Идентичность Уорда – Такахаши - Ward–Takahashi identity

В квантовая теория поля, а Идентичность Уорда-Такахаши это идентичность между корреляционные функции что следует из глобального или калибровочного симметрии теории, и которая остается в силе после перенормировка.

Идентичность Уорда-Такахаши квантовая электродинамика изначально использовался Джон Клайв Уорд^[1] и Ясуси Такахаши^[2] связать перенормировка волновой функции из электрон к его коэффициент перенормировки вершины, гарантируя отмену ультрафиолетовое расхождение на все заказы теория возмущений. Более позднее использование включает расширение доказательства Теорема Голдстоуна ко всем порядкам теории возмущений.

В более общем смысле тождество Уорда – Такахаши - это квантовая версия классического сохранения тока, связанная с непрерывной симметрией формулой Теорема Нётер. Такие симметрии в квантовой теории поля (почти) всегда приводят к этим обобщенным тождествам Уорда – Такахаши, которые накладывают симметрию на уровень квантово-механических амплитуд. Этот обобщенный смысл следует различать при чтении литературы, например Майкл Пескин и Даниэль Шредер учебник,^[3] от оригинальной идентичности Уорда – Такахаши.

Подробное обсуждение ниже касается QED, абелевский теория к которому применима идентичность Уорда – Такахаши. Эквивалентные тождества для неабелев теории, такие как QCD являются Тождества Славнова – Тейлора.

Идентичность Уорда-Такахаши

Тождество Уорда – Такахаши применяется к корреляционным функциям в импульсное пространство, которые не обязательно имеют все свои внешние импульсы на оболочке. Позволять

${\displaystyle {\mathcal {M}}(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})}$

быть QED корреляционная функция с привлечением внешнего фотон с импульсом k (где ${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$ это поляризация вектор фотона и суммирование по ${\displaystyle \mu =0,\ldots ,3}$ подразумевается), п начальное состояние электроны с импульсами ${\displaystyle p_{1}\cdots p_{n}}$, и п электроны в конечном состоянии с импульсами ${\displaystyle q_{1}\cdots q_{n}}$. Также определите ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ быть проще амплитуда который получается удалением фотона с импульсом k от нашей исходной амплитуды. Тогда идентичность Уорда-Такахаши читается как

${\displaystyle k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=e\sum _{i}\left[{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots (q_{i}-k)\cdots q_{n})\right.}$

${\displaystyle \left.-{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots (p_{i}+k)\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})\right]}$

куда е это заряд электрона и имеет отрицательный знак. Обратите внимание, что если ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ имеет внешние электроны на оболочке, то каждая амплитуда в правой части этого тождества имеет одну внешнюю частицу вне оболочки, и поэтому они не вносят вклад в S-матрица элементы.

Личность подопечного

Идентичность Уорда - это специализация идентичности Уорда – Такахаши для S-матрица элементы, описывающие физически возможные рассеяние процессы и, следовательно, все их внешние частицы на оболочке. Снова позвольте ${\displaystyle {\mathcal {M}}(k)=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k)}$ - амплитуда для некоторого процесса КЭД с участием внешнего фотона с импульсом ${\displaystyle k}$, куда ${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$ это поляризация вектор фотона. Затем личность Уорда гласит:

${\displaystyle k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k)=0}$

Физически это тождество означает продольную поляризацию фотона, возникающую в ξ калибровка нефизичен и исчезает из S-матрицы.

Примеры его использования включают ограничение тензор структура поляризация вакуума и электрона вершинная функция в QED.

Вывод в формулировке интеграла по путям

Смотрите также: Формулировка интеграла по путям

В формулировке интеграла по путям тождества Уорда – Такахаши являются отражением инвариантности функциональная мера под калибровочное преобразование. Точнее, если ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }}$ представляет собой калибровочное преобразование ${\displaystyle \varepsilon }$ (и это применимо даже в случае, когда физическая симметрия системы равна Глобальный или даже не существует; мы беспокоимся только о инвариантность функциональной меры здесь), то

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =0}$

выражает инвариантность функциональной меры, где S - действие и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ это функциональный из поля. Если калибровочное преобразование соответствует Глобальный симметрия теории, то

${\displaystyle \delta _{\varepsilon }S=\int \left(\partial _{\mu }\varepsilon \right)J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x=-\int \varepsilon \partial _{\mu }J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x}$

для некоторых "Текущий " J (как функционал полей ${\displaystyle \phi }$) после интеграция по частям и предполагая, что поверхностные условия можно пренебречь.

Затем идентичности Уорда-Такахаши становятся

${\displaystyle \langle \delta _{\varepsilon }{\mathcal {F}}\rangle -i\int \varepsilon \langle {\mathcal {F}}\partial _{\mu }J^{\mu }\rangle \mathrm {d} ^{d}x=0}$

Это аналог QFT Уравнение неразрывности Нётер ${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}$.

Если калибровочное преобразование соответствует фактическому калибровочная симметрия тогда

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{i\left(S+S_{gf}\right)}\right){\mathcal {D}}\phi =0}$

где S - калибровочно-инвариантное действие, а S_gf не калибровочно-инвариантный крепление датчика срок.

Но обратите внимание, что даже если нет глобальной симметрии (то есть симметрия нарушена), у нас все еще есть тождество Уорда – Такахаши, описывающее скорость несохранения заряда.

Если функциональная мера не является калибровочно-инвариантной, но удовлетворяет

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =\int \varepsilon \lambda {\mathcal {F}}e^{iS}\mathrm {d} ^{d}x}$

куда ${\displaystyle \lambda }$ - некоторый функционал полей ${\displaystyle \phi }$, у нас есть аномальная идентичность Уорда – Такахаши, например, когда поля имеют хиральная аномалия.

Рекомендации

1. Уорд, Джон Клайв (1950). «Тождество в квантовой электродинамике». Физический обзор. 78 (2): 182. Bibcode:1950PhRv ... 78..182Вт. Дои:10.1103 / PhysRev.78.182.
2. Такахаши, Ясуси (1957). «Об обобщенной подопечной идентичности». Il Nuovo Cimento. 6 (2): 371–375. Bibcode:1957NCim .... 6..371T. Дои:10.1007 / BF02832514.
3. Пескин, Майкл Э .; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Westview Press. Раздел 7.4 («Идентичность Уорда и Такахаши»). ISBN  978-0-201-50397-5.