Поверхность перевода - Translation surface

В математика а поверхность перевода представляет собой поверхность, полученную путем определения сторон многоугольника в Евклидова плоскость по переводам. Эквивалентное определение - это Риманова поверхность вместе с голоморфный 1-форма.

Эти поверхности возникают в динамические системы где их можно использовать для моделирования бильярд, И в Теория Тейхмюллера. Особенно интересным подклассом является подкласс Поверхности Veech (названный в честь Уильям А. Вич ), которые являются наиболее симметричными.

Определения

Геометрическое определение

Поверхность трансляции - это пространство, полученное путем попарного определения посредством сдвигов сторон набора плоских многоугольников.

Вот более формальное определение. Позволять ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{m}}$ набор (не обязательно выпуклых) многоугольников на евклидовой плоскости, и предположим, что для каждой стороны ${\displaystyle s_{i}}$ любой ${\displaystyle P_{k}}$ есть сторона ${\displaystyle s_{j}}$ некоторых ${\displaystyle P_{l}}$ с ${\displaystyle j\not =i}$ и ${\displaystyle s_{j}=s_{i}+{\vec {v}}_{i}}$ для некоторого ненулевого вектора ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ (и так что ${\displaystyle {\vec {v}}_{j}=-{\vec {v}}_{i}}$. Рассмотрим пространство, полученное путем идентификации всех ${\displaystyle s_{i}}$ с соответствующими ${\displaystyle s_{j}}$ через карту ${\displaystyle x\mapsto x+{\vec {v}}_{i}}$.

Канонический способ построения такой поверхности следующий: начнем с векторов ${\displaystyle {\vec {w}}_{1},\ldots ,{\vec {w}}_{n}}$ и перестановка ${\displaystyle \sigma }$ на ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$, и сформируем ломаные линии ${\displaystyle L=x,x+{\vec {w}}_{1},\ldots ,x+{\vec {w}}_{1}+\cdots +{\vec {w}}_{n}}$ и ${\displaystyle L'=x,x+{\vec {w}}_{\sigma (1)},\ldots ,x+{\vec {w}}_{\sigma (1)}+\cdots +{\vec {w}}_{\sigma (n)}}$ начиная с произвольно выбранной точки. В случае, когда эти две прямые образуют многоугольник (т.е.они не пересекаются за пределами своих конечных точек), возникает естественное соединение сторон.

Фактор-пространство - это замкнутая поверхность. Имеет плоскую метрику вне набора ${\displaystyle \Sigma }$ образы вершин. В какой-то момент ${\displaystyle \Sigma }$ сумма углов многоугольников вокруг вершин, которые сопоставляются с ним, является положительным кратным ${\displaystyle 2\pi }$, и метрика сингулярна, если угол точно не ${\displaystyle 2\pi }$.

Аналитическое определение

Позволять ${\displaystyle S}$ быть поверхностью перевода, как определено выше, и ${\displaystyle \Sigma }$ множество особых точек. Отождествляя евклидову плоскость с комплексной плоскостью, можно получить карты координат на ${\displaystyle S\setminus \Sigma }$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Более того, замены карт являются голоморфными отображениями, точнее отображениями вида ${\displaystyle z\mapsto z+w}$ для некоторых ${\displaystyle w\in \mathbb {C} }$. Это дает ${\displaystyle S\setminus \Sigma }$ структура римановой поверхности, которая распространяется на всю поверхность ${\displaystyle S}$ по теореме Римана о устраняемые особенности. Кроме того, дифференциал ${\displaystyle dz}$ куда ${\displaystyle z:U\to \mathbb {C} }$ любая диаграмма, определенная выше, не зависит от диаграммы. Таким образом, эти дифференциалы, определенные на областях карты, сливаются вместе, образуя четко определенную голоморфную 1-форму ${\displaystyle \omega }$ на ${\displaystyle S}$. Вершины многоугольника, в которых углы конуса не равны ${\displaystyle 2\pi }$ нули ${\displaystyle \omega }$ (угол конуса ${\displaystyle 2k\pi }$ соответствует нулю порядка ${\displaystyle (k-1)}$).

