Функция Томаэса - Thomaes function

Точечный график на интервал (0,1). Самая верхняя точка посередине показывает ж(1/2) = 1/2

Функция Тома, названный в честь Карл Йоханнес Томае, имеет много имен: функция попкорна, то функция капли дождя, то счетная облачная функция, то модифицированная функция Дирихле, то функция линейки,^[1] то Функция Римана, или Звезды над Вавилоном (Джон Хортон Конвей имя).^[2] Этот настоящий -ценный функция реальной переменной можно определить как:^[3]

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&{\text{if }}x={\tfrac {p}{q}}\quad (x{\text{ is rational), with }}p\in \mathbb {Z} {\text{ and }}q\in \mathbb {N} {\text{ coprime}}\\0&{\text{if }}x{\text{ is irrational.}}\end{cases}}}$

Поскольку каждый Рациональное число имеет уникальное представление с совмещать (также называется относительно простым) ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$, функция четко определенный. Обратите внимание, что ${\displaystyle q=+1}$ это единственный номер в ${\displaystyle \mathbb {N} }$ это взаимно просто с ${\displaystyle p=0.}$

Это модификация Функция Дирихле, который равен 1 в рациональных числах и 0 в других местах.

Характеристики

• Функция Тома ${\displaystyle f}$ является ограниченный и отображает все действительные числа в единичный интервал:${\displaystyle \;f:\mathbb {R} \;\rightarrow \;[0,\;1].}$
• ${\displaystyle f}$ является периодический с периодом ${\displaystyle 1:\;f(x+n)=f(x)}$ для всех целые числа п и все реально Икс.

Доказательство периодичности

Для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} ,}$ у нас также есть ${\displaystyle x+n\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} }$ и поэтому ${\displaystyle f(x+n)=f(x)=0,}$ Для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} ,\;}$ существуют ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$ такой, что ${\displaystyle \;x=p/q,\;}$ и ${\displaystyle \gcd(p,\;q)=1.}$Учитывать ${\displaystyle x+n=(p+nq)/q}$. Если ${\displaystyle d}$ разделяет ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$, он разделяет ${\displaystyle p+nq}$и ${\displaystyle p}$. Наоборот, если ${\displaystyle d}$ разделяет ${\displaystyle p+nq}$ и ${\displaystyle q}$, он разделяет ${\displaystyle (p+nq)-nq=p}$ и ${\displaystyle q}$. Так ${\displaystyle \gcd(p+nq,q)=\gcd(p,q)=1}$, и ${\displaystyle f(x+n)=1/q=f(x)}$.

• ${\displaystyle f}$ является прерывистый во всех рациональных числах, плотный в пределах реальных чисел.

Доказательство разрыва в рациональных числах

Позволять ${\displaystyle x_{0}=p/q}$ - произвольное рациональное число, причем ${\displaystyle \;p\in \mathbb {Z} ,\;q\in \mathbb {N} ,}$ и ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ coprime. Это устанавливает ${\displaystyle f(x_{0})=1/q.}$ Позволять ${\displaystyle \;\alpha \in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} \;}$ быть любым иррациональный номер и определить ${\displaystyle x_{n}=x_{0}+{\frac {\alpha }{n}}}$ для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ Эти ${\displaystyle x_{n}}$ все иррациональны, и поэтому ${\displaystyle f(x_{n})=0}$ для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ Из этого следует ${\displaystyle |x_{0}-x_{n}|={\frac {\alpha }{n}},\quad }$ и ${\displaystyle \quad |f(x_{0})-f(x_{n})|={\frac {1}{q}}.}$ Позволять ${\displaystyle \;\varepsilon =1/q\;}$, и учитывая ${\displaystyle \delta >0}$ позволять ${\displaystyle n=1+\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil .}$ Для соответствующих ${\displaystyle \;x_{n}}$ у нас есть ${\displaystyle |f(x_{0})-f(x_{n})|=1/q\geq \varepsilon \quad }$ и ${\displaystyle |x_{0}-x_{n}|={\frac {\alpha }{n}}={\frac {\alpha }{1+\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil }}<{\frac {\alpha }{\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil }}\leq \delta ,}$ что и есть определение разрыва ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle x_{0}}$.

