Ультрагиперболическое уравнение - Ultrahyperbolic equation

в математический поле уравнения в частных производных, то ультрагиперболическое уравнение является уравнением в частных производных для неизвестной скалярной функции ты из 2п переменные Икс₁, ..., Икс_п, у₁, ..., у_п формы

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y_{1}^{2}}}-\cdots -{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y_{n}^{2}}}=0.\qquad \qquad (1)}$

В более общем смысле, если а есть ли квадратичная форма через 2п переменные с подпись (п,п), то любое УЧП, главная часть которого ${\displaystyle a_{ij}u_{x_{i}x_{j}}}$ считается ультрагиперболическим. Любое такое уравнение может быть записано в форму 1. выше с помощью замены переменных.^[1]

Ультрагиперболическое уравнение изучается с нескольких точек зрения. С одной стороны, он напоминает классический волновое уравнение. Это привело к ряду изменений, касающихся его характеристики, одна из которых связана с Фриц Джон: the Уравнение Джона.

Уолтер Крейг и Стивен Вайнштейн недавно (2008) доказали, что при нелокальном ограничении задача начального значения корректна для начальных данных, заданных на гиперповерхности коразмерности один.^[2]

Уравнение также изучалось с точки зрения симметричные пространства, и эллиптические дифференциальные операторы.^[3] В частности, ультрагиперболическое уравнение удовлетворяет аналогу уравнения Теорема о среднем значении для гармонических функций

Примечания

1. См. Куранта и Гильберта.
2. Крейг, Уолтер; Вайнштейн, Стивен. «О детерминизме и корректности во многих временных измерениях». Proc. R. Soc. Том. 465 нет. 2110 3023-3046 (2008). Получено 5 декабря 2013.
3. См., Например, Хельгассон.

Рекомендации

• Дэвид Гильберт; Ричард Курант (1962). Методы математической физики. 2. Wiley-Interscience. С. 744–752. ISBN  978-0-471-50439-9.
• Ларс Хёрмандер (20 августа 2001 г.). «Теорема Асгейрссона о среднем значении и связанные с ней тождества». Журнал функционального анализа. 2 (184): 377–401. Дои:10.1006 / jfan.2001.3743.
• Ларс Хёрмандер (1990). Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I. Springer-Verlag. Теорема 7.3.4. ISBN  978-3-540-52343-7.
• Сигурдур Хельгасон (2000). Группы и геометрический анализ. Американское математическое общество. С. 319–323. ISBN  978-0-8218-2673-7.
• Фриц Джон (1938). «Ультрагиперболическое дифференциальное уравнение с четырьмя независимыми переменными». Duke Math. J. 4 (2): 300–322. Дои:10.1215 / S0012-7094-38-00423-5.