В обратном направлении, учитывая пару ${\displaystyle (X,\omega )}$ куда ${\displaystyle X}$ является компактной римановой поверхностью и ${\displaystyle \omega }$ голоморфную 1-форму можно построить многоугольник, используя комплексные числа ${\displaystyle \int _{\gamma _{j}}\omega }$ куда ${\displaystyle \gamma _{j}}$ - непересекающиеся пути между нулями ${\displaystyle \omega }$ которые составляют целостную основу относительных когомологий.

Примеры

Простейший пример трансляционной поверхности получается склейкой противоположных сторон параллелограмма. Это плоский тор без особенностей.

Если ${\displaystyle P}$ регулярный ${\displaystyle 4g}$-угольника, то полученная склейкой противоположных сторон поверхность трансляции имеет род ${\displaystyle g}$ с единственной особой точкой, с углом ${\displaystyle (2g-1)2\pi }$.

Если ${\displaystyle P}$ получается путем размещения из стороны в сторону набора копий единичного квадрата, а затем любой поверхности перевода, полученной из ${\displaystyle P}$ называется квадратная плитка. Отображение поверхности на плоский тор, полученное отождествлением всех квадратов, есть разветвленное покрытие с точками ветвления - особенности (угол конуса в особенности пропорционален степени ветвления).

Риман – Рох и Гаусс – Бонне

Предположим, что поверхность ${\displaystyle X}$ - замкнутая риманова поверхность рода ${\displaystyle g}$ и это ${\displaystyle \omega }$ ненулевая голоморфная 1-форма на ${\displaystyle X}$, с нулями порядка ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{m}}$. Тогда Теорема Римана – Роха подразумевает, что

${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}d_{j}=2g-2.}$

Если поверхность перевода ${\displaystyle (X,\omega )}$ представлен многоугольником ${\displaystyle P}$ затем триангулируя его и суммируя углы по всем вершинам, можно восстановить указанную выше формулу (используя соотношение между углами конуса и порядком нулей) таким же образом, как и в доказательстве Формула Гаусса – Бонне для гиперболических поверхностей или доказательство Формула Эйлера из Теорема Жирара.

Поверхности трансляции как слоистые поверхности

Если ${\displaystyle (X,\omega )}$ поверхность перевода есть естественный измеренное слоение на ${\displaystyle X}$. Если он получен из многоугольника, это просто изображение вертикальных линий, а мера дуги - это просто евклидова длина горизонтального сегмента, гомотопного дуге. Слоение также получается линиями уровня мнимой части (локального) примитива для ${\displaystyle \omega }$ а мера получается интегрированием действительной части.

Пространства модулей

Страта

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ - множество трансляционных поверхностей рода ${\displaystyle g}$ (где два таких ${\displaystyle (X,\omega ),(X',\omega ')}$ считаются одинаковыми, если существует голоморфный диффеоморфизм ${\displaystyle \phi :X\to X'}$ такой, что ${\displaystyle \phi ^{*}\omega '=\omega }$). Позволять ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ быть пространство модулей римановых поверхностей рода ${\displaystyle g}$; есть естественная карта ${\displaystyle {\mathcal {H}}\to {\mathcal {M}}_{g}}$ отображение поверхности перевода на нижележащую риманову поверхность. Это превращается ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ в локально тривиальный пучок волокон над пространством модулей.

На компактную поверхность перевода ${\displaystyle (X,\omega )}$ там связаны данные ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{m})}$ куда ${\displaystyle k_{1}\leq k_{2}\leq \cdots }$ порядки нулей ${\displaystyle \omega }$. Если ${\displaystyle \alpha =(k_{1},\ldots ,k_{m})}$ есть ли раздел из ${\displaystyle 2g-2}$ затем слой ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$ это подмножество ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ поверхностей сдвига, имеющих голоморфную форму, нули которых совпадают с разбиением.

