью-Йорк, второе издание, 2002 г. ISBN  0-387-95451-1
4. Филипп Ж. Сиарле. Метод конечных элементов для эллиптических задач, том 40 из Классика прикладной математики. Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), Филадельфия, Пенсильвания, 2002 г. Перепечатка оригинала 1978 г. [Северная Голландия, Амстердам]. ISBN  0-89871-514-8

внешняя ссылка

• Райчо Д. Лазаров (2001) [1994], "Лемма Брамбла – Гильберта", Энциклопедия математики, EMS Press
• https://arxiv.org/abs/0710.5148 - Ян Мандель: лемма Брамбла – Гильберта