Интеграл Барнса - Barnes integral

В математике Интеграл Барнса или же Меллин –Интеграл Барнса это контурный интеграл с участием продукта гамма-функции. Их представил Эрнест Уильям Барнс  (1908, 1910 ). Они тесно связаны с обобщенный гипергеометрический ряд.

Интеграл обычно берется по контуру, представляющему собой деформацию мнимой оси, проходящей справа от всех полюсов множителей вида Γ (а + s) и слева от всех полюсов множителей вида Γ (а − s).

Гипергеометрический ряд

В гипергеометрическая функция задается как интеграл Барнса (Барнс 1908 ) к

${displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={frac {Gamma (c)}{Gamma (a)Gamma (b)}}{frac {1}{2pi i}}int _{-iinfty }^{iinfty }{frac {Gamma (a+s)Gamma (b+s)Gamma (-s)}{Gamma (c+s)}}(-z)^{s},ds,}$

смотрите также (Эндрюс, Эски и Рой 1999, Теорема 2.4.1). Это равенство можно получить, сдвинув контур вправо, подбирая остатки в s = 0, 1, 2, .... за ${displaystyle zll 1}$, и аналитическим продолжением в другом месте. При правильных условиях сходимости можно связать более общие интегралы Барнса и обобщенные гипергеометрические функции _пF_q Аналогичным образом (Слейтер 1966 ).

Леммы Барнса

Первая лемма Барнса (Барнс 1908 ) состояния

${displaystyle {frac {1}{2pi i}}int _{-iinfty }^{iinfty }Gamma (a+s)Gamma (b+s)Gamma (c-s)Gamma (d-s)ds={frac {Gamma (a+c)Gamma (a+d)Gamma (b+c)Gamma (b+d)}{Gamma (a+b+c+d)}}.}$

Это аналог Гаусса ₂F₁ формула суммирования, а также расширение Бета-интеграл Эйлера. Интеграл в нем иногда называют Бета-интеграл Барнса.

Вторая лемма Барнса (Барнс 1910 ) состояния

${displaystyle {frac {1}{2pi i}}int _{-iinfty }^{iinfty }{frac {Gamma (a+s)Gamma (b+s)Gamma (c+s)Gamma (1-d-s)Gamma (-s)}{Gamma (e+s)}}ds}$

${displaystyle ={frac {Gamma (a)Gamma (b)Gamma (c)Gamma (1-d+a)Gamma (1-d+b)Gamma (1-d+c)}{Gamma (e-a)Gamma (e-b)Gamma (e-c)}}}$

куда е = а + б + c − d + 1. Это аналог Формула суммирования Заальшюца.

q-интегралы Барнса

Существуют аналоги интегралов Барнса для базовый гипергеометрический ряд, и многие другие результаты также могут быть распространены на этот случай (Гаспер и Рахман 2004, Глава 4).

Рекомендации

• Эндрюс, Г.; Аски, Р.; Рой, Р. (1999). Специальные функции. Энциклопедия математики и ее приложений. 71. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-62321-9. МИСТЕР  1688958.
• Барнс, E.W. (1908). «Новое развитие теории гипергеометрических функций» (PDF). Proc. Лондонская математика. Soc. s2-6: 141–177. Дои:10.1112 / плмс / с2-6.1.141. JFM  39.0506.01.
• Барнс, E.W. (1910). «Преобразование обобщенного гипергеометрического ряда». Ежеквартальный математический журнал. 41: 136–140. JFM  41.0503.01.
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004). Базовый гипергеометрический ряд. Энциклопедия математики и ее приложений. 96 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-83357-8. МИСТЕР  2128719.
• Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-06483-X. МИСТЕР  0201688. Zbl  0135.28101. (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN  978-0-521-09061-2)