Стрессовые меры - Stress measures

Наиболее часто используемая мера стресса - это Тензор напряжений Коши, часто называют просто то тензор напряжений или «истинное напряжение». Однако можно определить несколько других мер стресса.^[1][2][3] Некоторые такие меры стресса которые широко используются в механике сплошных сред, особенно в вычислительном контексте:

1. Напряжение Кирхгофа (${displaystyle {oldsymbol { au }}}$).
2. Номинальное напряжение (${displaystyle {oldsymbol {N}}}$).
3. Первое напряжение Пиолы-Кирхгофа (${displaystyle {oldsymbol {P}}}$). Этот тензор напряжений является транспонированной величиной номинального напряжения (${displaystyle {oldsymbol {P}}={oldsymbol {N}}^{T}}$).
4. Второй стресс Пиолы-Кирхгофа или стресс PK2 (${displaystyle {oldsymbol {S}}}$).
5. Стресс Био (${displaystyle {oldsymbol {T}}}$)

Определения мер стресса

Рассмотрим ситуацию, показанную на следующем рисунке. В следующих определениях используются обозначения, показанные на рисунке.

Величины, используемые при определении меры стресса

В эталонной конфигурации ${displaystyle Omega _{0}}$, внешняя нормаль к элементу поверхности ${displaystyle dGamma _{0}}$ является ${displaystyle mathbf {N} equiv mathbf {n} _{0}}$ и сила тяги, действующая на эту поверхность, равна ${displaystyle mathbf {t} _{0}}$ приводящий к вектору силы ${displaystyle dmathbf {f} _{0}}$. В деформированной конфигурации ${displaystyle Omega }$, элемент поверхности изменится на ${displaystyle dGamma }$ с нормальным внешним видом ${displaystyle mathbf {n} }$ и вектор тяги ${displaystyle mathbf {t} }$ ведущий к силе ${displaystyle dmathbf {f} }$. Обратите внимание, что эта поверхность может быть либо гипотетическим разрезом внутри тела, либо реальной поверхностью. Количество ${displaystyle {oldsymbol {F}}}$ это тензор градиента деформации, ${displaystyle J}$ его определитель.

Напряжение Коши

Напряжение Коши (или истинное напряжение) - это мера силы, действующей на элемент площади в деформированной конфигурации. Этот тензор симметричен и определяется через

${displaystyle dmathbf {f} =mathbf {t} ~dGamma ={oldsymbol {sigma }}^{T}cdot mathbf {n} ~dGamma }$

или же

${displaystyle mathbf {t} ={oldsymbol {sigma }}^{T}cdot mathbf {n} }$

куда ${displaystyle mathbf {t} }$ это тяга и ${displaystyle mathbf {n} }$ нормаль к поверхности, на которую действует тяга.

Напряжение Кирхгофа

Количество,

${displaystyle {oldsymbol { au }}=J~{oldsymbol {sigma }}}$

называется Тензор напряжений Кирхгофа, с ${displaystyle J}$ детерминант ${displaystyle {oldsymbol {F}}}$. Он широко используется в численных алгоритмах пластической деформации металлов (где нет изменения объема при пластической деформации). Это можно назвать взвешенный тензор напряжений Коши также.

Номинальное напряжение / Первое напряжение Пиолы-Кирхгофа

Номинальное напряжение ${displaystyle {oldsymbol {N}}={oldsymbol {P}}^{T}}$ представляет собой транспонирование первого напряжения Пиолы-Кирхгофа (напряжение PK1, также называемое инженерным напряжением) ${displaystyle {oldsymbol {P}}}$ и определяется через

${displaystyle dmathbf {f} =mathbf {t} ~dGamma ={oldsymbol {N}}^{T}cdot mathbf {n} _{0}~dGamma _{0}={oldsymbol {P}}cdot mathbf {n} _{0}~dGamma _{0}}$

или же

${displaystyle mathbf {t} _{0}=mathbf {t} {dfrac {d{Gamma }}{dGamma _{0}}}={oldsymbol {N}}^{T}cdot mathbf {n} _{0}={oldsymbol {P}}cdot mathbf {n} _{0}}$

Это напряжение несимметрично и представляет собой двухточечный тензор, подобный градиенту деформации.
Асимметрия возникает из-за того, что в качестве тензора он имеет один индекс, прикрепленный к эталонной конфигурации, а другой - к деформированной конфигурации.^[4]

Второй стресс Пиолы-Кирхгофа

Если мы отступить ${displaystyle dmathbf {f} }$ к эталонной конфигурации, мы имеем

