Родилась жесткость - Born rigidity

Родилась жесткость это концепция в специальная теория относительности. Это один из ответов на вопрос, что в специальной теории относительности соответствует жесткое тело нерелятивистских классическая механика.

Концепция была представлена Макс Борн (1909),^[1][2] который подробно описал случай постоянного правильное ускорение который он назвал гиперболическое движение. Когда последующие авторы, такие как Поль Эренфест (1909)^[3] попытался включить и вращательные движения, стало ясно, что жесткость Борна - это очень ограничивающее чувство жесткости, ведущее к Теорема Херглотца – Нётер, согласно которым существуют жесткие ограничения на вращательные жесткие движения Борна. Его сформулировал Густав Херглотц (1909, классифицировавший все формы вращательных движений)^[4] и в менее общем виде Фриц Нётер (1909).^[5] В результате родился (1910)^[6] и другие дали альтернативные, менее строгие определения жесткости.

Определение

Борновая жесткость удовлетворяется, если ортогональный пространство-время расстояние между бесконечно малыми друг от друга кривыми или мировые линии постоянно,^[7] или, что то же самое, если длина твердого тела при кратковременном сопутствующем движении инерциальные системы отсчета измеряется стандартными измерительными стержнями (т.е. подходящая длина ) постоянна и поэтому подвергается Лоренцево сокращение в относительно движущихся кадрах.^[8] Рожденная жесткость - это ограничение движения вытянутого тела, достигаемое за счет осторожного приложения сил к различным частям тела. Жесткое тело само по себе нарушило бы специальную теорию относительности, поскольку ее скорость звука будет бесконечно.

Классификацию всех возможных жестких движений Борна можно получить с помощью теоремы Херглотца – Нётер. Эта теорема утверждает, что все безвихревый Родились жесткие движения (класс А ) состоит из гиперплоскости жестко движется в пространстве-времени, в то время как любое вращательное жесткое движение Борна (класс B ) должно быть изометрический Убийство движения. Это означает, что твердое тело Борна имеет только три степени свободы. Таким образом, тело можно жестко по Борну перевести из состояния покоя в любую переводной движение, но его нельзя жестким способом Борна перевести из состояния покоя во вращательное движение.^[9]

Напряжения и борновская жесткость

Это было показано Герглотцем (1911),^[10] что релятивистский теория упругости может быть основано на предположении, что напряжения возникают при нарушении условия борновской жесткости.^[11]

Примером нарушения борновской жесткости является Парадокс Эренфеста: Даже если состояние равномерное круговое движение тела входит в число допустимых жестких движений Борна класс B, тело не может быть переведено из любого другого состояния движения в равномерное круговое движение без нарушения условия борновской жесткости во время фазы, в которой тело испытывает различные ускорения. Но если эта фаза закончилась и центростремительное ускорение становится постоянным, тело может равномерно вращаться в соответствии с жесткостью Борна. Точно так же, если он сейчас находится в равномерном круговом движении, это состояние не может быть изменено, не нарушив снова борновскую жесткость тела.

Другой пример Парадокс космического корабля Белла: Если конечные точки тела ускоряются с постоянными собственными ускорениями в прямолинейном направлении, то ведущая конечная точка должна иметь более низкое собственное ускорение, чтобы оставить правильную длину постоянной, чтобы обеспечить жесткость Борна. Он также будет демонстрировать возрастающее лоренцево сжатие во внешней инерциальной системе отсчета, то есть во внешней системе координат концы тела не ускоряются одновременно. Однако, если выбран другой профиль ускорения, с помощью которого концы тела одновременно ускоряются с таким же надлежащим ускорением, как это видно во внешней инерциальной системе отсчета, его борновская жесткость будет нарушена, поскольку постоянная длина во внешней раме подразумевает увеличение надлежащей длины в сопутствующий фрейм из-за относительности одновременности. В этом случае хрупкая нить, натянутая между двумя ракетами, будет испытывать напряжения (которые называются напряжениями Герглотца – Девана – Берана.^[8]) и, следовательно, сломается.

Родились жесткие движения

Классификация допустимых, в частности вращательных, жестких движений Борна в плоских Пространство-время Минковского был дан Герглотцем,^[4] который также изучался Фридрих Коттлер (1912, 1914),^[12] Жорж Лемэтр (1924),^[13] Адриан Фоккер (1940),^[14] Джордж Зальцманн и Авраам Х. Тауб (1954).^[7] Херглотц указал, что континуум движется как твердое тело, когда мировые линии его точек эквидистантные кривые в ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$. Полученные мировые линии можно разделить на два класса:

Класс A: безвихревые движения

Герглотц определил этот класс в терминах эквидистантных кривых, которые являются ортогональными траекториями семейства гиперплоскости, которые также можно рассматривать как решения Уравнение Риккати^[15] (Зальцманн и Тауб назвали это "движением в плоскости"^[7] или "безвихревое жесткое движение" Бойера^[16][17]). Он пришел к выводу, что движение такого тела полностью определяется движением одной из его точек.

