Поверхность трансляции (дифференциальная геометрия) - Translation surface (differential geometry)

Поверхность перевода: определение

В дифференциальная геометрия а поверхность перевода это поверхность который создается переводы:

• Для двух космические кривые ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ с общей точкой ${\displaystyle P}$, Кривая ${\displaystyle c_{1}}$ сдвигается так, что точка ${\displaystyle P}$ движется дальше ${\displaystyle c_{2}}$. По этой процедуре кривая ${\displaystyle c_{1}}$ создает поверхность: поверхность перевода.

Если обе кривые лежат в одной плоскости, поверхность перевода плоская (часть плоскости). Этот случай обычно игнорируется.

эллипс. параболоид, парабол. цилиндр, гипербол. параболоид как поверхность перевода

поверхность трансляции: образующие кривые - дуга синуса и дуга параболы

Сдвиг горизонтального круга по спирали

Простой Примеры:

1. Правый круговой цилиндр: ${\displaystyle c_{1}}$ это круг (или другое сечение) и ${\displaystyle c_{2}}$ это линия.
2. В эллиптический параболоид ${\displaystyle \;z=x^{2}+y^{2}\;}$ может быть сгенерирован ${\displaystyle \ c_{1}:\;(x,0,x^{2})\ }$ и ${\displaystyle \ c_{2}:\;(0,y,y^{2})\ }$ (обе кривые параболы ).
3. В гиперболический параболоид ${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$ может быть сгенерирован ${\displaystyle c_{1}:(x,0,x^{2})}$ (парабола) и ${\displaystyle c_{2}:(0,y,-y^{2})}$ (открытая вниз парабола).

Поверхности перевода популярны в начертательная геометрия^[1][2] и архитектура^[3], потому что их легко смоделировать.
В дифференциальная геометрия минимальные поверхности представлены поверхностями перевода или как поверхности мидхорда (см. ниже)^[4].

Поверхности трансляции, как они определены здесь, не следует путать с поверхности перевода в сложная геометрия.

Параметрическое представление

Для двух пространственных кривых ${\displaystyle \ c_{1}:\;{\vec {x}}=\gamma _{1}(u)\ }$ и ${\displaystyle \ c_{2}:\;{\vec {x}}=\gamma _{2}(v)\ }$ с ${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}$ поверхность перевода ${\displaystyle \Phi }$ может быть представлен^[5]:

(TS) ${\displaystyle \quad {\vec {x}}=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}$

и содержит источник. Очевидно, это определение симметрично относительно кривых ${\displaystyle c_{1}}$ и ${\displaystyle c_{2}}$. Поэтому обе кривые называются образующие (один: образующая ). Любая точка ${\displaystyle X}$ поверхности содержится в сдвинутой копии ${\displaystyle c_{1}}$ и ${\displaystyle c_{2}}$ соответственно. касательная плоскость в ${\displaystyle X}$ порождается касательными векторами образующих в этой точке, если эти векторы линейно независимый.

Если предварительное условие ${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}$ не выполняется, поверхность, определяемая (TS) не может содержать начало координат и кривые ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$. Но в любом случае на поверхности есть сдвинутые копии любой из кривых. ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ как параметрические кривые ${\displaystyle {\vec {x}}(u_{0},v)}$ и ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v_{0})}$ соответственно.

Две кривые ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ можно использовать для создания так называемых соответствующих поверхность мидкорда. Его параметрическое представление

(MCS) ${\displaystyle \quad {\vec {x}}={\frac {1}{2}}(\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v))\;.}$

Геликоид как поверхность трансляции и поверхность средней хорды

Геликоид как трансляционная поверхность с идентичными образующими ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

Геликоид как поверхность переноса: любая параметрическая кривая является смещенной копией фиолетовой спирали.

А геликоид частный случай обобщенный геликоид и линейчатая поверхность. Это пример минимальная поверхность и может быть представлена ​​как поверхность перевода.

Геликоид с параметрическим представлением

${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,kv)}$

имеет развернуться сдвиг (Немецкий: Ganghöhe) ${\displaystyle 2\pi k}$. Представляем новые параметры ${\displaystyle \alpha ,\varphi }$^[6] такой, что

${\displaystyle u=2a\cos \left({\frac {\alpha -\varphi }{2}}\right)\ ,\ \ v={\frac {\alpha +\varphi }{2}}}$

и ${\displaystyle a}$ положительное действительное число, получается новое параметрическое представление

• ${\displaystyle {\vec {X}}(\alpha ,\varphi )=\left(a\cos \alpha +a\cos \varphi \;,\;a\sin \alpha +a\sin \varphi \;,\;{\frac {k\alpha }{2}}+{\frac {k\varphi }{2}}\right)}$

${\displaystyle =(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}})\ +\ (a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}})\ ,}$

которая является параметрическим представлением поверхности трансляции с двумя идентичный (!) образующие

${\displaystyle c_{1}:\;\gamma _{1}={\vec {X}}(\alpha ,0)=\left(a+a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\quad }$ и

${\displaystyle c_{2}:\;\gamma _{2}={\vec {X}}(0,\varphi )=\left(a+a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\ .}$

Общая точка, используемая для диаграммы: ${\displaystyle P={\vec {X}}(0,0)=(2a,0,0)}$(Идентичные) образующие представляют собой спирали со сдвигом разворота. ${\displaystyle k\pi \;,}$ лежащие на цилиндре с уравнением ${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$. Любая параметрическая кривая - это сдвинутая копия образующей ${\displaystyle c_{1}}$ (на схеме: фиолетовый) и содержится в правом круговом цилиндре с радиусом ${\displaystyle a}$, который содержит z-ось.