${displaystyle dmathbf {f} _{0}={oldsymbol {F}}^{-1}cdot dmathbf {f} }$

или же,

${displaystyle dmathbf {f} _{0}={oldsymbol {F}}^{-1}cdot {oldsymbol {N}}^{T}cdot mathbf {n} _{0}~dGamma _{0}={oldsymbol {F}}^{-1}cdot mathbf {t} _{0}~dGamma _{0}}$

Напряжение PK2 (${displaystyle {oldsymbol {S}}}$) симметрична и определяется соотношением

${displaystyle dmathbf {f} _{0}={oldsymbol {S}}^{T}cdot mathbf {n} _{0}~dGamma _{0}={oldsymbol {F}}^{-1}cdot mathbf {t} _{0}~dGamma _{0}}$

Следовательно,

${displaystyle {oldsymbol {S}}^{T}cdot mathbf {n} _{0}={oldsymbol {F}}^{-1}cdot mathbf {t} _{0}}$

Био стресс

Стресс Био полезен, потому что он сопряженная энергия к правый тензор растяжения ${displaystyle {oldsymbol {U}}}$. Напряжение Био определяется как симметричная часть тензора ${displaystyle {oldsymbol {P}}^{T}cdot {oldsymbol {R}}}$ куда ${displaystyle {oldsymbol {R}}}$ - тензор вращения, полученный из полярное разложение градиента деформации. Поэтому тензор напряжений Био определяется как

${displaystyle {oldsymbol {T}}={ frac {1}{2}}({oldsymbol {R}}^{T}cdot {oldsymbol {P}}+{oldsymbol {P}}^{T}cdot {oldsymbol {R}})~.}$

Стресс Био также называют стрессом Яумана.

Количество ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ не имеет физической интерпретации. Однако несимметричное напряжение Био имеет интерпретацию

${displaystyle {oldsymbol {R}}^{T}~dmathbf {f} =({oldsymbol {P}}^{T}cdot {oldsymbol {R}})^{T}cdot mathbf {n} _{0}~dGamma _{0}}$

Связь между мерами стресса

Связь между напряжением Коши и номинальным напряжением

Из Формула Нансона связанные области в исходной и деформированной конфигурациях:

${displaystyle mathbf {n} ~dGamma =J~{oldsymbol {F}}^{-T}cdot mathbf {n} _{0}~dGamma _{0}}$

Сейчас же,

${displaystyle {oldsymbol {sigma }}^{T}cdot mathbf {n} ~dGamma =dmathbf {f} ={oldsymbol {N}}^{T}cdot mathbf {n} _{0}~dGamma _{0}}$

Следовательно,

${displaystyle {oldsymbol {sigma }}^{T}cdot (J~{oldsymbol {F}}^{-T}cdot mathbf {n} _{0}~dGamma _{0})={oldsymbol {N}}^{T}cdot mathbf {n} _{0}~dGamma _{0}}$

или же,

${displaystyle {oldsymbol {N}}^{T}=J~({oldsymbol {F}}^{-1}cdot {oldsymbol {sigma }})^{T}=J~{oldsymbol {sigma }}^{T}cdot {oldsymbol {F}}^{-T}}$

или же,

${displaystyle {oldsymbol {N}}=J~{oldsymbol {F}}^{-1}cdot {oldsymbol {sigma }}qquad { ext{and}}qquad {oldsymbol {N}}^{T}={oldsymbol {P}}=J~{oldsymbol {sigma }}^{T}cdot {oldsymbol {F}}^{-T}}$

В индексной записи

${displaystyle N_{Ij}=J~F_{Ik}^{-1}~sigma _{kj}qquad { ext{and}}qquad P_{iJ}=J~sigma _{ki}~F_{Jk}^{-1}}$

Следовательно,

${displaystyle J~{oldsymbol {sigma }}={oldsymbol {F}}cdot {oldsymbol {N}}={oldsymbol {F}}cdot {oldsymbol {P}}^{T}~.}$

Обратите внимание, что ${displaystyle {oldsymbol {N}}}$ и ${displaystyle {oldsymbol {P}}}$ (как правило) не симметричны, потому что ${displaystyle {oldsymbol {F}}}$ (обычно) не симметричен.