Слой ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$ естественно является сложным орбифолдом комплексной размерности ${\displaystyle 2g+m-1}$ (Обратите внимание, что ${\displaystyle {\mathcal {H}}(0)}$ - пространство модулей торов, которое, как известно, является орбифолдом; в высшем роде неспособность быть многообразием еще более драматична). Местные координаты даются как

${\displaystyle (X,\omega )\mapsto \left(\int _{\gamma _{1}}\omega ,\ldots ,\int _{\gamma _{n}}\omega \right)}$

куда ${\displaystyle n=\dim(H_{1}(S,\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}))=2g+m-1}$ и ${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{k}}$ является, как и выше, симплектическим базисом этого пространства.

Мазур-веечские тома

Слой ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$ признает ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{*}}$-действие и, следовательно, реальная и сложная проекция ${\displaystyle {{\mathcal {H}}(\alpha )}\to {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )\to {\mathcal {H}}_{2}(\alpha )}$. Реальная проективизация допускает естественное сечение ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )\to {\mathcal {H}}(\alpha )}$ если мы определим его как пространство поверхностей перевода области 1.

Наличие указанных выше координат периода позволяет наделить пласт ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$ с цельной аффинной структурой и, следовательно, с естественной формой объема ${\displaystyle \nu }$. Так же получаем объемную форму ${\displaystyle \nu _{1}(\alpha )}$ на ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )}$ распадом ${\displaystyle \nu }$. Том Мазур-Вееч ${\displaystyle Vol(\alpha )}$ общий объем ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )}$ за ${\displaystyle \nu _{1}(\alpha )}$. Конечность этого объема была доказана независимо. Уильям А. Вич ^[1] и Говард Мазур^[2].

В 90-е годы Максим Концевич и Антон Зорич вычислили эти объемы численно путем подсчета узлов решетки ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$. Они заметили, что ${\displaystyle Vol(\alpha )}$ должен иметь форму ${\displaystyle \pi ^{2g}}$ умножить на рациональное число. Из этого наблюдения они ожидали существования формулы, выражающей объемы через числа пересечений на пространствах модулей кривых.

Алекс Эскин и Андрей Окуньков дал первый алгоритм для вычисления этих объемов. Они показали, что производящие ряды этих чисел являются q-разложениями вычислимых квазимодулярных форм. Используя этот алгоритм, они смогли подтвердить численное наблюдение Концевича и Зорича. ^[3].

Совсем недавно Чен, Мёллер, Сауваге и Дон Загье показал, что объемы могут быть вычислены как числа пересечений на алгебраической компактификации ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}(\alpha )}$. В настоящее время все еще остается открытым вопрос о распространении этой формулы на слои половинных трансляционных поверхностей. ^[4].

SL (2, "R") - действие

Если ${\displaystyle (X,\omega )}$ поверхность перевода, полученная путем идентификации граней многоугольника ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ тогда поверхность перевода ${\displaystyle g\cdot (X,\omega )}$ это связано с многоугольником ${\displaystyle g(P)}$. Это определило непрерывное действие ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ на пространстве модулей ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ который сохраняет слои ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$. Это действие спускается к действию на ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )}$ что эргодично относительно ${\displaystyle \nu _{1}}$.

Поверхности половинного перевода

Определения

А полупереводная поверхность определяется аналогично поверхности трансляции, но позволяет склеивающим картам иметь нетривиальную линейную часть, которая представляет собой пол-оборота. Формально поверхность трансляции определяется геометрически путем взятия набора многоугольников на евклидовой плоскости и идентификации лиц по картам вида ${\displaystyle z\mapsto \pm z+w}$ («полуперевод»). Обратите внимание, что лицо можно отождествить с самим собой. Полученная таким образом геометрическая структура представляет собой плоскую метрику вне конечного числа особых точек с углами конуса, положительными кратными ${\displaystyle \pi }$.

Как и в случае с поверхностями перевода, существует аналитическая интерпретация: поверхность полуперемещения можно интерпретировать как пару ${\displaystyle (X,\phi )}$ куда ${\displaystyle X}$ является римановой поверхностью и ${\displaystyle \phi }$ а квадратичный дифференциал на ${\displaystyle X}$. Чтобы перейти от геометрической картины к аналитической, достаточно просто взять квадратичный дифференциал, локально определяемый формулой ${\displaystyle (dz)^{2}}$ (который инвариантен относительно полутрансляций), а для другого направления берется риманова метрика, индуцированная ${\displaystyle \phi }$, которая является гладкой и плоской вне нулей ${\displaystyle \phi }$.

