Самолет перевода - Translation plane

В математика, а самолет перевода это проективная плоскость который допускает определенную группу симметрий (описанную ниже). Вместе с Самолеты Хьюза и Самолеты Фигероа, плоскости трансляции являются одними из наиболее хорошо изученных из известных недезарговские планы, и подавляющее большинство известных недезарговских плоскостей либо являются плоскостями трансляции, либо могут быть получены из плоскости трансляции посредством последовательных итераций дуализация и / или происхождение.^[1]

В проективной плоскости пусть $п$ представляют точку, а $л$ представляют собой линию. А центральная коллинеация с центром $п$ и ось $л$ это коллинеация фиксируя каждую точку на $л$ и каждую строчку через $п$ . Это называется приподнятостью, если $п$ на $л$ , иначе это называется гомологией. Центральные коллинеации с центром $п$ и ось $л$ сформировать группу.^[2] Линия $л$ в проективной плоскости $Π$ является линией перевода, если группа всех отношений с осью $л$ действует переходно по пунктам аффинная плоскость полученный путем удаления $л$ с самолета $Π$ , $Π л$ (в аффинный производная от $Π$ ). Проективная плоскость с линией трансляции называется плоскостью трансляции.

В аффинная плоскость полученная путем удаления линии трансляции, называется аффинной плоскостью трансляции. Хотя часто проще работать с проективными плоскостями, в этом контексте несколько авторов используют термин «плоскость трансляции» для обозначения аффинной плоскости трансляции.^[3]^[4]

Алгебраическая конструкция с координатами

Каждая проективная плоскость может быть скоординирована хотя бы одним плоское тройное кольцо.^[5] Для плоскостей перевода всегда можно согласовать с помощью квазиполе.^[6] Однако некоторые квазитела удовлетворяют дополнительным алгебраическим свойствам, и соответствующие плоские тернарные кольца координируют плоскости трансляции, допускающие дополнительные симметрии. Вот некоторые из этих специальных классов:

Самолеты ближнего поля - координируются ближние поля.
Полуполевые самолеты - координирует полутела, полуполевые плоскости обладают тем свойством, что их двойной тоже плоскость перевода.
Самолеты Муфанг - координировал альтернативные делительные кольца, Самолеты Муфанг - это как раз те плоскости трансляции, которые имеют как минимум две линии трансляции. Каждая конечная плоскость Муфанг Дезарговский и каждый десарговский план является планом Муфанг, но есть бесконечные планы Муфанга, которые не являются дезарговскими (например, Самолет Кэли ).

Дано квазиполе с операциями + (сложение) и ${ displaystyle cdot}$ (умножение), можно определить плоское тройное кольцо для создания координат плоскости трансляции. Однако более типично создание аффинной плоскости непосредственно из квазиполя, определяя точки как пары ${ Displaystyle (а, б)}$ куда ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ - элементы квазиполя, а линии - множества точек ${ Displaystyle (х, у)}$ удовлетворяющее уравнению вида ${ Displaystyle у = м cdot х + b}$ , так как ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle b}$ изменяются по элементам квазиполя вместе с множествами точек ${ Displaystyle (х, у)}$ удовлетворяющее уравнению вида ${ Displaystyle х = а}$ , так как ${ displaystyle a}$ меняется по элементам квазиполя.^[7]

Геометрическая конструкция с разворотами

Плоскости трансляции связаны с расширениями нечетномерных проективных пространств конструкцией Андре / Брука-Бозе.^[8]^[9] А распространять из $PG (2 п +1, K)$ , куда ${ Displaystyle п geq 1}$ целое число и $K$ тело, представляет собой разбиение пространства на попарно непересекающиеся $п$ -мерные подпространства. В конечном случае разброс $PG (2 п +1, q)$ это набор $q п +1 + 1$ $п$ -мерные подпространства, не имеющие двух пересекающихся.

Учитывая распространение $S$ из $PG (2 п +1, K)$ , конструкция Андре / Брука-Бозе создает плоскость перевода следующим образом: Вставить $PG (2 п +1, K)$ как гиперплоскость ${ displaystyle Sigma}$ из $PG (2 п +2, K)$ . Определите структуру заболеваемости $А (S)$ с "точками" точки $PG (2 п +2, K)$ не на ${ displaystyle Sigma}$ и "линии" $(п +1)$ -мерные подпространства $PG (2 п +2, K)$ встреча ${ displaystyle Sigma}$ в элементе $S$ . потом $А (S)$ - аффинная плоскость трансляции. В конечном случае эта процедура создает плоскость трансляции порядка $q п +1$ .

