Теорема Барбье - Barbiers theorem

Эти Полигоны Reuleaux иметь постоянную ширину, и все они имеют одинаковую ширину; следовательно, по теореме Барбье они также имеют равные периметры.

В геометрия, Теорема Барбье заявляет, что каждый кривая постоянной ширины имеет периметр π раз больше его ширины, независимо от его точной формы.^[1] Эта теорема была впервые опубликована Жозеф-Эмиль Барбье в 1860 г.^[2]

Примеры

Наиболее знакомыми примерами кривых постоянной ширины являются круг и Треугольник Рело. Ширина круга такая же, как у круга. диаметр; круг шириной ш имеет периметр πш. Треугольник Рело ширины ш состоит из трех дуги кругов радиус ш. Каждая из этих дуг имеет центральный угол π / 3, поэтому периметр треугольника Рело шириной ш равен половине периметра окружности радиуса ш и поэтому равен πш. Аналогичный анализ других простых примеров, таких как Полигоны Reuleaux дает тот же ответ.

Доказательства

Одно доказательство теоремы использует свойства Суммы Минковского. Если K тело постоянной ширины ш, то сумма Минковского K а его поворот на 180 ° представляет собой диск с радиусом ш и периметр 2πш. Однако сумма Минковского действует линейно на периметрах выпуклых тел, поэтому периметр K должен составлять половину периметра этого диска, который равен πш как утверждает теорема.^[3]

Или же теорема немедленно следует из Формула Крофтона в интегральная геометрия в соответствии с которым длина любой кривой равна мере набора линий, пересекающих кривую, умноженному на их количество пересечений. Любые две кривые, которые имеют одинаковую постоянную ширину, пересекаются наборами линий с одинаковой мерой, и поэтому они имеют одинаковую длину. Исторически сложилось так, что Крофтон вывел свою формулу позже и независимо от теоремы Барбье.^[4]

Элементарное вероятностное доказательство теоремы можно найти на Лапша Буффона.

Высшие измерения

Аналог теоремы Барбье для поверхности постоянной ширины ложно. В частности, единичная сфера имеет площадь поверхности ${\displaystyle 4\pi \approx 12.566}$, в то время как поверхность вращения из Треугольник Рело с такой же постоянной шириной имеет площадь поверхности ${\displaystyle 8\pi -{\tfrac {4}{3}}\pi ^{2}\approx 11.973}$.^[5]

Смотрите также

• Теорема Бляшке – Лебега и изопериметрическое неравенство, ограничивая области кривых постоянной ширины

Рекомендации

1. Лэй, Стивен Р. (2007), Выпуклые множества и их приложения, Довер, теорема 11.11, стр. 81–82, ISBN  9780486458038.
2. Барбье, Э. (1860 г.), "Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du Joint Couvert" (PDF), Journal de mathématiques pures et appliquées, 2^е série (на французском языке), 5: 273–286. См., В частности, стр. 283–285.
3. Теорема Барбье (Ява) в завязать узел.
4. Сильвестр, Дж. Дж. (1890), «О решении фуникулера« проблемы иглы »Бюффона в самом общем виде» (PDF), Acta Mathematica, 14 (1): 185–205, Дои:10.1007 / BF02413320.
5. Байен, Теренс; Генрион, Дидье (2012), «Полуопределенное программирование для оптимизации выпуклых тел при ограничениях ширины», Методы оптимизации и программное обеспечение, 27 (6): 1073–1099, CiteSeerX  10.1.1.402.9539, Дои:10.1080/10556788.2010.547580.