Модель Арруда – Бойса - Arruda–Boyce model

В механика сплошной среды, Модель Арруда – Бойса^[1] это сверхупругий конститутивная модель используется для описания механического поведения резинка и другие полимерный вещества. Эта модель основана на статистическая механика материала с кубической представительный элемент объема содержащий восемь цепочек по диагональным направлениям. Материал предполагается несжимаемый. Модель названа в честь Эллен Арруда и Мэри Каннингем Бойс, опубликовавший его в 1993 году.^[1]

В функция плотности энергии деформации для несжимаемый Модель Арруда – Бойса дается формулой^[2]

${\displaystyle W=Nk_{B}\theta {\sqrt {n}}\left[\beta \lambda _{\text{chain}}-{\sqrt {n}}\ln \left({\cfrac {\sinh \beta }{\beta }}\right)\right],}$

куда ${\displaystyle n}$ количество звеньев цепи, ${\displaystyle k_{B}}$ это Постоянная Больцмана, ${\displaystyle \theta }$ это температура в кельвины, ${\displaystyle N}$ количество цепей в сети сшитого полимера,

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {chain} }={\sqrt {\tfrac {I_{1}}{3}}},\quad \beta ={\mathcal {L}}^{-1}\left({\cfrac {\lambda _{\text{chain}}}{\sqrt {n}}}\right),}$

куда ${\displaystyle I_{1}}$ - первый инвариант левого тензора деформации Коши – Грина, а ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}(x)}$ это обратное Функция Ланжевена который может быть аппроксимирован

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}(x)={\begin{cases}1.31\tan(1.59x)+0.91x&{\text{for}}\ |x|<0.841,\\{\tfrac {1}{\operatorname {sgn}(x)-x}}&{\text{for}}\ 0.841\leq |x|<1.\end{cases}}}$

Для малых деформаций модель Арруда – Бойса сводится к гауссовой сети на основе неогуковское твердое тело модель. Это можно показать^[3] что Гент модель представляет собой простую и точную аппроксимацию модели Арруда – Бойса.

Альтернативные выражения для модели Арруда – Бойса

Альтернативная форма модели Арруда – Бойса, использующая первые пять членов обратной функции Ланжевена, следующая:^[4]

${\displaystyle W=C_{1}\left[{\tfrac {1}{2}}(I_{1}-3)+{\tfrac {1}{20N}}(I_{1}^{2}-9)+{\tfrac {11}{1050N^{2}}}(I_{1}^{3}-27)+{\tfrac {19}{7000N^{3}}}(I_{1}^{4}-81)+{\tfrac {519}{673750N^{4}}}(I_{1}^{5}-243)\right]}$

куда ${\displaystyle C_{1}}$ материальная постоянная. Количество ${\displaystyle N}$ также можно интерпретировать как меру ограничивающего растяжения сети.

Если ${\displaystyle \lambda _{m}}$ представляет собой отрезок, на котором сеть полимерных цепей становится заблокированной, мы можем выразить плотность энергии деформации Арруда-Бойса как

${\displaystyle W=C_{1}\left[{\tfrac {1}{2}}(I_{1}-3)+{\tfrac {1}{20\lambda _{m}^{2}}}(I_{1}^{2}-9)+{\tfrac {11}{1050\lambda _{m}^{4}}}(I_{1}^{3}-27)+{\tfrac {19}{7000\lambda _{m}^{6}}}(I_{1}^{4}-81)+{\tfrac {519}{673750\lambda _{m}^{8}}}(I_{1}^{5}-243)\right]}$

В качестве альтернативы мы можем выразить модель Арруда – Бойса в виде

${\displaystyle W=C_{1}~\sum _{i=1}^{5}\alpha _{i}~\beta ^{2i-2}~(I_{1}^{i}-3^{i})}$

куда ${\displaystyle \beta :={\tfrac {1}{N}}={\tfrac {1}{\lambda _{m}^{2}}}}$ и${\displaystyle \alpha _{1}:={\tfrac {1}{2}}~;~~\alpha _{2}:={\tfrac {1}{20}}~;~~\alpha _{3}:={\tfrac {11}{1050}}~;~~\alpha _{4}:={\tfrac {19}{7000}}~;~~\alpha _{5}:={\tfrac {519}{673750}}.}$