Обратное утверждение почти всегда верно.^[10] Любая плоскость трансляции, координированная квазиполем, конечномерным над своим ядром $K$ ( $K$ обязательно делительное кольцо ) могут быть получены из распространения $PG (2 п +1, K)$ используя конструкцию Андре / Брука-Бозе, где $(п +1)$ - размерность квазиполя, рассматриваемого как модуль над его ядром. Мгновенным следствием этого результата является то, что любая конечная плоскость трансляции может быть получена из этой конструкции.

Регули и регулярные спреды

Позволять ${ displaystyle Sigma}$ быть проективным пространством $PG (2 п +1, K)$ за ${ Displaystyle п geq 1}$ целое число и $K$ делительное кольцо. А Regulus^[11] $р$ в ${ displaystyle Sigma}$ является набором попарно непересекающихся $п$ -мерные подпространства со следующими свойствами:

$р$ содержит минимум 3 элемента
Каждая линия встречает три элемента $р$ , называется поперечный, встречает каждый элемент $р$
Каждая точка перехода к $р$ лежит на каком-то элементе $р$

Любые три попарно непересекающиеся $п$ -мерные подпространства в ${ displaystyle Sigma}$ лежат в единственном регулусе.^[12] Распространение $S$ из ${ displaystyle Sigma}$ является правильным, если для любых трех различных $п$ -мерные подпространства $S$ , все определяемые ими члены уникального регула содержатся в $S$ . Для любого делительного кольца $K$ с более чем 2 элементами, если спред $S$ из $PG (2 п +1, K)$ регулярна, то плоскость трансляции, созданная этим распространением с помощью конструкции Андре / Брука-Бозе, является Самолет Муфанг. Верно и несколько более слабое обратное: если плоскость трансляции Папский, то его можно сгенерировать с помощью конструкции Андре / Брука-Бозе из обычного спреда.^[13]

В конечном случае $K$ должно быть поле заказа ${ displaystyle q> 2}$ , а классы плоскостей Муфанг, Дезарга и Паппа идентичны, поэтому эту теорему можно уточнить, чтобы утверждать, что распространение $S$ из $PG (2 п +1, q)$ является регулярным тогда и только тогда, когда плоскость трансляции, созданная этим разворотом с помощью конструкции Андре / Брука-Бозе, равна Дезарговский.

Все развороты $PG (2 п +1, 2)$ тривиально регулярны, так как регулятор содержит только три элемента. Хотя единственная плоскость перевода порядка 8 - дезарговская, известны и недезарговские плоскости перевода порядка $2 е$ для каждого целого числа ${ displaystyle e geq 4}$ .^[14]

Семейства недезарговских переводческих плоскостей

Конечные переводные плоскости малого порядка

Хорошо известно, что единственные проективные плоскости порядка 8 или меньше являются дезарговыми, и не существует известных недезарговых плоскостей простого порядка.^[15] Плоскости конечных трансляций должны иметь порядок мощности. Существует четыре проективных плоскости 9-го порядка, две из которых являются плоскостями трансляции: дезарговская плоскость и плоскость трансляции. Плоскость холла. В следующей таблице подробно описано текущее состояние знаний:


Заказ	Число недезарговских Самолеты перевода
9	1
16	7^[16]^[17]
25	20^[18]^[19]^[20]
27	6^[21]^[22]
32	≥8^[23]
49	1346^[24]^[25]
64	≥2833^[26]

Алгебраическое представление

Алгебраическое представление (аффинных) плоскостей трансляции может быть получено следующим образом: Пусть $V$ быть $2 п$ -размерный векторное пространство через поле $F$ . Распространение $V$ это набор $S$ из $п$ -мерные подпространства $V$ которые разбивают ненулевые векторы $V$ . Члены $S$ называются компонентами спреда, и если $V я$ и $V j$ отдельные компоненты, то $V я \oplus V j = V$ . Позволять $А$ быть структура заболеваемости чьи точки являются векторами $V$ и чьи линии являются смежными классами компонентов, т. е. множествами вида $v + U$ куда $v$ вектор $V$ и $U$ является составной частью спреда $S$ . Потом:^[27]

А

является аффинной плоскостью, а группа переводы

Икс \to Икс + ш

за

ш

в

V

- группа автоморфизмов, регулярно действующая в точках этой плоскости.

