Тройная система - Triple system

Для описания этой концепции в комбинаторика, видеть Тройная система Штейнера и блочная конструкция.

В алгебра, а тройная система (или же тернар) это векторное пространство V над полем F вместе с F-трилинейная карта

${displaystyle (cdot ,cdot ,cdot )colon V imes V imes V o V.}$

Наиболее важные примеры: Системы троек Ли и Иорданские тройные системы. Их представил Натан Джейкобсон в 1949 г. для изучения подпространств ассоциативные алгебры замкнуты относительно тройных коммутаторов [[ты, v], ш] и тройной антикоммутаторы {ты, {v, ш}}. В частности, любые Алгебра Ли определяет систему троек Ли и любой Йорданова алгебра определяет систему троек Жордана. Они важны в теориях симметричные пространства, особенно Эрмитовы симметрические пространства и их обобщения (симметричные R-пространства и их некомпактные двойники).

Системы троек Ли

Тройная система называется Тройная система Ли если трилинейное отображение, обозначенное ${displaystyle [cdot ,cdot ,cdot ]}$, удовлетворяет следующим тождествам:

${displaystyle [u,v,w]=-[v,u,w]}$

${displaystyle [u,v,w]+[w,u,v]+[v,w,u]=0}$

${displaystyle [u,v,[w,x,y]]=[[u,v,w],x,y]+[w,[u,v,x],y]+[w,x,[u,v,y]].}$

Первые два тождества абстрагируют косая симметрия и Личность Якоби для тройного коммутатора, а третье тождество означает, что линейное отображение L_ты,v: V → V, определяемый L_ты,v(ш) = [ты, v, ш], это происхождение тройного произведения. Айдентика также показывает, что пространство k = пролет {L_ты,v : ты, v ∈ V} замкнута относительно коммутаторной скобки, следовательно, алгебра Ли.

Письмо м на месте V, следует, что

${displaystyle {mathfrak {g}}:=koplus {mathfrak {m}}}$

можно превратить в ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$-градуированная алгебра Ли, стандартное вложение из м, с кронштейном

${displaystyle [(L,u),(M,v)]=([L,M]+L_{u,v},L(v)-M(u)).}$

Разложение грамм явно симметричное разложение для этой скобки Ли, а значит, если грамм является связной группой Ли с алгеброй Ли грамм и K является подгруппой с алгеброй Ли k, тогда грамм/K это симметричное пространство.

Наоборот, для алгебры Ли грамм с таким симметричным разложением (т.е. это алгебра Ли симметрического пространства) тройная скобка [[ты, v], ш] делает м в систему троек Ли.

Иорданские тройные системы

Тройная система называется жордановой тройной системой, если трилинейное отображение, обозначенное {.,.,.}, Удовлетворяет следующим тождествам:

${displaystyle {u,v,w}={u,w,v}}$

${displaystyle {u,v,{w,x,y}}={w,x,{u,v,y}}+{w,{u,v,x},y}-{{v,u,w},x,y}.}$

Первое тождество абстрагирует симметрию тройного антикоммутатора, а второе тождество означает, что если L_ты,v:V→V определяется как L_ты,v(у) = {ты, v, у} тогда

${displaystyle [L_{u,v},L_{w,x}]:=L_{u,v}circ L_{w,x}-L_{w,x}circ L_{u,v}=L_{w,{u,v,x}}-L_{{v,u,w},x}}$

так что пространство линейных отображений охватывает {L_ты,v:ты,v ∈ V} замкнута относительно коммутаторной скобки и, следовательно, является алгеброй Ли грамм₀.

Любая система троек Жордана является системой троек Ли относительно произведения

${displaystyle [u,v,w]={u,v,w}-{v,u,w}.}$

Жорданова тройная система называется положительно определенный (соотв. невырожденный) если билинейная форма на V определяемый следом L_ты,v положительно определен (соответственно невырожден). В любом случае есть идентификация V с его сопряженным пространством и соответствующей инволюцией на грамм₀. Они вызывают инволюцию

${displaystyle Voplus {mathfrak {g}}_{0}oplus V^{*}}$

которая в положительно определенном случае является инволюцией Картана. Соответствующие симметричное пространство это симметричное R-пространство. Он имеет некомпактный двойственный элемент, полученный заменой инволюции Картана на ее композицию с инволюцией, равной +1 на грамм₀ и −1 на V и V^*. Частный случай этой конструкции возникает, когда грамм₀ сохраняет сложную структуру на V. В этом случае мы получаем двойственную Эрмитовы симметрические пространства компактного и некомпактного типа (последний ограниченные симметричные области ).