Если резина сжимаемый, зависимость от ${\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})}$ можно ввести в плотность энергии деформации; ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ будучи градиент деформации. Существует несколько возможностей, среди которых метод Калиске – Ротерта^[5] extension оказалась достаточно точной. С этим расширением функция плотности энергии деформации Арруда-Бойса может быть выражена как

${\displaystyle W=D_{1}\left({\tfrac {J^{2}-1}{2}}-\ln J\right)+C_{1}~\sum _{i=1}^{5}\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~({\overline {I}}_{1}^{i}-3^{i})}$

куда ${\displaystyle D_{1}}$ материальная постоянная и ${\displaystyle {\overline {I}}_{1}={I}_{1}J^{-2/3}}$ . Для согласованности с линейная эластичность, мы должны иметь ${\displaystyle D_{1}={\tfrac {\kappa }{2}}}$ куда ${\displaystyle \kappa }$ это объемный модуль.

Условие согласованности

Чтобы несжимаемая модель Арруда – Бойса согласовывалась с линейной упругостью, с ${\displaystyle \mu }$ как модуль сдвига материала, следующее условие должно быть удовлетворено:

${\displaystyle {\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}{\biggr |}_{I_{1}=3}={\frac {\mu }{2}}\,.}$

Из функции плотности энергии деформации Арруды – Бойса имеем

${\displaystyle {\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=C_{1}~\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\,.}$

Поэтому при ${\displaystyle I_{1}=3}$,

${\displaystyle \mu =2C_{1}~\sum _{i=1}^{5}i\,\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\,.}$

Подставляя значения ${\displaystyle \alpha _{i}}$ приводит к условию согласованности

${\displaystyle \mu =C_{1}\left(1+{\tfrac {3}{5\lambda _{m}^{2}}}+{\tfrac {99}{175\lambda _{m}^{4}}}+{\tfrac {513}{875\lambda _{m}^{6}}}+{\tfrac {42039}{67375\lambda _{m}^{8}}}\right)\,.}$

Напряжение-деформация

Напряжение Коши для несжимаемой модели Арруда – Бойса определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2C_{1}~\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]{\boldsymbol {B}}}$

Одноосное расширение

Кривые напряжение-деформация при одноосном растяжении для модели Арруда – Бойса в сравнении с различными моделями гиперупругого материала.

Для одноосного удлинения в ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$-направление, основные участки находятся ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{2}=\lambda _{3}}$. От несжимаемости ${\displaystyle \lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1}$. Следовательно ${\displaystyle \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3}^{2}=1/\lambda }$.Следовательно,

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {2}{\lambda }}~.}$

В левый тензор деформации Коши – Грина тогда можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda }}~(\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3})~.}$

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&=-p+2C_{1}\lambda ^{2}\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]\\\sigma _{22}&=-p+{\cfrac {2C_{1}}{\lambda }}\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]=\sigma _{33}~.\end{aligned}}}$

Если ${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$, у нас есть

${\displaystyle p={\cfrac {2C_{1}}{\lambda }}\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.}$

Следовательно,

${\displaystyle \sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.}$

В инженерное напряжение является ${\displaystyle \lambda -1\,}$. В инженерное напряжение является

${\displaystyle T_{11}=\sigma _{11}/\lambda =2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.}$

Равноосное удлинение

Для равноосного удлинения в ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$ направления, основные участки находятся ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda \,}$. От несжимаемости ${\displaystyle \lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1}$. Следовательно ${\displaystyle \lambda _{3}=1/\lambda ^{2}\,}$.Следовательно,

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=2~\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~.}$

В левый тензор деформации Коши – Грина тогда можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.}$

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем

${\displaystyle \sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]=\sigma _{22}~.}$

В инженерное напряжение является ${\displaystyle \lambda -1\,}$. В инженерное напряжение является

${\displaystyle T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{5}}}\right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]=T_{22}~.}$

Планарное расширение

Испытания на плоское растяжение проводятся на тонких образцах, которые не могут деформироваться в одном направлении. Для планарного удлинения в ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$ направления с ${\displaystyle \mathbf {n} _{3}}$ направление ограничено, основные участки находятся ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{3}=1}$. От несжимаемости ${\displaystyle \lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1}$. Следовательно ${\displaystyle \lambda _{2}=1/\lambda \,}$.Следовательно,