Связь с геометрией Тейхмюллера

Если ${\displaystyle X}$ является римановой поверхностью, то векторное пространство квадратичных дифференциалов на ${\displaystyle X}$ естественно отождествляется с касательным пространством к пространству Тейхмюллера в любой точке выше ${\displaystyle X}$. Это можно доказать аналитическими методами, используя Встраивание Берс. Поверхности половинного перевода могут быть использованы для более геометрической интерпретации этого: если ${\displaystyle (X,g),(Y,h)}$ две точки в пространстве Тейхмюллера, то по теореме Тейхмюллера об отображении существует два многоугольника ${\displaystyle P,Q}$ чьи грани можно идентифицировать с помощью полутрансляций, чтобы получить плоские поверхности с нижележащими римановыми поверхностями, изоморфными ${\displaystyle X,Y}$ соответственно и аффинное отображение ${\displaystyle f}$ отправки самолета ${\displaystyle P}$ к ${\displaystyle Q}$ который имеет наименьшее искажение среди квазиконформные отображения в своем изотопическом классе, и который изотопен ${\displaystyle h\circ g^{-1}}$.

Все определяется однозначно, вплоть до масштабирования, если мы спросим, ​​что ${\displaystyle f}$ иметь форму ${\displaystyle f_{s}}$, куда ${\displaystyle f_{t}:(x,y)\mapsto (e^{t}x,e^{-t}y)}$, для некоторых ${\displaystyle s>0}$ ; мы обозначим через ${\displaystyle X_{t}}$ риманова поверхность, полученная из многоугольника ${\displaystyle f_{t}(P)}$. Теперь путь ${\displaystyle t\mapsto (X_{t},f_{t}\circ g)}$ в Teichmüller пространство объединяется ${\displaystyle (X,g)}$ к ${\displaystyle (Y,h)}$, и дифференцируя его на ${\displaystyle t=0}$ дает вектор в касательном пространстве; поскольку ${\displaystyle (Y,g)}$ было произвольно, мы получаем биекцию.

На самом деле пути, используемые в этой конструкции, являются геодезическими Тейхмюллера. Интересным фактом является то, что хотя геодезический луч, связанный с плоской поверхностью, соответствует измеренному слоению, и, таким образом, направления в касательном пространстве отождествляются с Граница Терстона геодезический луч Тейхмюллера, связанный с плоской поверхностью, не всегда сходится к соответствующей точке на границе,^[5] хотя почти все такие лучи так и поступают.^[6]

Поверхности Veech

Группа Вич

Если ${\displaystyle (X,\omega )}$ это поверхность перевода Вич группа это Фуксова группа что изображение в ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ подгруппы ${\displaystyle \mathrm {SL} (X,\omega )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ преобразований ${\displaystyle g}$ такой, что ${\displaystyle g\cdot (X,\omega )}$ изоморфна (как поверхность перевода) ${\displaystyle (X,\omega )}$. Эквивалентно, ${\displaystyle \mathrm {SL} (X,\omega )}$ группа производных аффинных диффеоморфизмов ${\displaystyle (X,\omega )\to (X,\omega )}$ (где аффинность определяется локально вне особенностей по отношению к аффинной структуре, индуцированной структурой трансляции). Группы Veech обладают следующими свойствами:^[7]

• Это дискретные подгруппы в ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$;
• Они никогда не бывают компактными.

Группы Вича могут быть либо конечно порожденными, либо нет.^[8]

Поверхности Veech

Поверхность Вича по определению является поверхностью трансляции, группа Вича которой является решетка в ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$, эквивалентно его действие на гиперболическая плоскость признает фундаментальная область конечного объема. Поскольку он не является кокомпактным, он должен содержать параболические элементы.