• ${\displaystyle f}$ является непрерывный вообще иррациональные числа, также плотно в пределах действительных чисел.

Доказательство непрерывности при иррациональных аргументах

С ${\displaystyle f}$ периодичен с периодом ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 0\in \mathbb {Q} ,\;}$ достаточно проверить все иррациональные точки в ${\displaystyle I=(0,\;1).\;}$ Предположим сейчас ${\displaystyle \varepsilon >0,\;i\in \mathbb {N} \;}$ и ${\displaystyle x_{0}\in I\smallsetminus \mathbb {Q} .\;}$ Согласно Архимедова собственность Реалов существует ${\displaystyle r\in \mathbb {N} \;}$ с ${\displaystyle \;1/r<\varepsilon ,\;}$ и есть ${\displaystyle \;k_{i}\in \mathbb {N} ,\;}$ такой, что за ${\displaystyle i=1,...,r}$ у нас есть ${\displaystyle 0<{\frac {k_{i}}{i}}<x_{0}<{\frac {(k_{i}+1)}{i}}.}$ Минимальное расстояние ${\displaystyle x_{0}}$ к его я-я нижняя и верхняя границы равны ${\displaystyle d_{i}:=\min\{\;|x_{0}-{\frac {k_{i}}{i}}|,\;|x_{0}-{\frac {(k_{i}+1)}{i}}|\;\}.}$ Мы определяем ${\displaystyle \delta }$ как минимум всего конечного числа ${\displaystyle d_{i}.}$ ${\displaystyle \delta :=\min _{1\leq i\leq r}\{d_{i}\},\;}$ так что для всех ${\displaystyle i=1,...,r,}$ ${\displaystyle \quad |x_{0}-k_{i}/i|\geq \delta \quad }$ и ${\displaystyle \quad |x_{0}-(k_{i}+1)/i|\geq \delta .}$ То есть все эти рациональные числа ${\displaystyle k_{i}/i,\;(k_{i}+1)/i,\;}$ находятся за пределами ${\displaystyle \delta }$-окрестности ${\displaystyle x_{0}.}$ Теперь позвольте ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )}$ с уникальным представлением ${\displaystyle x=p/q}$ куда ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$ взаимно просты. Тогда обязательно ${\displaystyle q>r,\;}$ и поэтому, ${\displaystyle f(x)=1/q<1/r<\varepsilon .}$ Точно так же для всех иррациональных ${\displaystyle x\in I,\;f(x)=0=f(x_{0}),\;}$ и, таким образом, если ${\displaystyle \varepsilon >0}$ то любой выбор (достаточно малый) ${\displaystyle \delta >0}$ дает ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \implies |f(x_{0})-f(x)|=f(x)<\varepsilon .}$ Следовательно, ${\displaystyle f}$ продолжается на ${\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} .\quad }$

• ${\displaystyle f}$ является нигде не дифференцируемый.

Доказательство того, что невозможно дифференцировать

Для рациональных чисел это следует из непрерывности. Для иррациональных чисел: Для любого последовательность иррациональных чисел ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$ с ${\displaystyle a_{n}\neq x_{0}}$ для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$ который сходится к иррациональной точке ${\displaystyle x_{0},\;}$ последовательность ${\displaystyle (f(a_{n}))_{n=1}^{\infty }}$ идентично ${\displaystyle 0,\;}$ и так ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {f(a_{n})-f(x_{0})}{a_{n}-x_{0}}}\right|=0.}$ В соответствии с Теорема Гурвица, также существует последовательность рациональных чисел ${\displaystyle (b_{n})_{n=1}^{\infty }=(k_{n}/n)_{n=1}^{\infty },\;}$ сходится к ${\displaystyle x_{0},\;}$ с ${\displaystyle k_{n}\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ coprime и ${\displaystyle |k_{n}/n-x_{0}|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\cdot n^{2}}}.\;}$ Таким образом, для всех ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \left|{\frac {f(b_{n})-f(x_{0})}{b_{n}-x_{0}}}\right|>{\frac {1/n-0}{1/({\sqrt {5}}\cdot n^{2})}}={\sqrt {5}}\cdot n\neq 0\;}$ и так ${\displaystyle f}$ не дифференцируемый вообще иррационально ${\displaystyle x_{0}.}$