Общая метрика для этих безвихревых движений была дана Херглотцем, работа которого была резюмирована в упрощенных обозначениях Леметром (1924). Так же Метрика Ферми в форме, данной Кристиан Мёллер (1952) для жестких систем с произвольным движением начала координат был идентифицирован как «наиболее общая метрика безвихревого твердого движения в специальной теории относительности».^[18] В целом было показано, что безвихревое борновское движение соответствует тем ферми-конгруэнциям, любая мировая линия которых может использоваться как базовая (однородная ферми-конгруэнция).^[19]

Herglotz 1909	${\displaystyle ds^{2}=da^{2}+\varphi (db,dc)-\Theta ^{2}d\vartheta ^{2}}$[20]
Лемэтр 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+\phi ^{2}dt^{2}\\&\quad \left(\phi =lx+my+nz+p\right)\end{aligned}}}$[21]
Мёллер 1952	${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left[1+{\frac {g_{\kappa }x^{\kappa }}{c^{2}}}\right]^{2}}$[22]

Уже Борн (1909) указал, что твердое тело при поступательном движении имеет максимальное пространственное расширение в зависимости от его ускорения, определяемого соотношением ${\displaystyle b<c^{2}/R}$, куда ${\displaystyle b}$ правильное ускорение и ${\displaystyle R}$ - радиус сферы, в которой находится тело, поэтому чем выше собственное ускорение, тем меньше максимальное расширение твердого тела.^[2] Частный случай поступательного движения с постоянным собственным ускорением известен как гиперболическое движение, с мировой линией

Родившийся 1909	${\displaystyle {\begin{aligned}&x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c^{2}}}\xi \\&\quad \left(p={\frac {dx}{d\tau }},\quad q=-{\frac {dt}{d\tau }}={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$[23]
Herglotz 1909	${\displaystyle x=x',\quad y=y',\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$[24] ${\displaystyle x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z={\sqrt {z_{0}^{2}+t^{2}}}}$[25]
Зоммерфельд 1910	${\displaystyle {\begin{aligned}&x=r\cos \varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi \\&\quad \left(l=ict,\quad \varphi =i\psi \right)\end{aligned}}}$[26]
Коттлер 1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)},\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=b^{2}(du)^{2}\end{aligned}}}$[27] ${\displaystyle x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z=b\cosh u,\quad ct=b\sinh u}$[28]

Класс B: вращательные изометрические движения

Соответствующие системы отсчета для этих вращательных движений см. Правильная система отсчета (плоское пространство-время) # Правильная система отсчета для времениподобных спиралей

Герглотц определил этот класс в терминах эквидистантных кривых, которые являются траекториями однопараметрической группы движений.^[29] (Зальцманн и Тауб назвали это «групповым движением»^[7] и был идентифицирован с изометрический Убийство движение Феликс Пирани И Гарет Уильямс (1962)^[30]). Он указал, что они состоят из мировых линий, три кривизны которых постоянны (известные как кривизна, кручение и гиперторсия), образуя спираль.^[31] Мировые линии постоянной кривизны в плоском пространстве-времени также изучались Коттлером (1912),^[12] Петров (1964),^[32] Джон Лайтон Синг (1967, который назвал их подобными времени спиралями в плоском пространстве-времени),^[33] или Letaw (1981, который назвал их стационарными мировыми линиями)^[34] как решения Формулы Френе – Серре.

Далее Герглотц разделил класс B с помощью четырех однопараметрических групп преобразований Лоренца (локсодромных, эллиптических, гиперболических, параболических) по аналогии с гиперболические движения (т. е. изометрические автоморфизмы гиперболического пространства), и указал, что гиперболическое движение Борна (которое следует из гиперболической группы с ${\displaystyle \alpha =0}$ в обозначениях Герглотца и Коттлера, ${\displaystyle \lambda =0}$ в обозначениях Лемэтра, ${\displaystyle q=0}$ в обозначениях Synge; см. следующую таблицу) - единственное жесткое движение Борна, которое принадлежит обоим классам A и B.

