Петля Бола - Bol loop

В математика и абстрактная алгебра, а Петля Бола является алгебраическая структура обобщая понятие группа. Петли Бола названы в честь голландского математика. Геррит Бол кто представил их в (Бол 1937 ).

А петля, L, называется левая петля Бола если он удовлетворяет личность

${displaystyle a(b(ac))=(a(ba))c}$, для каждого а,б,c в L,

пока L считается правая петля Бола если это удовлетворяет

${displaystyle ((ca)b)a=c((ab)a)}$, для каждого а,б,c в L.

Эти идентичности можно рассматривать как ослабленные формы ассоциативность.

Петля является как левым, так и правым Болом тогда и только тогда, когда это Петля муфанг. Разные авторы используют термин «петля Бола» для обозначения левой или правой петли Бола.

Петли Брука

Петля Бола, удовлетворяющая автоморфное обратное свойство, (ab)⁻¹ = а⁻¹ б⁻¹ для всех а, б в L, известен как (левый или правый) Петля Брука или же K-петля (назван в честь американского математика Ричард Брук ). Пример в следующем разделе - это цикл Брука.

Петли Брука находят применение в специальная теория относительности; см. Ungar (2002). Левая петля Брука эквивалентна петле Ангара (2002). гирокоммутативный гирогруппы, хотя эти две структуры определены по-разному.

Пример

Позволять L обозначим множество п х п положительно определенный, Эрмитский матрицы над комплексными числами. Как правило, неверно, что матричный продукт AB матриц А, B в L является эрмитовым, не говоря уже о положительно определенном. Однако существует уникальный п в L и уникальный унитарная матрица U такой, что AB = PU; это полярное разложение из AB. Определите бинарную операцию * на L к А * B = п. Потом (L, *) - левая петля Брука. Явная формула для * дается А * B = (А Б² А)^1/2, где верхний индекс 1/2 указывает на единственный положительно определенный эрмитов квадратный корень.

Алгебра Бол

Алгебра Бола (слева) - это векторное пространство, снабженное бинарной операцией ${displaystyle [a,b]+[b,a]=0}$ и тернарная операция ${displaystyle {a,b,c}}$ который удовлетворяет следующим тождествам:^[1]

${displaystyle {a,b,c}+{b,a,c}=0}$

и

${displaystyle {a,b,c}+{b,c,a}+{c,a,b}=0}$

и

${displaystyle [{a,b,c},d]-[{a,b,d},c]+{c,d,[a,b]}-{a,b,[c,d]}+[[a,b],[c,d]]=0}$

и

${displaystyle {a,b,{c,d,e}}-{{a,b,c},d,e}-{c,{a,b,d},e}-{c,d,{a,b,e}}=0}$

Если А левый или правый альтернативная алгебра то с ней ассоциирована алгебра Бола А^б, куда ${displaystyle [a,b]=ab-ba}$ это коммутатор и ${displaystyle {a,b,c}=langle b,c,aangle }$ это Иорданский ассоциатор.

Рекомендации

1. Ирвин Р. Хентцель, Луис А. Переси "Специальные тождества для алгебр Бола ",  Линейная алгебра и ее приложения 436(7) · апрель 2012

• Бол, Г. (1937), "Gewebe und gruppen", Mathematische Annalen, 114 (1): 414–431, Дои:10.1007 / BF01594185, ISSN  0025-5831, JFM  63.1157.04, МИСТЕР  1513147, Zbl  0016.22603
• Кихле, Х. (2002). Теория K-петель. Springer. ISBN  978-3-540-43262-3.
• Пфлугфельдер, Х. (1990). Квазигруппы и петли: введение. Heldermann. ISBN  978-3-88538-007-8. Глава VI посвящена петлям Бола.
• Робинсон, Д.А. (1966). "Бол петли". Пер. Амер. Математика. Soc. 123 (2): 341–354. Дои:10.1090 / с0002-9947-1966-0194545-4. JSTOR  1994661.
• Унгар, А.А. (2002). За пределами закона сложения Эйнштейна и его гироскопической прецессии Томаса: теория гирогрупп и гировекторных пространств. Kluwer. ISBN  978-0-7923-6909-7.