Отношения между номинальным напряжением и вторым напряжением P-K

Напомним, что

${displaystyle {oldsymbol {N}}^{T}cdot mathbf {n} _{0}~dGamma _{0}=dmathbf {f} }$

и

${displaystyle dmathbf {f} ={oldsymbol {F}}cdot dmathbf {f} _{0}={oldsymbol {F}}cdot ({oldsymbol {S}}^{T}cdot mathbf {n} _{0}~dGamma _{0})}$

Следовательно,

${displaystyle {oldsymbol {N}}^{T}cdot mathbf {n} _{0}={oldsymbol {F}}cdot {oldsymbol {S}}^{T}cdot mathbf {n} _{0}}$

или (используя симметрию ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$),

${displaystyle {oldsymbol {N}}={oldsymbol {S}}cdot {oldsymbol {F}}^{T}qquad { ext{and}}qquad {oldsymbol {P}}={oldsymbol {F}}cdot {oldsymbol {S}}}$

В индексной записи

${displaystyle N_{Ij}=S_{IK}~F_{jK}^{T}qquad { ext{and}}qquad P_{iJ}=F_{iK}~S_{KJ}}$

В качестве альтернативы мы можем написать

${displaystyle {oldsymbol {S}}={oldsymbol {N}}cdot {oldsymbol {F}}^{-T}qquad { ext{and}}qquad {oldsymbol {S}}={oldsymbol {F}}^{-1}cdot {oldsymbol {P}}}$

Связь между напряжением Коши и вторым напряжением P-K

Напомним, что

${displaystyle {oldsymbol {N}}=J~{oldsymbol {F}}^{-1}cdot {oldsymbol {sigma }}}$

Что касается 2-го ПК-стресса, мы имеем

${displaystyle {oldsymbol {S}}cdot {oldsymbol {F}}^{T}=J~{oldsymbol {F}}^{-1}cdot {oldsymbol {sigma }}}$

Следовательно,

${displaystyle {oldsymbol {S}}=J~{oldsymbol {F}}^{-1}cdot {oldsymbol {sigma }}cdot {oldsymbol {F}}^{-T}={oldsymbol {F}}^{-1}cdot {oldsymbol { au }}cdot {oldsymbol {F}}^{-T}}$

В индексной записи

${displaystyle S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}~ au _{kl}~F_{Jl}^{-1}}$

Поскольку напряжение Коши (и, следовательно, напряжение Кирхгофа) является симметричным, второе ПК-напряжение также симметрично.

В качестве альтернативы мы можем написать

${displaystyle {oldsymbol {sigma }}=J^{-1}~{oldsymbol {F}}cdot {oldsymbol {S}}cdot {oldsymbol {F}}^{T}}$

или же,

${displaystyle {oldsymbol { au }}={oldsymbol {F}}cdot {oldsymbol {S}}cdot {oldsymbol {F}}^{T}~.}$

Ясно, что из определения продвигать и отступление операции, у нас есть

${displaystyle {oldsymbol {S}}=varphi ^{*}[{oldsymbol { au }}]={oldsymbol {F}}^{-1}cdot {oldsymbol { au }}cdot {oldsymbol {F}}^{-T}}$

и

${displaystyle {oldsymbol { au }}=varphi _{*}[{oldsymbol {S}}]={oldsymbol {F}}cdot {oldsymbol {S}}cdot {oldsymbol {F}}^{T}~.}$

Следовательно, ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$ это отступление от ${displaystyle {oldsymbol { au }}}$ к ${displaystyle {oldsymbol {F}}}$ и ${displaystyle {oldsymbol { au }}}$ это толчок вперед ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$.

Смотрите также

• Стресс (физика)
• Теория конечных деформаций
• Механика сплошной среды
• Гиперупругий материал
• Эластичный материал Коши
• Анализ критической плоскости