Локсодромная группа (сочетание гиперболического движения и равномерного вращения)
Herglotz 1909	${\displaystyle x+iy=(x'+iy')e^{i\lambda \vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\lambda \vartheta },\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$[35]
Коттлер 1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2}-a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[36]
Лемэтр 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x\cos \lambda t-y\sin \lambda t,\quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z\cosh t,\quad \tau =z\sinh t\\&ds^{2}=-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(z^{2}-\lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[37]
Synge 1967	${\displaystyle x=q\omega ^{-1}\sin \omega s,\quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=r\chi ^{-1}\cosh \chi s,\quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s}$[38]
Эллиптическая группа (равномерное вращение)
Herglotz 1909	${\displaystyle x+iy=(x'+iy')e^{i\vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\vartheta },\quad z=z',\quad t=t'+\delta \vartheta }$[39]
Коттлер 1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)},\quad x^{(4)}=iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(1-a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[40]
де Ситтер 1916	${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta '=\theta -\omega ct,\ \left(d\sigma ^{\prime 2}=dr^{\prime 2}+r^{\prime 2}d\theta ^{\prime 2}+dz^{\prime 2}\right)\\&ds^{2}=-d\sigma ^{\prime 2}-2r^{\prime 2}\omega \ d\theta 'cdt+\left(1-r^{\prime 2}\omega ^{2}\right)c^{2}dt^{2}\end{aligned}}}$[41]
Лемэтр 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x\cos \lambda t-y\sin \lambda t,\quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z,\quad \tau =t\\&ds^{2}=-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(1-\lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[42]
Synge 1967	${\displaystyle x=q\omega ^{-1}\sin \omega s,\quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=0,\quad t=sr}$[43]
Гиперболическая группа (гиперболическое движение плюс пространственноподобный перенос)
Herglotz 1909	${\displaystyle x=x'+\alpha \vartheta ,\quad y=y',\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$[44]
Коттлер 1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)}+\alpha u,\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2}-\alpha ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[45]
Лемэтр 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x+\lambda t,\quad \eta =y,\quad \zeta =z\cosh t,\quad \tau =z\sinh t\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}-2\lambda dx\ dt+\left(z^{2}-\lambda ^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[46]
Synge 1967	${\displaystyle x=sq,\quad y=0,\quad z=r\chi ^{-1}\cosh \chi s,\quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s}$[47]
Параболическая группа (описывающая полукубическая парабола )
Herglotz 1909	${\displaystyle x=x_{0}+{\frac {1}{2}}\delta \vartheta ^{2},\quad y=y_{0}+\beta \vartheta ,\quad z=z_{0}+x_{0}\vartheta +{\frac {1}{6}}\delta \vartheta ^{3},\quad t-z=\delta \vartheta }$[25]
Коттлер 1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)}+{\frac {1}{2}}\alpha u^{2},\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)}+x_{0}^{(1)}u+{\frac {1}{6}}\alpha u^{3},\quad x^{(4)}=ix^{(3)}+i\alpha u\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(\alpha ^{2}+2x_{0}^{(1)}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[48]
Лемэтр 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x+{\frac {1}{2}}\lambda t^{2},\quad \eta =y+\mu t,\quad \zeta =z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^{3},\quad \tau =\lambda t+z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^{3}\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-2\mu \ dy\ dt+2\lambda \ dz\ dt+\left(2\lambda x+\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[37]
Synge 1967	${\displaystyle x={\frac {1}{6}}b^{2}s^{3},\quad y=0,\quad z={\frac {1}{2}}bs^{2},\quad t=s+{\frac {1}{6}}b^{2}s^{3}}$[49]

Общая теория относительности

Попытки распространить концепцию борновской жесткости на общую теорию относительности были предприняты Зальцманном и Таубом (1954),^[7] К. Бересфорд Райнер (1959),^[50] Пирани и Уильямс (1962),^[30] Роберт Х. Бойер (1964).^[16] Было показано, что теорема Герглотца-Нётер не выполняется полностью, поскольку возможны жесткие вращающиеся системы отсчета или сравнения, которые не представляют изометрические движения Киллинга.^[30]

Альтернативы

Несколько более слабых заменителей также были предложены в качестве условий жесткости, например, Нётер (1909)^[5] или сам Борн (1910).^[6]

Современная альтернатива была предложена Epp, Mann & McGrath.^[51] В отличие от обычной жесткой конгруэнции Борна, состоящей из «истории множества точек, заполняющих пространственный объем», они восстанавливают шесть степеней свободы классической механики, используя квазилокальный жесткий каркас, определяя конгруэнцию в терминах «истории». множества точек на поверхности, ограничивающей пространственный объем ».