Новое параметрическое представление представляет только такие точки геликоида, которые находятся внутри цилиндра с уравнением ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=4a^{2}}$.

Геликоид как поверхность средней хорды двух одинаковых образующих (зеленая спираль).

Из нового параметрического представления можно понять, что геликоид также является поверхностью мидхорда:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {X}}(\alpha ,\varphi )&=\left(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\ +\ \left(a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\\[5pt]&={\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha )+\delta _{2}(\varphi ))\ ,\quad \end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle d_{1}:\ {\vec {x}}=\delta _{1}(\alpha )=(2a\cos \alpha ,2a\sin \alpha ,k\alpha )\ ,\quad }$ и

${\displaystyle d_{2}:\ {\vec {x}}=\delta _{2}(\varphi )=(2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi ,k\varphi )\ ,\quad }$

две одинаковые образующие.

На схеме: ${\displaystyle P_{1}:\delta _{1}(\alpha _{0})}$ лежит на спирали ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}:\delta _{2}(\varphi _{0})}$ на (идентичной) спирали ${\displaystyle d_{2}}$. Середина аккорда ${\displaystyle \ M:{\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha _{0})+\delta _{2}(\varphi _{0}))={\vec {X}}(\alpha _{0},\varphi _{0})\ }$.

Преимущества переводческой поверхности

Архитектура

Поверхность (например, крышу) может быть изготовлена ​​с использованием джиг для кривой${\displaystyle c_{2}}$ и несколько одинаковых приспособлений кривой ${\displaystyle c_{1}}$. Конструировать приспособления можно без каких-либо знаний математики. При установке приспособлений следует соблюдать только правила переводческой поверхности.

Начертательная геометрия

Создание параллельная проекция поверхности трансляции: 1) должен произвести проекции двух образующих, 2) сделать кривую ${\displaystyle c_{1}}$ и 3) нарисуйте с помощью этого приспособления копии кривой, соблюдая правила поверхности перевода. Контур поверхности - это огибающая кривых, нарисованных с помощью приспособления. Эта процедура работает для ортогональных и наклонных проекций, но не для центральные проекции.

Дифференциальная геометрия

Для поверхности перевода с параметрическим представлением${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}$в частные производные из ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}$ являются простыми производными кривых. Следовательно, смешанные производные всегда ${\displaystyle 0}$ а коэффициент ${\displaystyle M}$ из вторая основная форма является ${\displaystyle 0}$, тоже. Это существенное облегчение для демонстрации того, что (например) геликоид является минимальной поверхностью.

Рекомендации

1. Х. Браунер: Lehrbuch der Konstruktiven Geometrie, Springer-Verlag, 2013,ISBN  3709187788, 9783709187784, стр. 236
2. Фриц Хоэнберг: Konstruktive Geometrie in der Technik, Springer-Verlag, 2013, ISBN  3709181488, 9783709181485, стр. 208
3. Ганс Шобер: Transparente Schalen: Форма, Топология, Tragwerk, Джон Уайли и сыновья, 2015, ISBN  343360598X, 9783433605981, с. 74
4. Вильгельм Блашке, Курт Райдемайстер: Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie II: Affine Differentialgeometrie, Springer-Verlag, 2013,ISBN  364247392X, 9783642473920, стр. 94
5. Эрвин Круппа: Аналитическая и конструктивная дифференциальная геометрия, Springer-Verlag, 2013, ISBN  3709178673, 9783709178676, стр. 45
6. J.C.C. Ниче: Vorlesungen über Minimalflächen, Springer-Verlag, 2013, ISBN  3642656196, 9783642656194, стр. 59

• Ж. Дарбу: Leçons sur la theorie générale des Surfaces, и ее приложения géométriques du Calcul infinitésimal , 1–4, Chelsea, перепечатка, 972, стр. Sects. 81–84, 218
• Георг Глезер: Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik, Springer-Verlag, 2014, ISBN  364241852X, п. 259
• В. Хаак: Элементарная дифференциальная геометрия, Springer-Verlag, 2013, ISBN  3034869509, п. 140
• К. Леопольд: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Кольхаммер Верлаг, Штутгарт 2005, ISBN  3-17-018489-X, п. 122
• Д.Дж. Струик: Лекции по классической дифференциальной геометрии , Dover, перепечатка, 1988, стр.103, 109, 184

внешняя ссылка

• Энциклопедия математики