Йео (гиперупругая модель) - Yeoh (hyperelastic model)

Прогноз модели Йео в сравнении с экспериментальными данными для натурального каучука. Параметры модели и экспериментальные данные из PolymerFEM.com

В Ага сверхупругий материал модель^[1] является феноменологической моделью деформации почти несжимаемый, нелинейный эластичный материалы, такие как резинка. Модель основана на Рональда Ривлина наблюдение, что упругие свойства резины можно описать с помощью функция плотности энергии деформации который является степенным рядом в инварианты деформации ${displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$ из Тензоры деформации Коши-Грина.^[2] Модель Yeoh для несжимаемой резины является функцией только ${displaystyle I_{1}}$. Для сжимаемых каучуков зависимость от ${displaystyle I_{3}}$ добавлен. Поскольку используется полиномиальная форма функции плотности энергии деформации, но не используются все три инварианта левого тензора деформации Коши-Грина, модель Йео также называется моделью Йео. уменьшенный полиномиальная модель.

Модель Yeoh для несжимаемых каучуков

Функция плотности энергии деформации

Первоначальная модель, предложенная Йео, имела кубическую форму только с ${displaystyle I_{1}}$ зависимость и применима к чисто несжимаемым материалам. Плотность энергии деформации для этой модели записывается как

${displaystyle W=sum _{i=1}^{3}C_{i}~(I_{1}-3)^{i}}$

куда ${displaystyle C_{i}}$ материальные константы. Количество ${displaystyle 2C_{1}}$ можно интерпретировать как начальный модуль сдвига.

Сегодня используется несколько более обобщенная версия модели Йео.^[3] Эта модель включает ${displaystyle n}$ сроки и записывается как

${displaystyle W=sum _{i=1}^{n}C_{i}~(I_{1}-3)^{i}~.}$

Когда ${displaystyle n=1}$ модель Йео сводится к неогуковская модель для несжимаемых материалов.

Для согласованности с линейная эластичность модель Йео должна удовлетворять условию

${displaystyle 2{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}(3)=mu ~~(ieq j)}$

куда ${displaystyle mu }$ это модуль сдвига материала. Теперь на ${displaystyle I_{1}=3(lambda _{i}=lambda _{j}=1)}$,

${displaystyle {cfrac {partial W}{partial I_{1}}}=C_{1}}$

Следовательно, условием согласованности модели Йео является

${displaystyle 2C_{1}=mu ,}$

Напряжение-деформация

Напряжение Коши для несжимаемой модели Йео определяется выражением

${displaystyle {oldsymbol {sigma }}=-p~{oldsymbol {mathit {1}}}+2~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}~{oldsymbol {B}}~;~~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}=sum _{i=1}^{n}i~C_{i}~(I_{1}-3)^{i-1}~.}$

Одноосное расширение

Для одноосного удлинения в ${displaystyle mathbf {n} _{1}}$-направление, основные участки находятся ${displaystyle lambda _{1}=lambda ,~lambda _{2}=lambda _{3}}$. От несжимаемости ${displaystyle lambda _{1}~lambda _{2}~lambda _{3}=1}$. Следовательно ${displaystyle lambda _{2}^{2}=lambda _{3}^{2}=1/lambda }$. Следовательно,

${displaystyle I_{1}=lambda _{1}^{2}+lambda _{2}^{2}+lambda _{3}^{2}=lambda ^{2}+{cfrac {2}{lambda }}~.}$

В левый тензор деформации Коши-Грина тогда можно выразить как

${displaystyle {oldsymbol {B}}=lambda ^{2}~mathbf {n} _{1}otimes mathbf {n} _{1}+{cfrac {1}{lambda }}~(mathbf {n} _{2}otimes mathbf {n} _{2}+mathbf {n} _{3}otimes mathbf {n} _{3})~.}$

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем

${displaystyle sigma _{11}=-p+2~lambda ^{2}~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}~;~~sigma _{22}=-p+{cfrac {2}{lambda }}~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}=sigma _{33}~.}$

С ${displaystyle sigma _{22}=sigma _{33}=0}$, у нас есть

${displaystyle p={cfrac {2}{lambda }}~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}~.}$

Следовательно,

${displaystyle sigma _{11}=2~left(lambda ^{2}-{cfrac {1}{lambda }}ight)~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}~.}$

В инженерное напряжение является ${displaystyle lambda -1,}$. В инженерное напряжение является

${displaystyle T_{11}=sigma _{11}/lambda =2~left(lambda -{cfrac {1}{lambda ^{2}}}ight)~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}~.}$

Равноосное удлинение

Для равноосного удлинения в ${displaystyle mathbf {n} _{1}}$ и ${displaystyle mathbf {n} _{2}}$ направления, основные участки находятся ${displaystyle lambda _{1}=lambda _{2}=lambda ,}$. От несжимаемости ${displaystyle lambda _{1}~lambda _{2}~lambda _{3}=1}$. Следовательно ${displaystyle lambda _{3}=1/lambda ^{2},}$. Следовательно,

${displaystyle I_{1}=lambda _{1}^{2}+lambda _{2}^{2}+lambda _{3}^{2}=2~lambda ^{2}+{cfrac {1}{lambda ^{4}}}~.}$