Резюме отношений между мерами стресса

Формулы преобразования
	${displaystyle {oldsymbol {sigma }}}$	${displaystyle {oldsymbol {P}}}$	${displaystyle {oldsymbol {S}}}$	${displaystyle {oldsymbol { au }}}$	${displaystyle {oldsymbol {T}}}$	${displaystyle {oldsymbol {M}}}$
${displaystyle {oldsymbol {sigma }}=,}$	${displaystyle {oldsymbol {sigma }}}$	${displaystyle J^{-1}{oldsymbol {P}}{oldsymbol {F}}^{T}}$	${displaystyle J^{-1}{oldsymbol {F}}{oldsymbol {S}}{oldsymbol {F}}^{T}}$	${displaystyle J^{-1}{oldsymbol { au }}}$	${displaystyle J^{-1}{oldsymbol {R}}{oldsymbol {T}}{oldsymbol {F}}^{T}}$	${displaystyle J^{-1}{oldsymbol {F}}^{-T}{oldsymbol {M}}{oldsymbol {F}}^{T}}$ (неизотропия)
${displaystyle {oldsymbol {P}}=,}$	${displaystyle J{oldsymbol {sigma }}{oldsymbol {F}}^{-T}}$	${displaystyle {oldsymbol {P}}}$	${displaystyle {oldsymbol {F}}{oldsymbol {S}}}$	${displaystyle {oldsymbol { au }}{oldsymbol {F}}^{-T}}$	${displaystyle {oldsymbol {R}}{oldsymbol {T}}}$	${displaystyle {oldsymbol {F}}^{-T}{oldsymbol {M}}}$
${displaystyle {oldsymbol {S}}=,}$	${displaystyle J{oldsymbol {F}}^{-1}{oldsymbol {sigma }}{oldsymbol {F}}^{-T}}$	${displaystyle {oldsymbol {F}}^{-1}{oldsymbol {P}}}$	${displaystyle {oldsymbol {S}}}$	${displaystyle {oldsymbol {F}}^{-1}{oldsymbol { au }}{oldsymbol {F}}^{-T}}$	${displaystyle {oldsymbol {U}}^{-1}{oldsymbol {T}}}$	${displaystyle {oldsymbol {C}}^{-1}{oldsymbol {M}}}$
${displaystyle {oldsymbol { au }}=,}$	${displaystyle J{oldsymbol {sigma }}}$	${displaystyle {oldsymbol {P}}{oldsymbol {F}}^{T}}$	${displaystyle {oldsymbol {F}}{oldsymbol {S}}{oldsymbol {F}}^{T}}$	${displaystyle {oldsymbol { au }}}$	${displaystyle {oldsymbol {R}}{oldsymbol {T}}{oldsymbol {F}}^{T}}$	${displaystyle {oldsymbol {F}}^{-T}{oldsymbol {M}}{oldsymbol {F}}^{T}}$ (неизотропия)
${displaystyle {oldsymbol {T}}=,}$	${displaystyle J{oldsymbol {R}}^{T}{oldsymbol {sigma }}{oldsymbol {F}}^{-T}}$	${displaystyle {oldsymbol {R}}^{T}{oldsymbol {P}}}$	${displaystyle {oldsymbol {U}}{oldsymbol {S}}}$	${displaystyle {oldsymbol {R}}^{T}{oldsymbol { au }}{oldsymbol {F}}^{-T}}$	${displaystyle {oldsymbol {T}}}$	${displaystyle {oldsymbol {U}}^{-1}{oldsymbol {M}}}$
${displaystyle {oldsymbol {M}}=,}$	${displaystyle J{oldsymbol {F}}^{T}{oldsymbol {sigma }}{oldsymbol {F}}^{-T}}$ (неизотропия)	${displaystyle {oldsymbol {F}}^{T}{oldsymbol {P}}}$	${displaystyle {oldsymbol {C}}{oldsymbol {S}}}$	${displaystyle {oldsymbol {F}}^{T}{oldsymbol { au }}{oldsymbol {R}}^{-T}}$ (неизотропность)	${displaystyle {oldsymbol {U}}{oldsymbol {T}}}$	${displaystyle {oldsymbol {M}}}$
${displaystyle J=det left({oldsymbol {F}}ight),quad {oldsymbol {C}}={oldsymbol {F}}^{T}{oldsymbol {F}}={oldsymbol {U}}^{2},quad {oldsymbol {F}}={oldsymbol {R}}{oldsymbol {U}},quad {oldsymbol {R}}^{T}={oldsymbol {R}}^{-1}}$
${displaystyle {oldsymbol {P}}=J{oldsymbol {sigma }}{oldsymbol {F}}^{-T},quad {oldsymbol { au }}=J{oldsymbol {sigma }},quad {oldsymbol {S}}=J{oldsymbol {F}}^{-1}{oldsymbol {sigma }}{oldsymbol {F}}^{-T},quad {oldsymbol {T}}={oldsymbol {R}}^{T}{oldsymbol {P}},quad {oldsymbol {M}}={oldsymbol {C}}{oldsymbol {S}}}$

Рекомендации

1. Дж. Бонет и Р. В. Вуд, Нелинейная механика сплошной среды для конечно-элементного анализа, Издательство Кембриджского университета.
2. Р. В. Огден, 1984 г., Нелинейные упругие деформации, Дувр.
3. Л. Д. Ландау, Э. М. Лифшиц, Теория упругости, Третье издание
4. Трехмерная эластичность. Эльзевир. 1 апреля 1988 г. ISBN  978-0-08-087541-5.