Рекомендации

1. Родился (1909a)
2. Родился (1909b)
3. Эренфест (1909)
4. Герглотц (1909)
5. Нётер (1909)
6. Родился (1910 г.)
7. Зальцманн и Тауб (1954)
8. Грон (1981)
9. Джулини (2008)
10. Герглотц (1911)
11. Паули (1921)
12. Коттлер (1912); Коттлер (1914a)
13. Лемэтр (1924)
14. Фоккер (1940)
15. Herglotz (1909), стр. 401, 415
16. Бойер (1965)
17. Джулини (2008), теорема 18
18. Бойер (1965), стр. 354
19. Бел (1995), теорема 2
20. Herglotz (1909), стр. 401
21. Лемэтр (1924), стр. 166, 170
22. (1952), стр. 254
23. Родился (1909), стр. 25
24. Herglotz (1909), стр. 408
25. Herglotz (1909), стр. 414
26. Зоммерфлед (1910), стр. 670
27. Коттлер (1912), стр. 1714; Коттлер (1914a), таблица 1, случай IIIb
28. Коттлер (1914b), стр. 488
29. Herglotz (1909), стр. 402, 409-415
30. Пирани и Виллимс (1962)
31. Herglotz (1909), стр. 403
32. Петров (1964)
33. Synge (1967)
34. Letaw (1981)
35. Herglotz (1909), стр. 411
36. Коттлер (1912), стр. 1714; Коттлер (1914a), таблица 1, случай I
37. Лемэтр (1924), стр. 175
38. Synge (1967), тип I
39. Herglotz (1909), стр. 412
40. Коттлер (1912), стр. 1714; Коттлер (1914a), таблица 1, случай IIb
41. ДеСиттер (1916), стр. 178
42. Лемэтр (1924), стр. 173
43. Synge (1967), тип IIc
44. Herglotz (1909), стр. 413
45. Коттлер (1912), стр. 1714; Коттлер (1914a), таблица 1, случай IIIa
46. Лемэтр (1924), стр. 174
47. Synge (1967), тип IIa
48. Коттлер (1912), стр. 1714; Коттлер (1914a), таблица 1, дело IV
49. Synge (1967), тип IIb
50. Рейнер (1959)
51. Эпп, Манн и МакГрат (2009)

Библиография

• Родился Макс (1909a), "Теория звездных электронов в кинематике релятивистских принтов" [Перевод Wikisource: Теория жесткого электрона в кинематике принципа относительности ], Annalen der Physik, 335 (11): 1–56, Bibcode:1909АнП ... 335 .... 1Б, Дои:10.1002 / andp.19093351102
• Макс Борн (1909b), "Убер die Dynamik des Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips" [перевод Wikisource: О динамике электрона в кинематике принципа относительности ], Physikalische Zeitschrift, 10: 814–817
• Родился Макс (1910), "Zur Kinematik des starren Körpers im System des Relativitätsprinzips" [Перевод Wikisource: О кинематике твердого тела в системе принципа относительности ], Göttinger Nachrichten, 2: 161–179
• Эренфест, Пауль (1909), "Gleichförmige Главный герой вращения Körper und Relativitätstheorie" [Перевод Wikisource: Равномерное вращение твердых тел и теория относительности. ], Physikalische Zeitschrift, 10: 918, Bibcode:1909PhyZ ... 10..918E
• Херглотц, Густав (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [Перевод Wikisource: О телах, которые следует обозначить как «твердые» с точки зрения принципа относительности ], Annalen der Physik, 336 (2): 393–415, Bibcode:1910AnP ... 336..393H, Дои:10.1002 / andp.19103360208
• Герглотц, Густав (1911), "Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie", Annalen der Physik, 341 (13): 493–533, Bibcode:1911AnP ... 341..493H, Дои:10.1002 / andp.19113411303; Английский перевод Дэвида Дельфенича: К механике деформируемых тел с точки зрения теории относительности.
• Нётер, Фриц (1910) [1909]. "Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie". Annalen der Physik. 336 (5): 919–944. Bibcode:1910АнП ... 336..919Н. Дои:10.1002 / andp.19103360504.
• Зоммерфельд, Арнольд (1910). "Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis" [Перевод Wikisource: К теории относительности II: четырехмерный векторный анализ ]. Annalen der Physik. 338 (14): 649–689. Bibcode:1910АнП ... 338..649С. Дои:10.1002 / andp.19103381402.
• Коттлер, Фридрих (1912). "Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt" [перевод Wikisource: На пространственно-временных линиях мира Минковского ]. Wiener Sitzungsberichte 2a. 121: 1659–1759. HDL:2027 / mdp.39015051107277.
• Коттлер, Фридрих (1914a). "Relativitätsprinzip und beschleunigte Bewegung". Annalen der Physik. 349 (13): 701–748. Bibcode:1914АнП ... 349..701К. Дои:10.1002 / andp.19143491303.
• Коттлер, Фридрих (1914b). "Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips". Annalen der Physik. 350 (20): 481–516. Bibcode:1914АнП ... 350..481К. Дои:10.1002 / andp.19143502003.
• Де Ситтер, В. (1916). «О теории гравитации Эйнштейна и ее астрономических последствиях. Вторая статья». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества. 77 (2): 155–184. Bibcode:1916МНРАС..77..155Д. Дои:10.1093 / mnras / 77.2.155.
• Паули, Вольфганг (1921), "Die Relativitätstheorie", Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften, 5 (2): 539–776