Иорданская пара

Жорданова пара - это обобщение системы троек Жордана, включающее два векторных пространства V₊ и V₋. Затем трилинейное отображение заменяется парой трилинейных отображений

${displaystyle {cdot ,cdot ,cdot }_{+}colon V_{-} imes S^{2}V_{+} o V_{+}}$

${displaystyle {cdot ,cdot ,cdot }_{-}colon V_{+} imes S^{2}V_{-} o V_{-}}$

которые часто рассматриваются как квадратичные карты V₊ → Hom (V₋, V₊) и V₋ → Hom (V₊, V₋). Другая аксиома Жордана (помимо симметрии) также заменяется двумя аксиомами, одна из которых

${displaystyle {u,v,{w,x,y}_{+}}_{+}={w,x,{u,v,y}_{+}}_{+}+{w,{u,v,x}_{+},y}_{+}-{{v,u,w}_{-},x,y}_{+}}$

а другой - аналог с замененными нижними индексами + и -.

Как и в случае систем троек Жордана, для ты в V₋ и v в V₊, линейная карта

${displaystyle L_{u,v}^{+}:V_{+} o V_{+}quad { ext{by}}quad L_{u,v}^{+}(y)={u,v,y}_{+}}$

и аналогично L⁻. Тогда аксиомы Жордана (помимо симметрии) могут быть записаны

${displaystyle [L_{u,v}^{pm },L_{w,x}^{pm }]=L_{w,{u,v,x}_{pm }}^{pm }-L_{{v,u,w}_{mp },x}^{pm }}$

откуда следует, что образы L⁺ и я⁻ закрыты коммутаторными скобками в End (V₊) и конец(V₋). Вместе они определяют линейную карту

${displaystyle V_{+}otimes V_{-} o {mathfrak {gl}}(V_{+})oplus {mathfrak {gl}}(V_{-})}$

образ которой является подалгеброй Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}_{0}}$, а тождества Жордана становятся тождествами Якоби для градуированной скобки Ли на

${displaystyle V_{+}oplus {mathfrak {g}}_{0}oplus V_{-},}$

так что, наоборот, если

${displaystyle {mathfrak {g}}={mathfrak {g}}_{+1}oplus {mathfrak {g}}_{0}oplus {mathfrak {g}}_{-1}}$

является градуированной алгеброй Ли, то пара ${displaystyle ({mathfrak {g}}_{+1},{mathfrak {g}}_{-1})}$ - жорданова пара со скобками

${displaystyle {X_{mp },Y_{pm },Z_{pm }}_{pm }:=[[X_{mp },Y_{pm }],Z_{pm }].}$

Жордановы тройные системы - это жордановы пары с V₊ = V₋ и равные трилинейные карты. Другой важный случай возникает, когда V₊ и V₋ двойственны друг другу, причем двойственные трилинейные отображения определяются элементом

${displaystyle mathrm {End} (S^{2}V_{+})cong S^{2}V_{+}^{*}otimes S^{2}V_{-}^{*}cong mathrm {End} (S^{2}V_{-}).}$

Они возникают, в частности, когда ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ выше является полупростым, когда форма Киллинга обеспечивает двойственность между ${displaystyle {mathfrak {g}}_{+1}}$ и ${displaystyle {mathfrak {g}}_{-1}}$.

Смотрите также

• Ассоциатор
• Квадратичная йорданова алгебра

Рекомендации

• Бертрам, Вольфганг (2000), Геометрия структур Жордана и Ли, Конспект лекций по математике, 1754, Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-41426-1
• Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Американское математическое общество (1-е издание: Academic Press, Нью-Йорк, 1978).
• Джейкобсон, Натан (1949), "тройные системы Ли и Джордана", Американский журнал математики, 71 (1): 149–170, Дои:10.2307/2372102, JSTOR  2372102
• Камия, Нориаки (2001) [1994], «Тройная система лжи», Энциклопедия математики, EMS Press.
• Камия, Нориаки (2001) [1994], «Иорданская тройная система», Энциклопедия математики, EMS Press.
• Кехер, М. (1969), Элементарный подход к ограниченным симметричным областям, Конспект лекций, Университет Райса
• Лоос, Оттмар (1969), Симметричные пространства. Том 1: Общая теория, В. А. Бенджамин
• Лоос, Оттмар (1969), Симметричные пространства. Том 2: Компактные пространства и классификация, В. А. Бенджамин
• Лоос, Оттмар (1971), "тройные системы Джордана, р-пространства и ограниченные симметричные области ", Бюллетень Американского математического общества, 77: 558–561, Дои:10.1090 / с0002-9904-1971-12753-2
• Лоос, Оттмар (1975), Иорданские пары, Конспект лекций по математике, 460, Springer-Verlag
• Лоос, Оттмар (1977), Ограниченные симметрические области и жордановы пары (PDF), Математические лекции, Калифорнийский университет, Ирвин, архив из оригинал (PDF) на 2016-03-03
• Мейберг, К. (1972), Лекции по алгебрам и тройным системам (PDF), Университет Вирджинии
• Розенфельд, Борис (1997), Геометрия групп Ли, Математика и ее приложения, 393, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. 92, ISBN  978-0792343905, Zbl  0867.53002
• Тевелев, Э. (2002), «Обратные Мура-Пенроуза, параболические подгруппы и жордановы пары», Журнал теории лжи, 12: 461–481, arXiv:математика / 0101107, Bibcode:2001математика ...... 1107Т