Категория Йеттера – Дринфельда - Yetter–Drinfeld category

В математика а Категория Йеттера – Дринфельда это особый вид плетеная моноидальная категория. Это состоит из модули через Алгебра Хопфа которые удовлетворяют некоторым дополнительным аксиомам.

Определение

Позволять ЧАС - алгебра Хопфа над поле k. Позволять ${displaystyle Delta }$ обозначить сопродукт и S то антипод из ЧАС. Позволять V быть векторное пространство над k. потом V называется (слева слева) Модуль Йеттера – Дринфельда над ЧАС если

• ${displaystyle (V,{oldsymbol {.}})}$ левый ЧАС-модуль, где ${displaystyle {oldsymbol {.}}:Hotimes V o V}$ обозначает левое действие ЧАС на V,
• ${displaystyle (V,delta ;)}$ левый ЧАС-комодуль, где ${displaystyle delta :V o Hotimes V}$ обозначает левую кооперацию ЧАС на V,
• карты ${displaystyle {oldsymbol {.}}}$ и ${displaystyle delta }$ удовлетворять условию совместимости

${displaystyle delta (h{oldsymbol {.}}v)=h_{(1)}v_{(-1)}S(h_{(3)})otimes h_{(2)}{oldsymbol {.}}v_{(0)}}$ для всех ${displaystyle hin H,vin V}$,

где, используя Обозначение Sweedler, ${displaystyle (Delta otimes mathrm {id} )Delta (h)=h_{(1)}otimes h_{(2)}otimes h_{(3)}in Hotimes Hotimes H}$ обозначает двойное копроизведение ${displaystyle hin H}$, и ${displaystyle delta (v)=v_{(-1)}otimes v_{(0)}}$.

Примеры

• Любой левый ЧАС-модуль над кокоммутативной алгеброй Хопфа ЧАС является модулем Йеттера – Дринфельда с тривиальным левым кодействием ${displaystyle delta (v)=1otimes v}$.
• Тривиальный модуль ${displaystyle V=k{v}}$ с участием ${displaystyle h{oldsymbol {.}}v=epsilon (h)v}$, ${displaystyle delta (v)=1otimes v}$, является модулем Йеттера – Дринфельда для всех алгебр Хопфа ЧАС.
• Если ЧАС это групповая алгебра кг из абелева группа г, то модули Йеттера – Дринфельда над ЧАС точно г-квалифицированный г-модули. Это значит, что

${displaystyle V=igoplus _{gin G}V_{g}}$,

где каждый ${displaystyle V_{g}}$ это г-подмодуль V.

• В более общем смысле, если группа г не абелев, то модули Йеттера – Дринфельда над H = кг находятся г-модули с г-градация

${displaystyle V=igoplus _{gin G}V_{g}}$, так что ${displaystyle g.V_{h}subset V_{ghg^{-1}}}$.

• Над базовым полем ${displaystyle k=mathbb {C} ;}$ все конечномерные неприводимые / простые модули Йеттера – Дринфельда над (неабелевой) группой H = кг однозначно даны^[1] через класс сопряженности ${displaystyle [g]subset G;}$ вместе с ${displaystyle chi ,X;}$ (характер) неприводимого группового представления централизатор ${displaystyle Cent(g);}$ некоторых представляющих ${displaystyle gin [g]}$:

  ${displaystyle V={mathcal {O}}_{[g]}^{chi }={mathcal {O}}_{[g]}^{X}qquad V=igoplus _{hin [g]}V_{h}=igoplus _{hin [g]}X}$

  • Так как г-модуль взять ${displaystyle {mathcal {O}}_{[g]}^{chi }}$ быть индуцированный модуль из ${displaystyle chi ,X;}$:

  ${displaystyle Ind_{Cent(g)}^{G}(chi )=kGotimes _{kCent(g)}X}$

  (легко доказать, что это не зависит от выбора г)

  • Чтобы определить г-graduation (comodule) присвоить любой элемент ${displaystyle totimes vin kGotimes _{kCent(g)}X=V}$ к градуировочному слою:

  ${displaystyle totimes vin V_{tgt^{-1}}}$

  • Это очень привычно непосредственно строить ${displaystyle V;}$ как прямая сумма Икс´s и запишите г-действие по выбору определенного набора представителей ${displaystyle t_{i};}$ для ${displaystyle Cent(g);}$-смежные классы. При таком подходе часто пишут

  ${displaystyle hotimes vsubset [g] imes X;;leftrightarrow ;;t_{i}otimes vin kGotimes _{kCent(g)}Xqquad { ext{with uniquely}};;h=t_{i}gt_{i}^{-1}}$

  (это обозначение подчеркивает градуировку${displaystyle hotimes vin V_{h}}$, а не структура модуля)

Плетение

Позволять ЧАС - алгебра Хопфа с обратимым антиподом S, и разреши V, W быть модулями Йеттера – Дринфельда над ЧАС. Тогда карта ${displaystyle c_{V,W}:Votimes W o Wotimes V}$,

${displaystyle c(votimes w):=v_{(-1)}{oldsymbol {.}}wotimes v_{(0)},}$

обратима с обратным

${displaystyle c_{V,W}^{-1}(wotimes v):=v_{(0)}otimes S^{-1}(v_{(-1)}){oldsymbol {.}}w.}$

Далее, для любых трех модулей Йеттера – Дринфельда U, V, W карта c удовлетворяет соотношению кос

${displaystyle (c_{V,W}otimes mathrm {id} _{U})(mathrm {id} _{V}otimes c_{U,W})(c_{U,V}otimes mathrm {id} _{W})=(mathrm {id} _{W}otimes c_{U,V})(c_{U,W}otimes mathrm {id} _{V})(mathrm {id} _{U}otimes c_{V,W}):Uotimes Votimes W o Wotimes Votimes U.}$

А моноидальная категория ${displaystyle {mathcal {C}}}$ состоящий из модулей Йеттера – Дринфельда над алгеброй Хопфа ЧАС с биективным антиподом называется Категория Йеттера – Дринфельда. Это плетеная моноидальная категория с плетением. c над. Категория модулей Йеттера – Дринфельда над алгеброй Хопфа ЧАС с биективным антиподом обозначается ${displaystyle {}_{H}^{H}{mathcal {YD}}}$.

использованная литература

1. Н. Андрускевич и М. Грана: Сплетенные алгебры Хопфа над неабелевыми группами, Бол. Акад. Ciencias (Кордова) 63(1999), 658-691

• Монтгомери, Сьюзен (1993). Алгебры Хопфа и их действия на кольцах. Серия региональных конференций по математике. 82. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0738-2. Zbl  0793.16029.