Примерами поверхностей Вича являются поверхности с квадратными плитками, группы Вича которых соизмеримый к модульная группа ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$. ^[9][10] Квадрат можно заменить любым параллелограммом (получаемые поверхности перевода - это в точности те, которые получаются как разветвленные накрытия плоского тора). Фактически группа Вича является арифметической (что означает, что она соизмерима с модульной группой) тогда и только тогда, когда поверхность выложена параллелограммами.^[10]

Существуют поверхности Вича, чья группа Вича не является арифметической, например поверхность, полученная из двух правильных пятиугольников, склеенных вдоль ребра: в этом случае группа Вича является неарифметической группой треугольников Гекке.^[9] С другой стороны, все еще есть некоторые арифметические ограничения на группу Вича поверхности Вича: например, ее поле трассировки это числовое поле^[10] то есть полностью реальный.^[11]

Геодезический поток на трансляционных поверхностях

Геодезические

А геодезический в поверхности трансляции (или поверхности полуперемещения) - это параметризованная кривая, которая является, за пределами особых точек, локально изображением прямой линии в евклидовом пространстве, параметризованной длиной дуги. Если геодезическая достигает сингулярности, она должна там останавливаться. Таким образом, максимальная геодезическая - это кривая, определенная на отрезке, который является всей действительной прямой, если она не пересекает особую точку. Геодезическая - это закрыто или же периодический если его образ компактный, и в этом случае это либо круг, если он не встречается с какой-либо особенность, либо дуга между двумя (возможно, равными) особенностями. В последнем случае геодезическая называется седловое соединение.

Если ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ (или же ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} /\pi \mathbb {Z} }$ в случае поверхности полуперемещения), то геодезические с направлением тета корректно определены на ${\displaystyle X}$: это те кривые ${\displaystyle c}$ которые удовлетворяют ${\displaystyle \omega ({\overset {\cdot }{c}})=e^{i\theta }}$ (или же ${\displaystyle \phi ({\overset {\cdot }{c}})=e^{i\theta }}$ в случае поверхности полупотока ${\displaystyle (X,\phi )}$). В геодезический поток на ${\displaystyle (X,\omega )}$ с направлением ${\displaystyle \theta }$ это поток ${\displaystyle \phi _{t}}$ на ${\displaystyle X}$ куда ${\displaystyle t\mapsto \phi _{t}(p)}$ геодезическая, начинающаяся в ${\displaystyle p}$ с направлением ${\displaystyle \theta }$ если ${\displaystyle p}$ не единичный.

Динамические свойства

На плоском торе геодезический поток в заданном направлении обладает тем свойством, что он либо периодичен, либо эргодический. В общем, это неверно: могут быть направления, в которых поток минимален (то есть каждая орбита плотна на поверхности), но не эргодичен.^[12] С другой стороны, на компактной трансляционной поверхности поток сохраняет от простейшего случая плоского тора то свойство, что он эргодичен почти во всех направлениях.^[13]

Другой естественный вопрос - установить асимптотические оценки числа замкнутых геодезических или седловых связок заданной длины. На плоском торе ${\displaystyle T}$ нет седловых связок и количество замкнутых геодезических длины ${\displaystyle \leq L}$ эквивалентно ${\displaystyle L^{2}/\operatorname {volume} (T)}$. В общем случае можно получить только оценки: если ${\displaystyle (X,\omega )}$ компактная трансляционная поверхность рода ${\displaystyle g}$ тогда существуют константы (зависящие только от рода) ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ так что оба ${\displaystyle N_{cg}(L)}$ замкнутых геодезических и ${\displaystyle N_{sc}(L)}$ седловых соединений длины ${\displaystyle \leq L}$ удовлетворить

${\displaystyle {\frac {c_{1}L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}\leq N_{\mathrm {cg} }(L),N_{\mathrm {sc} }(L)\leq {\frac {c_{2}L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}}$.

