Тождество Вайнштейна – Ароншайна - Weinstein–Aronszajn identity

В математика, то Тождество Вайнштейна – Ароншайна заявляет, что если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ находятся матрицы размера м × п и п × м соответственно (один или оба из которых могут быть бесконечными), то при условии ${\displaystyle AB}$ имеет класс трассировки (а значит, и ${\displaystyle BA}$),

${\displaystyle \det(I_{m}+AB)=\det(I_{n}+BA),}$

куда ${\displaystyle I_{k}}$ это k × k единичная матрица.

Это тесно связано с Лемма о детерминанте матрицы и его обобщение. Это детерминант аналог Тождество матрицы Вудбери для обратных матриц.

Доказательство

Тождество можно доказать следующим образом.^[1] Позволять ${\displaystyle M}$ быть матрицей, состоящей из четырех блоки ${\displaystyle I_{m}}$, ${\displaystyle -A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle I_{n}}$.

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}.}$

Потому что я_м является обратимый, формула для определителя блочной матрицы дает

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{m})\det(I_{n}-BI_{m}^{-1}(-A))=\det(I_{n}+BA).}$

Потому что я_п обратима, формула определителя блочной матрицы дает

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{n})\det(I_{m}-(-A)I_{n}^{-1}B)=\det(I_{m}+AB).}$

Таким образом

${\displaystyle \det(I_{n}+BA)=\det(I_{m}+AB).}$

Приложения

Эта идентификация полезна при разработке Байесовская оценка за многомерные гауссовские распределения.

Идентичность также находит применение в теория случайных матриц связывая определители больших матриц с определителями меньших матриц.^[2]

Рекомендации

1. Позрикидис, К. (2014), Введение в сетки, графики и сети, Oxford University Press, стр. 271, г. ISBN  9780199996735
2. «Мезоскопическая структура собственных значений GUE | Что нового». Terrytao.wordpress.com. Получено 2016-01-16.