• ${\displaystyle f}$ имеет строгий локальный максимум на каждое рациональное число.^{[нужна цитата ]}

См. Доказательства непрерывности и прерывности выше для построения подходящих окрестности, куда ${\displaystyle f}$ имеет максимумы.

• ${\displaystyle f}$ является Интегрируемый по Риману на любом интервале, и интеграл оценивается как ${\displaystyle 0}$ по любому набору.

В Критерий Лебега интегрируемости утверждает, что ограниченная функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда множество всех разрывов имеет измерять ноль.^[4] Каждый счетный подмножество действительных чисел, таких как рациональные числа, имеет нулевую меру, поэтому приведенное выше обсуждение показывает, что функция Тома интегрируема по Риману на любом интервале. Интеграл функции равен ${\displaystyle 0}$ над любым набором, потому что функция равна нулю почти всюду.

Связанные распределения вероятностей

Эмпирические распределения вероятностей, связанные с функцией Тома, появляются в Секвенирование ДНК.^[5] Геном человека диплоид с двумя цепями на хромосому. При секвенировании генерируются небольшие фрагменты ("чтения"): для каждого пятна в геноме целое число операций чтения перекрывается с ним. Их соотношение является рациональным числом и обычно распределяется аналогично функции Тома.

Если пары натуральных чисел ${\displaystyle m,n}$ взяты из распределения ${\displaystyle f(n,m)}$ и используется для создания соотношений ${\displaystyle q=n/(n+m)}$, это приводит к распределению ${\displaystyle g(q)}$ на рациональные числа. Если целые числа независимы, распределение можно рассматривать как свертка над рациональными числами, ${\displaystyle g(a/(a+b))=\sum _{t=1}^{\infty }f(ta)f(tb)}$. Решения в закрытой форме существуют для сила закона раздачи с отсечкой. Если ${\displaystyle f(k)=k^{-\alpha }e^{-\beta k}/\mathrm {Li} _{\alpha }(e^{-\beta })}$ (куда ${\displaystyle \mathrm {Li} _{\alpha }}$ это полилогарифм функция) тогда ${\displaystyle g(a/(a+b))=(ab)^{-\alpha }\mathrm {Li} _{2\alpha }(e^{-(a+b)\beta })/\mathrm {Li} _{\alpha }^{2}(e^{-\beta })}$. В случае равномерного распределения на множестве ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,L\}}$ ${\displaystyle g(a/(a+b))=(1/L^{2})\lfloor L/\max(a,b)\rfloor }$, что очень похоже на функцию Thomae. Оба их графика имеют фрактальная размерность 3/2.^[5]

Функция линейки

Для целых чисел показатель наибольшей степени деления 2 ${\displaystyle n}$ дает 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, ... (последовательность A007814 в OEIS ). Если добавляется 1 или удаляются нули, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, ... (последовательность A001511 в OEIS ). Значения напоминают отметки на 1/16 дипломированный правитель, отсюда и название. Эти значения соответствуют ограничению функции Тома на диадические рациональные числа: те рациональные числа, знаменатели которых являются степенями двойки.