В левый тензор деформации Коши-Грина тогда можно выразить как

${displaystyle {oldsymbol {B}}=lambda ^{2}~mathbf {n} _{1}otimes mathbf {n} _{1}+lambda ^{2}~mathbf {n} _{2}otimes mathbf {n} _{2}+{cfrac {1}{lambda ^{4}}}~mathbf {n} _{3}otimes mathbf {n} _{3}~.}$

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем

${displaystyle sigma _{11}=-p+2~lambda ^{2}~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}=sigma _{22}~;~~sigma _{33}=-p+{cfrac {2}{lambda ^{4}}}~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}~.}$

С ${displaystyle sigma _{33}=0}$, у нас есть

${displaystyle p={cfrac {2}{lambda ^{4}}}~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}~.}$

Следовательно,

${displaystyle sigma _{11}=2~left(lambda ^{2}-{cfrac {1}{lambda ^{4}}}ight)~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}=sigma _{22}~.}$

В инженерное напряжение является ${displaystyle lambda -1,}$. В инженерное напряжение является

${displaystyle T_{11}={cfrac {sigma _{11}}{lambda }}=2~left(lambda -{cfrac {1}{lambda ^{5}}}ight)~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}=T_{22}~.}$

Планарное расширение

Испытания на плоское растяжение проводятся на тонких образцах, которые не могут деформироваться в одном направлении. Для планарного удлинения в ${displaystyle mathbf {n} _{1}}$ направления с ${displaystyle mathbf {n} _{3}}$ направление ограничено, основные участки находятся ${displaystyle lambda _{1}=lambda ,~lambda _{3}=1}$. От несжимаемости ${displaystyle lambda _{1}~lambda _{2}~lambda _{3}=1}$. Следовательно ${displaystyle lambda _{2}=1/lambda ,}$. Следовательно,

${displaystyle I_{1}=lambda _{1}^{2}+lambda _{2}^{2}+lambda _{3}^{2}=lambda ^{2}+{cfrac {1}{lambda ^{2}}}+1~.}$

В левый тензор деформации Коши-Грина тогда можно выразить как

${displaystyle {oldsymbol {B}}=lambda ^{2}~mathbf {n} _{1}otimes mathbf {n} _{1}+{cfrac {1}{lambda ^{2}}}~mathbf {n} _{2}otimes mathbf {n} _{2}+mathbf {n} _{3}otimes mathbf {n} _{3}~.}$

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем

${displaystyle sigma _{11}=-p+2~lambda ^{2}~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}~;~~sigma _{22}=-p+{cfrac {2}{lambda ^{2}}}~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}~;~~sigma _{33}=-p+2~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}~.}$

С ${displaystyle sigma _{22}=0}$, у нас есть

${displaystyle p={cfrac {2}{lambda ^{2}}}~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}~.}$

Следовательно,

${displaystyle sigma _{11}=2~left(lambda ^{2}-{cfrac {1}{lambda ^{2}}}ight)~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}~;~~sigma _{22}=0~;~~sigma _{33}=2~left(1-{cfrac {1}{lambda ^{2}}}ight)~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}~.}$

В инженерное напряжение является ${displaystyle lambda -1,}$. В инженерное напряжение является

${displaystyle T_{11}={cfrac {sigma _{11}}{lambda }}=2~left(lambda -{cfrac {1}{lambda ^{3}}}ight)~{cfrac {partial W}{partial I_{1}}}~.}$

Модель Yeoh для сжимаемых каучуков

Версия модели Йео, которая включает ${displaystyle I_{3}=J^{2}}$ зависимость используется для сжимаемых каучуков. Функция плотности энергии деформации для этой модели записывается как

${displaystyle W=sum _{i=1}^{n}C_{i0}~({ar {I}}_{1}-3)^{i}+sum _{k=1}^{n}C_{k1}~(J-1)^{2k}}$

куда ${displaystyle {ar {I}}_{1}=J^{-2/3}~I_{1}}$, и ${displaystyle C_{i0},C_{k1}}$ материальные константы. Количество ${displaystyle C_{10}}$ интерпретируется как половина начального модуля сдвига, а ${displaystyle C_{11}}$ интерпретируется как половина начального модуля объемной упругости.

Когда ${displaystyle n=1}$ сжимаемая модель Йео сводится к неогуковская модель для несжимаемых материалов.

Рекомендации

1. Йео, О. Х., 1993, "Некоторые формы функции энергии деформации для резины", Резиновая химия и технология, Том 66, выпуск 5, ноябрь 1993 г., страницы 754-771.
2. Ривлин, Р. С., 1948, "Некоторые приложения теории упругости к резинотехнике", в Сборник статей Р. С. Ривлина т. 1 и 2, Springer, 1997.
3. Сельвадурай, А. П. С., 2006, "Прогиб резиновой мембраны", Журнал механики и физики твердого тела, т. 54, нет. 6. С. 1093–1119.

Смотрите также

• Гиперупругий материал
• Функция плотности энергии деформации
• Муни-Ривлин твердый
• Теория конечных деформаций
• Стрессовые меры