Конечная конструкция

Позволять $F = GF (q) = F q$ , конечное поле порядка $q$ и $V$ то $2 п$ -мерное векторное пространство над $F$ представлен как:

{ Displaystyle V = {(x, y) двоеточие x, y in F ^ {n} }.}

Позволять $M 0, M 1, ..., M q п - 1$ быть $п \times п$ матрицы над $F$ со свойством, что $M я - M j$ неособый всякий раз, когда $я \neq j$ . За $я = 0, 1, ..., q п - 1$ определять,

{ displaystyle V_ {i} = {(x, xM_ {i}) двоеточие x in F ^ {n} },}

обычно называемые подпространствами " $у = xM я$ ". Также определите:

{ displaystyle V_ {q ^ {n}} = {(0, y) двоеточие y in F ^ {n} },}

подпространство " $Икс = 0$ ".

Набор

{V 0, V 1, ..., V q п

} - это распространение

V

.

Матрицы $M я$ используемые в этой конструкции, называются матрицами расширения или матрицы наклона.

Примеры обычных спредов

Регулярный спред можно построить следующим образом. Позволять $F$ быть полем и $E$ ан $п$ -размерный поле расширения из $F$ . Позволять $V = E 2$ рассматривается как $2 п$ -мерное векторное пространство над $F$ . Множество всех одномерных подпространств $V$ над $E$ (и поэтому, $п$ -размерный сверх $F$ ) является регулярным распространением $V$ .

В конечном случае поле $E = GF (q п)$ можно представить как подкольцо $п \times п$ матрицы над $F = GF (q)$ . Что касается фиксированной базы $E$ над $F$ , карты умножения, $Икс \to αx$ за $α$ в $E$ , находятся $F$ -линейные преобразования и могут быть представлены $п \times п$ матрицы над $F$ . Эти матрицы представляют собой матрицы регулярного распространения.^[28]

В качестве конкретного примера следующие девять матриц представляют $GF (9)$ как 2 × 2 матрицы над $GF (3)$ и предоставьте широкий набор $AG (2, 9)$ .

{ displaystyle left [{ begin {matrix} 0 & 0 0 & 0 end {matrix}} right], left [{ begin {matrix} 1 & 0 0 & 1 end {matrix}} right], left [{ begin {matrix} 2 & 0 0 & 2 end {matrix}} right], left [{ begin {matrix} 0 & 1 2 & 0 end {matrix}} right], left [{ begin {matrix} 1 & 1 2 & 1 end {matrix}} right], left [{ begin {matrix} 2 & 1 2 & 2 end {matrix}} right], left [{ begin {matrix} 0 & 2 1 & 0 end {matrix}} right], left [{ begin {matrix} 1 & 2 1 & 1 end {matrix}} right], left [{ begin {matrix} 2 & 1 2 & 2 end {matrix}} right].}

Изменение наборов спредов

Набор трансверсалей регуляра $р$ также образуют регулятор, называемый противоположный регулятор из $р$ . Если спред $S$ из $PG (3, q)$ содержит регулятор $р$ , удаление $р$ и замена его противоположным регулятором дает новый спред $S *$ . Этот процесс является частным случаем более общего процесса, называемого производной или чистой заменой.^[29]

Начиная с регулярного распространения $PG (3, q)$ и вывод в отношении любого регуляра дает Плоскость холла. В более общем смысле, этот процесс может применяться независимо к любому набору регуляров в регулярном спреде, что дает субрегулярный спред;^[30] полученная плоскость трансляции называется субрегулярная плоскость. В Самолеты Андре образуют особый подкласс субрегулярных плоскостей, простейшими примерами которых являются плоскости Холла.