Связанные функции

Возникает естественный дополнительный вопрос: существует ли функция, непрерывная на рациональных числах и разрывная на иррациональных числах. Это оказывается невозможным; множество разрывов любой функции должно быть F_σ набор. Если бы такая функция существовала, то иррациональные числа были бы F_σ набор. Тогда иррациональные числа будут исчисляемыми союз из закрытые наборы ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i=0}^{\infty }C_{i}}$, но поскольку иррациональные числа не содержат интервала, ни один из ${\displaystyle C_{i}}$. Таким образом, каждый из ${\displaystyle C_{i}}$ было бы нигде не плотным, и иррациональные выражения были бы скудный набор. Из этого следовало бы, что действительные числа, представляющие собой объединение иррациональных и рациональных чисел (которые, очевидно, являются скудными), также будут скудным набором. Это противоречило бы Теорема Бэра о категории: потому что действительные числа образуют полное метрическое пространство, они образуют Пространство Бэра, который сам по себе не может быть скудным.

Вариант функции Тома может использоваться, чтобы показать, что любой F_σ подмножество действительных чисел может быть набором разрывов функции. Если ${\displaystyle A=\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }F_{n}}$ является счетным объединением замкнутых множеств ${\displaystyle F_{n}}$, определять

${\displaystyle f_{A}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{if }}x{\text{ is rational and }}n{\text{ is minimal so that }}x\in F_{n}\\-{\frac {1}{n}}&{\text{if }}x{\text{ is irrational and }}n{\text{ is minimal so that }}x\in F_{n}\\0&{\text{if }}x\notin A\end{cases}}}$

Тогда аргумент, аналогичный аргументу для функции Томаэ, показывает, что ${\displaystyle f_{A}}$ имеет А как набор разрывов.

Общую конструкцию на произвольном метрическом пространстве см. В этой статье Ким, Сон Су. «Характеристика множества точек непрерывности реальной функции». American Mathematical Monthly 106,3 (1999): 258-259.

Смотрите также

• Теорема Блумберга
• Функция Кантора
• Функция Дирихле
• Фруктовый сад евклида - Функцию Тома можно интерпретировать как перспективный рисунок сада Евклида.
• Функция Вольтерры

Примечания

1. "…так называемой функция линейки, простой, но провокационный пример, который появился в работе Йоханнеса Карла Томае… На графике показаны вертикальные отметки на линейке - отсюда и название ». (Данхэм 2008, п. 149, глава 10)
2. Джон Конвей. «Тема: Происхождение функции». Математический форум. Архивировано из оригинал 13 июня 2018 г.
3. Бинленд, Робертс и Стивенсон, 2009 г., п. 531
4. Спивак 1965 г., п. 53, теорема 3-8
5. Трифонов, Владимир; Паскуалуччи, Лаура; Далла-Фавера, Риккардо; Рабадан, Рауль (2011). «Фрактальные распределения рациональных чисел в высокопроизводительных биологических и клинических данных». Научные отчеты. 1 (191). Дои:10.1038 / srep00191. ЧВК  3240948. PMID  22355706.

Рекомендации

• Эбботт, Стивен (2016), Понимание анализа (Репринт в мягкой обложке оригинального 2-го изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN  978-1-4939-5026-3
• Бартл, Роберт Дж .; Шерберт, Дональд Р. (1999), Введение в реальный анализ (3-е изд.), Wiley, ISBN  978-0-471-32148-4 (Пример 5.1.6 (h))
• Бинленд, Кевин; Робертс, Джеймс У .; Стивенсон, Крейг (2009), «Модификации функции Тома и дифференцируемости», Американский математический ежемесячник, 116 (6): 531–535, Дои:10.4169 / 193009709x470425, JSTOR  40391145
• Данэм, Уильям (2008), Галерея исчислений: шедевры от Ньютона до Лебега (Издание в мягкой обложке), Princeton: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-13626-4
• Спивак, М. (1965), Исчисление на многообразиях, Книги Персея, ISBN  978-0-8053-9021-6

внешняя ссылка

• «Дирихле-функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Дирихле». MathWorld.