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+1~.}$

В левый тензор деформации Коши – Грина тогда можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.}$

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем

${\displaystyle \sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~;~~\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{33}=2C_{1}\left(1-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.}$

В инженерное напряжение является ${\displaystyle \lambda -1\,}$. В инженерное напряжение является

${\displaystyle T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{3}}}\right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.}$

Простой сдвиг

Градиент деформации для простой сдвиг деформация имеет вид^[6]

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {1}}+\gamma ~\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}$

куда ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}$ являются опорными ортонормированными базисными векторами в плоскости деформации, а деформация сдвига определяется выражением

${\displaystyle \gamma =\lambda -{\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1}$

Тогда в матричной форме градиент деформации и левый тензор деформации Коши – Грина можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Следовательно,

${\displaystyle I_{1}=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {B}})=3+\gamma ^{2}}$

а напряжение Коши определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2C_{1}\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~(3+\gamma ^{2})^{i-1}\right]~{\boldsymbol {B}}}$

Статистическая механика деформации полимеров

Основная статья: Эластичность резины

Модель Арруда – Бойса основана на статистической механике полимерных цепей. В этом подходе каждая макромолекула описывается как цепочка ${\displaystyle N}$ сегменты, каждый длиной ${\displaystyle l}$. Если предположить, что начальную конфигурацию цепочки можно описать случайная прогулка, то начальная длина цепочки равна

${\displaystyle r_{0}=l{\sqrt {N}}}$

Если предположить, что один конец цепочки находится в начале координат, то вероятность того, что блок размера ${\displaystyle dx_{1}dx_{2}dx_{3}}$ вокруг начала координат будет находиться другой конец цепочки, ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$, предполагая гауссову функция плотности вероятности, является

${\displaystyle p(x_{1},x_{2},x_{3})={\cfrac {b^{3}}{\pi ^{3/2}}}~\exp[-b^{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})]~;~~b:={\sqrt {\cfrac {3}{2Nl^{2}}}}}$

В конфигурационная энтропия одной цепи от Статистическая механика Больцмана является

${\displaystyle s=c-k_{B}b^{2}r^{2}}$

куда ${\displaystyle c}$ является константой. Полная энтропия в сети ${\displaystyle n}$ цепи поэтому

${\displaystyle \Delta S=-{\tfrac {1}{2}}nk_{B}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)=-{\tfrac {1}{2}}nk_{B}(I_{1}-3)}$

где аффинная деформация предполагалось. Следовательно, энергия деформации деформированной сети равна

${\displaystyle W=-\theta \,dS={\tfrac {1}{2}}nk_{B}\theta (I_{1}-3)}$

куда ${\displaystyle \theta }$ это температура.

Примечания и ссылки

1. Арруда, Э.М. и Бойс, М.С., 1993, Трехмерная модель поведения резиновых эластичных материалов при большом растяжении,, J. Mech. Phys. Solids, 41 (2), pp. 389–412.
2. Бергстром, Дж. С. и Бойс, М. К., 2001, Деформация эластомерных сетей: связь между деформацией на молекулярном уровне и классическими моделями статистической механики упругости резины, Macromolecules, 34 (3), pp 614–626, Дои:10.1021 / ma0007942.
3. Хорган, К. О. и Саккоманди, Г., 2002, Молекулярно-статистическая основа конститутивной модели эластичности резины Гента, Journal of Elasticity, 68 (1), pp. 167–176.
4. Хиермайер, С. Дж., 2008 г., Конструкции при аварии и ударе, Springer.
5. Калиске М. и Ротерт Х., 1997 г. О конечноэлементной реализации резиноподобных материалов при конечных деформациях, Инженерные вычисления, 14 (2), стр. 216–232.
6. Огден, Р. В., 1984, Нелинейные упругие деформации, Дувр.

Смотрите также

• Гиперупругий материал
• Эластичность резины
• Теория конечных деформаций
• Механика сплошной среды
• Функция плотности энергии деформации
• Неогукевское твердое тело
• Твердое тело Муни – Ривлина
• Йео (гиперупругая модель)
• Гент (гиперупругая модель)