Полностью отключенная группа - Totally disconnected group

В математика, а полностью отключенная группа это топологическая группа то есть полностью отключен. Такие топологические группы обязательно Хаусдорф.

Интерес сосредоточен на локально компактный полностью разобщенные группы (также называемые группами td-type,^[1] локально проконечные группы,^[2] t.d. группы^[3]). В компактный дело было тщательно изучено - это проконечные группы - но долгое время об общем случае было мало что известно. Теорема ван Данциг^[4] из 1930-х годов, утверждая, что каждая такая группа содержит компактный открыто подгруппа, было все, что было известно. Затем новаторская работа по этому вопросу была проведена в 1994 году, когда Джордж Уиллис показал, что каждая локально компактная вполне несвязная группа содержит так называемую аккуратный подгруппе и специальной функции на ее автоморфизмах, функция масштабирования, тем самым углубляя знания о местной структуре. Успехи в глобальная структура полностью отключенных групп были получены в 2011 году компаниями Caprace и Monod, в частности, классификация характерно простые группы и нетеровских групп.

Локально компактный корпус

Основная статья: Локально проконечная группа

В локально компактной полностью несвязной группе каждое район единицы содержит компактную открытую подгруппу. И наоборот, если группа такова, что личность имеет основа соседства состоящий из компактных открытых подгрупп, то он локально компактен и вполне несвязен.^[2]

Чистые подгруппы

Позволять грамм - локально компактная вполне несвязная группа, U компактная открытая подгруппа в грамм и ${displaystyle alpha }$ непрерывный автоморфизм грамм.

Определять:

${displaystyle U_{+}=igcap _{ngeq 0}alpha ^{n}(U)}$

${displaystyle U_{-}=igcap _{ngeq 0}alpha ^{-n}(U)}$

${displaystyle U_{++}=igcup _{ngeq 0}alpha ^{n}(U_{+})}$

${displaystyle U_{--}=igcup _{ngeq 0}alpha ^{-n}(U_{-})}$

U как говорят аккуратный за ${displaystyle alpha }$ если и только если ${displaystyle U=U_{+}U_{-}=U_{-}U_{+}}$ и ${displaystyle U_{++}}$ и ${displaystyle U_{--}}$ закрыты.

Функция масштабирования

Индекс ${displaystyle alpha (U_{+})}$ в ${displaystyle U_{+}}$ показано, что он конечен и не зависит от U что аккуратно для ${displaystyle alpha }$. Определите масштабную функцию ${displaystyle s(alpha )}$ как этот index. Ограничение на внутренние автоморфизмы дает функцию на грамм с интересными свойствами. В частности, это:
Определите функцию ${displaystyle s}$ на грамм к ${displaystyle s(x):=s(alpha _{x})}$, куда ${displaystyle alpha _{x}}$ внутренний автоморфизм ${displaystyle x}$ на грамм.

Характеристики

• ${displaystyle s}$ непрерывно.
• ${displaystyle s(x)=1}$, когда x в грамм компактный элемент.
• ${displaystyle s(x^{n})=s(x)^{n}}$ для каждого неотрицательного целого числа ${displaystyle n}$.
• Модульная функция на грамм дан кем-то ${displaystyle Delta (x)=s(x)s(x^{-1})^{-1}}$.

Расчеты и приложения

Масштабная функция использовалась для доказательства гипотезы Хофманна и Мухерья и была явно вычислена для p-адический Группы Ли и линейные группы над локальными телами Хельге Глекнера.

Примечания

1. Картье 1979, §1.1
2. Бушнелл и Хенниарт 2006, §1.1
3. Борель и Уоллах 2000, Глава X
4. ван Данциг 1936, п. 411

Рекомендации

• ван Данциг, Давид (1936), "Zur topologischen Algebra. III. Brouwersche und Cantorsche Gruppen", Compositio Mathematica, 3: 408–426
• Борель, Арман; Уоллах, Нолан (2000), Непрерывные когомологии, дискретные подгруппы и представления редуктивных групп, Математические обзоры и монографии, 67 (Второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0851-1, МИСТЕР  1721403
• Бушнелл, Колин Дж .; Хенниарт, Гай (2006), Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], 335, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / 3-540-31511-Х, ISBN  978-3-540-31486-8, МИСТЕР  2234120
• Капрас, Пьер-Эммануэль; Моно, Николас (2011), "Разложение локально компактных групп на простые части", Математика. Proc. Cambridge Philos. Soc., 150: 97–128, arXiv:0811.4101, Bibcode:2011MPCPS.150 ... 97C, Дои:10.1017 / S0305004110000368, МИСТЕР  2739075
• Картье, Пьер (1979), "Представления ${displaystyle {mathfrak {p}}}$-адические группы: опрос », в Борель, Арман; Кассельман, Уильям (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (PDF), Труды симпозиумов по чистой математике, 33, часть 1, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 111–155, ISBN  978-0-8218-1435-2, МИСТЕР  0546593
• Г.А. Уиллис - Строение полностью несвязных локально компактных групп, Mathematische Annalen 300, 341-363 (1994)