Ограничиваясь вероятностными результатами, можно получить более точные оценки: учитывая род ${\displaystyle g}$, раздел ${\displaystyle \alpha }$ из ${\displaystyle g}$ и связный компонент ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ слоя ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$ есть константы ${\displaystyle c_{\mathrm {cg} }c_{\mathrm {sc} }}$ так что почти каждый ${\displaystyle (X,\omega )\in {\mathcal {C}}}$ имеет место асимптотический эквивалент:^[13]

${\displaystyle N_{\mathrm {cg} }(L)\sim {\frac {c_{\mathrm {cg} }L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}}$, ${\displaystyle N_{\mathrm {sc} }(L)\sim {\frac {c_{\mathrm {sc} }L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}.}$

Константы ${\displaystyle c_{\mathrm {cg} },c_{\mathrm {sc} }}$ называются Константы Зигеля – Вича. Используя эргодичность ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$-действие на ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$, было показано, что эти константы могут быть явно вычислены как отношения определенных объемов Мазура-Вича.^[14]

Дихотомия Вича

Геодезический поток на поверхности Вича ведет себя намного лучше, чем в целом. Это выражается через следующий результат, называемый Дихотомия Вича:^[15]

Позволять ${\displaystyle (X,\omega )}$ быть поверхностью Veech и ${\displaystyle \theta }$ направление. Тогда либо все траектории игнорировались ${\displaystyle \mathbb {R} }$ периодические или течение по направлению ${\displaystyle \theta }$ эргодичен.

Связь с бильярдом

Если ${\displaystyle P_{0}}$ - многоугольник на евклидовой плоскости и ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ направление существует непрерывная динамическая система, называемая бильярд. Траектория точки внутри многоугольника определяется следующим образом: пока она не касается границы, она движется по прямой с единичной скоростью; когда он касается внутренней части ребра, он отскакивает назад (т.е. его направление изменяется с ортогональным отражением в перпендикуляре ребра), а когда он касается вершины, он останавливается.

Эта динамическая система эквивалентна геодезическому потоку на плоской поверхности: просто удвойте многоугольник по краям и поместите плоскую метрику везде, кроме вершин, которые становятся особыми точками с углом конуса, вдвое превышающим угол многоугольника в соответствующей вершине. Эта поверхность не является поверхностью трансляции или полупереводной поверхностью, но в некоторых случаях связана с ней. А именно, если все углы многоугольника ${\displaystyle P_{0}}$ являются рациональными кратными ${\displaystyle \pi }$ есть разветвленная крышка этой поверхности, которая является поверхностью трансляции, которая может быть построена из объединения копий ${\displaystyle P_{0}}$. Затем динамику бильярдного потока можно изучать через геодезический поток на поверхности трансляции.

Например, биллиард в квадрате связан таким образом с биллиардом на плоском торе, построенном из четырех копий квадрата; биллиард в равностороннем треугольнике рождает плоский тор, построенный из шестиугольника. Бильярд в форме буквы «L», построенный из квадратов, связан с геодезическим потоком на поверхности, выложенной квадратными плитками; бильярд в треугольнике с углами ${\displaystyle \pi /5,\pi /5,3\pi /5}$ связана с поверхностью Вича, построенной из двух построенных выше правильных пятиугольников.

Связь с преобразованиями интервального обмена

Позволять ${\displaystyle (X,\omega )}$ быть поверхностью перевода и ${\displaystyle \theta }$ направление, и пусть ${\displaystyle \phi _{t}}$ - геодезический поток на ${\displaystyle (X,\omega )}$ с направлением ${\displaystyle \theta }$. Позволять ${\displaystyle I}$ - геодезический отрезок в направлении, ортогональном ${\displaystyle \theta }$, и определил первое повторение, или Карта Пуанкаре ${\displaystyle \sigma :I\to I}$ следующее: ${\displaystyle \sigma (p)}$ равно ${\displaystyle \phi _{t}(p)}$ куда ${\displaystyle \phi _{s}(p)\not \in I}$ за ${\displaystyle 0<s<t}$. Тогда эта карта является преобразование интервального обмена и его можно использовать для изучения динамики геодезического потока.^[16]