Примечания

^ Эрик Мурхаус провел обширный компьютерный поиск, чтобы найти проекционные плоскости. За заказ 25, Мурхаус обнаружил 193 проективных плоскости, 180 из которых могут быть получены из плоскости трансляции путем повторного вывода и / или дуализации. За заказ 49 известные 1349 плоскостей трансляции дают более 309 000 плоскостей, получаемых с помощью этой процедуры.
^ Геометрия Плоскость перевода Проверено 13 июня, 2007 г.
^ Хьюз и Пайпер 1973, п. 100
^ Джонсон, Джа и Билиотти 2007, п. 5
^ Зал 1943
^ Есть много способов координировать плоскость трансляции, которые не дают квазиполя, поскольку плоское тройное кольцо зависит от четырехугольника, на котором выбираются базовые координаты. Однако для плоскостей трансляции всегда есть некоторая координация, которая дает квазиполе.
^ Дембовский 1968, п. 128. Обратите внимание, что квазитела технически являются левыми или правыми квазиполями, в зависимости от того, распределяется умножение слева или справа (полутела удовлетворяют обоим законам распределения). Определение квазиполе в Википедии - левое квазиполе, а Дембовский использует правые квазиполя. Обычно это различие опускается, так как использование хирально «неправильного» квазиполя просто создает двойственность плоскости трансляции.
^ Андре 1954
^ Bruck & Bose 1964
^ Bruck & Bose 1964, п. 97
^ Это понятие обобщает понятие классического регулуса, который является одним из двух семейств управляющих линий на гиперболоид одного листа в 3-х мерном пространстве
^ Bruck & Bose, п. 163
^ Bruck & Bose, п. 164, теорема 12.1
^ Кнут 1965, п. 541
^ «Проективные плоскости малого порядка». ericmoorhouse.org. Получено 2020-11-08.
^ «Проективные плоскости порядка 16». ericmoorhouse.org. Получено 2020-11-08.
^ Рейфарт 1984
^ «Проективные плоскости порядка 25». ericmoorhouse.org. Получено 2020-11-08.
^ Дувр 2019
^ Червински и Окден
^ «Проективные плоскости порядка 27». ericmoorhouse.org. Получено 2020-11-08.
^ Демпвольф 1994
^ «Проективные плоскости порядка 32». ericmoorhouse.org. Получено 2020-11-08.
^ Матон и Ройл 1995
^ «Проективные плоскости порядка 49». ericmoorhouse.org. Получено 2020-11-08.
^ McKay, Royle & 2014. Это полный список двухмерных недезарговских плоскостей трансляции; известно, что существует много многомерных плоскостей.
^ Мурхаус 2007, п. 13
^ Мурхаус 2007, п. 15
^ Джонсон, Джа и Билиотти 2007, п. 49
^ Брук 1969

дальнейшее чтение

Мауро Билиотти, Викрам Джа, Норман Л. Джонсон (2001) Основы плоскостей трансляции, Марсель Деккер ISBN 0-8247-0609-9 .

внешняя ссылка

[1] Эрик Мурхаус провел обширный компьютерный поиск, чтобы найти проекционные плоскости. За заказ 25, Мурхаус обнаружил 193 проективных плоскости, 180 из которых могут быть получены из плоскости трансляции путем повторного вывода и / или дуализации. За заказ 49 известные 1349 плоскостей трансляции дают более 309 000 плоскостей, получаемых с помощью этой процедуры.

[2] Геометрия Плоскость перевода Проверено 13 июня, 2007 г.

[3] Хьюз и Пайпер 1973, п. 100

[4] Джонсон, Джа и Билиотти 2007, п. 5

[5] Зал 1943

[6] Есть много способов координировать плоскость трансляции, которые не дают квазиполя, поскольку плоское тройное кольцо зависит от четырехугольника, на котором выбираются базовые координаты. Однако для плоскостей трансляции всегда есть некоторая координация, которая дает квазиполе.

[7] Дембовский 1968, п. 128. Обратите внимание, что квазитела технически являются левыми или правыми квазиполями, в зависимости от того, распределяется умножение слева или справа (полутела удовлетворяют обоим законам распределения). Определение квазиполе в Википедии - левое квазиполе, а Дембовский использует правые квазиполя. Обычно это различие опускается, так как использование хирально «неправильного» квазиполя просто создает двойственность плоскости трансляции.

[8] Андре 1954

[9] Bruck & Bose 1964

[10] Bruck & Bose 1964, п. 97

[11] Это понятие обобщает понятие классического регулуса, который является одним из двух семейств управляющих линий на гиперболоид одного листа в 3-х мерном пространстве

[12] Bruck & Bose, п. 163

[13] Bruck & Bose, п. 164, теорема 12.1

[14] Кнут 1965, п. 541

[15] «Проективные плоскости малого порядка». ericmoorhouse.org. Получено 2020-11-08.

[16] «Проективные плоскости порядка 16». ericmoorhouse.org. Получено 2020-11-08.

[17] Рейфарт 1984

[18] «Проективные плоскости порядка 25». ericmoorhouse.org. Получено 2020-11-08.

[19] Дувр 2019

[20] Червински и Окден

[21] «Проективные плоскости порядка 27». ericmoorhouse.org. Получено 2020-11-08.

[22] Демпвольф 1994

[23] «Проективные плоскости порядка 32». ericmoorhouse.org. Получено 2020-11-08.

[24] Матон и Ройл 1995

[25] «Проективные плоскости порядка 49». ericmoorhouse.org. Получено 2020-11-08.

[26] McKay, Royle & 2014. Это полный список двухмерных недезарговских плоскостей трансляции; известно, что существует много многомерных плоскостей.

[27] Мурхаус 2007, п. 13

[28] Мурхаус 2007, п. 15

[29] Джонсон, Джа и Билиотти 2007, п. 49

[30] Брук 1969

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]