По-английски: Паули, В. (1981) [1921]. Теория относительности. Фундаментальные теории физики. 165. Dover Publications. ISBN  0-486-64152-X.

• Лемэтр, Г. (1924), "Движение твердого тела в соответствии с принципом относительности", Философский журнал, Серия 6, 48 (283): 164–176, Дои:10.1080/14786442408634478
• Фоккер, А. Д. (1949), "О геометрии пространства-времени движущегося твердого тела", Обзоры современной физики, 21 (3): 406–408, Bibcode:1949РвМП ... 21..406Ф, Дои:10.1103 / RevModPhys.21.406
• Мёллер, К. (1955) [1952]. Теория относительности. Oxford Clarendon Press.
• Зальцман, Г., & Тауб, А. Х. (1954), "Жесткое движение типа Борна в теории относительности", Физический обзор, 95 (6): 1659–1669, Bibcode:1954ПХРВ ... 95.1659С, Дои:10.1103 / PhysRev.95.1659
• Рейнер, К. Б. (1959), "Жесткий корпус en relativité générale", Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste, 2: 1–15
• Пирани, Ф. А. Э., и Уильямс, Г. (1962), «Жесткое движение в гравитационном поле», Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste, 5: 1–16
• Петров, В. (1964). "Die Lösung der Formeln von Frenet im Falle konstanter Krümmungen". Aplikace Matematiky. 9 (4): 239–240.
• Бойер, Р. Х. (1965), "Жесткие системы отсчета в общей теории относительности", Труды Лондонского королевского общества A, 28 (1394): 343–355, Bibcode:1965RSPSA.283..343B, Дои:10.1098 / rspa.1965.0025, S2CID  120278621
• Synge, J. L. (1967) [1966]. «Времениподобные спирали в плоском пространстве-времени». Труды Королевской ирландской академии, Секция А. 65: 27–42. JSTOR  20488646.
• Grøn, Ø. (1981), "Ковариантная формулировка закона Гука", Американский журнал физики, 49 (1): 28–30, Bibcode:1981AmJPh..49 ... 28G, Дои:10.1119/1.12623
• Летоу, Дж. Р. (1981). «Стационарные мировые линии и вакуумное возбуждение неинерциальных детекторов». Физический обзор D. 23 (8): 1709–1714. Bibcode:1981ПхРвД..23.1709Л. Дои:10.1103 / PhysRevD.23.1709.
• Бел, Л.(1995) [1993], "Группа Борна и обобщенные изометрии", Общая теория относительности: Труды собрания по теории относительности'93, Atlantica Séguier Frontières: 47, arXiv:1103.2509, Bibcode:2011arXiv1103.2509B
• Джулини, Доменико (2008). «Богатая структура пространства Минковского». Пространство-время Минковского: сто лет спустя. Фундаментальные теории физики. 165. Springer. п. 83. arXiv:0802.4345. Bibcode:2008arXiv0802.4345G. ISBN  978-90-481-3474-8.
• Эпп, Р. Дж., Манн, Р. Б., и МакГрат, П. Л. (2009), "Повторное обращение к жесткому движению: жесткие квазилокальные системы отсчета", Классическая и квантовая гравитация, 26 (3): 035015, arXiv:0810.0072, Bibcode:2009CQGra..26c5015E, Дои:10.1088/0264-9381/26/3/035015, S2CID  118856653

внешняя ссылка

• Прирожденная жесткость, ускорение и инерция на mathpages.com
• Жесткий вращающийся диск в теории относительности в FAQ по физике USENET