Примечания

1. Вич, Уильям А. (1982). "Меры Гаусса для преобразований на пространстве интервальных карт обмена". Анналы математики. 115 (2): 201–242. Дои:10.2307/1971391. JSTOR  1971391.
2. Мазур, Ховард (1982). «Преобразования интервального обмена и мерные слоения». Анналы математики. 115 (1): 169–200. Дои:10.2307/1971341. JSTOR  1971341.
3. Эскин, Алекс; Окуньков, Андрей (2001). «Асимптотика чисел разветвленных накрытий тора и объемов пространств модулей голоморфных дифференциалов». Inventiones Mathematicae. 145 (1): 59–103. arXiv:математика / 0006171. Bibcode:2001InMat.145 ... 59E. Дои:10.1007 / s002220100142.
4. Чен, Давэй; Мёллер, Мартин; Сауваге, Адриан; Загир, Дон Бернхард (2019). "Объемы Мазура-Вича и теория пересечений на пространствах модулей абелевых дифференциалов". arXiv:1901.01785.
5. Ленжен, Анна (2008). «Геодезические Тейхмюллера, не имеющие ограничений в PMF». Геометрия и топология. 12: 177–197. arXiv:математика / 0511001. Дои:10.2140 / gt.2008.12.177.
6. Мазур, Ховард (1982). «Две границы пространства Тейхмеллера». Duke Math. J. 49: 183–190. Дои:10.1215 / s0012-7094-82-04912-2. МИСТЕР  0650376.
7. Вич 2006. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFVeech2006 (помощь)
8. Макмаллен, Кертис Т. (2003). «Геодезические Тейхмюллера бесконечной сложности». Acta Math. 191 (2): 191–223. Дои:10.1007 / bf02392964.
9. Вич 1989.
10. Гуткин и судья 2000.
11. Юбер, Паскаль; Ланно, Эрван (2006). «Группы Вича без параболических элементов». Математический журнал герцога. 133 (2): 335–346. arXiv:математика / 0503047. Дои:10.1215 / s0012-7094-06-13326-4.
12. Мазур 2006 г., Теорема 2.
13. Зорич 2006, 6.1.
14. Эскин, Алекс; Мазур, Говард; Зорич, Антон (2003). «Пространства модулей абелевых дифференциалов: главная граница, задачи счета и константы Зигеля-Вича». Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 97: 61–179. arXiv:математика / 0202134. Дои:10.1007 / s10240-003-0015-1.
15. Вич 1989, Теорема 1.
16. Зорич 2006, Глава 5.

Рекомендации

• Юбер, Паскаль; Шмидт, Томас А. (2006), «Введение в поверхности Вича» (PDF), Справочник по динамическим системам. Vol. 1B, Справочник по динамическим системам, 1, Эльзевьер Б. В., Амстердам, стр. 501–526, Дои:10.1016 / S1874-575X (06) 80031-7, ISBN  9780444520555, МИСТЕР  2186246
• Гуткин, Евгений; Судья, Крис. (2000), «Аффинные отображения поверхностей перевода: геометрия и арифметика», Duke Math. Дж., 103 (3): 191–213, Дои:10.1215 / S0012-7094-00-10321-3
• Мазур, Ховард (2006), "Эргодическая теория поверхностей перевода", Справочник по динамическим системам. Vol. 1B, Справочник по динамическим системам, 1, Эльзевьер Б. В., Амстердам, стр. 527–547, Дои:10.1016 / S1874-575X (06) 80032-9, ISBN  9780444520555, МИСТЕР  2186247
• Вич, В.А. (1989), "Кривые Тейхмюллера в пространстве модулей, ряды Эйзенштейна и приложение к треугольному бильярду", Inventiones Mathematicae, 97 (3): 553–583, Bibcode:1989InMat..97..553V, Дои:10.1007 / BF01388890, ISSN  0020-9910, МИСТЕР  1005006
• Зорич, Антон (2006). «Плоские поверхности». В Cartier, P .; Юлия, Б .; Moussa, P .; Vanhove, P. (ред.). Границы теории чисел, физики и геометрии. Том 1: О случайных матрицах, дзета-функциях и динамических системах. Springer-Verlag. arXiv:математика / 0609392. Bibcode:2006математика ...... 9392Z.