Изменение формы тензор - Tensor reshaping

В полилинейная алгебра, а изменение формы из тензоры есть ли биекция между набором индексы из порядок -${\displaystyle d}$ тензор и множество индексов порядка${\displaystyle \ell }$ тензор, где ${\displaystyle \ell <d}$. Использование индексов предполагает наличие тензоров в координатном представлении относительно базиса. Координатное представление тензора можно рассматривать как многомерный массив, и биекция от одного набора индексов к другому, следовательно, сводится к перегруппировке элементов массива в массив другой формы. Такая перестановка представляет собой особый вид линейная карта между векторным пространством порядка-${\displaystyle d}$ тензоры и векторное пространство порядка${\displaystyle \ell }$ тензоры.

Определение

Учитывая положительное целое число ${\displaystyle d}$, обозначение ${\displaystyle [d]}$ относится к набор ${\displaystyle \{1,\dots ,d\}}$ из первых d положительные целые числа.

Для каждого целого числа ${\displaystyle k}$ куда ${\displaystyle 1\leq k\leq d}$ для положительного целого числа ${\displaystyle d}$, позволять V_k обозначить п_k-размерный векторное пространство через поле ${\displaystyle F}$. Тогда существуют изоморфизмы векторного пространства (линейные отображения)

$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{d}&\simeq F^{n_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{n_{d}}\\&\simeq F^{n_{\pi _{1}}}\otimes \cdots \otimes F^{n_{\pi _{d}}}\\&\simeq F^{n_{\pi _{1}}n_{\pi _{2}}}\otimes F^{n_{\pi _{3}}}\otimes \cdots \otimes F^{n_{\pi _{d}}}\\&\simeq F^{n_{\pi _{1}}n_{\pi _{3}}}\otimes F^{n_{\pi _{2}}}\otimes F^{n_{\pi _{4}}}\otimes \cdots \otimes F^{n_{\pi _{d}}}\\&\,\,\,\vdots \\&\simeq F^{n_{1}n_{2}\ldots n_{d}},\end{aligned}}}$$

куда ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {S}}_{d}}$ есть ли перестановка и ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{d}}$ это симметричная группа на ${\displaystyle d}$ элементы. С помощью этих (и других) изоморфизмов векторного пространства тензор может быть интерпретирован несколькими способами как порядок${\displaystyle \ell }$ тензор где ${\displaystyle \ell \leq d}$.

Координатное представление

Первый изоморфизм векторных пространств в списке выше, ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{d}\simeq F^{n_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{n_{d}}}$, дает координатное представление абстрактного тензора. Предположим, что каждый из ${\displaystyle d}$ векторные пространства ${\displaystyle V_{k}}$ имеет основа ${\displaystyle \{v_{1}^{k},v_{2}^{k},\ldots ,v_{n_{k}}^{k}\}}$. Выражение тензора относительно этого базиса имеет вид

$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\ldots \sum _{j_{d}=1}^{n_{d}}a_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}v_{j_{1}}^{1}\otimes v_{j_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes v_{j_{d}}^{d},}$$

где коэффициенты ${\displaystyle a_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}}$ являются элементами ${\displaystyle F}$. Координатное представление ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ является

$${\displaystyle \sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\ldots \sum _{j_{d}=1}^{n_{d}}a_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}\mathbf {e} _{j_{1}}^{1}\otimes \mathbf {e} _{j_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{j_{d}}^{d},}$$

куда ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}^{k}}$ это ${\displaystyle j^{\text{th}}}$ стандартный базисный вектор из ${\displaystyle F^{n_{k}}}$. Это можно рассматривать как d-мерный массив, элементами которого являются коэффициенты ${\displaystyle a_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d}}}$.

Векторизация

С помощью биективного отображения ${\displaystyle \mu :[n_{1}]\times \cdots \times [n_{d}]\to [n_{1}\cdots n_{d}]}$, изоморфизм векторного пространства между ${\displaystyle F^{n_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{n_{d}}}$ и ${\displaystyle F^{n_{1}\cdots n_{d}}}$ строится через отображение ${\displaystyle \mathbf {e} _{j_{1}}^{1}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{j_{d}}^{d}\mapsto \mathbf {e} _{\mu (j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d})},}$ где для каждого натурального числа ${\displaystyle j}$ такой, что ${\displaystyle 1\leq j\leq n_{1}\cdots n_{d}}$, вектор ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ обозначает jстандартный базисный вектор ${\displaystyle F^{n_{1}\cdots n_{d}}}$. При таком изменении формы тензор просто интерпретируется как вектор в ${\displaystyle F^{n_{1}\cdots n_{d}}}$. Это известно как векторизация, и аналогичен векторизация матриц. Стандартный выбор биекции ${\displaystyle \mu }$ таково, что

${\displaystyle \operatorname {vec} ({\mathcal {A}}):={\begin{bmatrix}a_{1,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{n_{1},1,\ldots ,1}&a_{1,2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{d}}\end{bmatrix}}^{T},}$

что согласуется со способом, которым оператор двоеточия в Matlab и GNU Octave преобразует тензор более высокого порядка в вектор. В общем, векторизация ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ это вектор ${\displaystyle [a_{\mu ^{-1}(j)}]_{j=1}^{n_{1}\cdots n_{d}}}$.

Общие сплющивания

Для любой перестановки ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {S}}_{d}}$ Существует канонический изоморфизм между двумя тензорными произведениями векторных пространств ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{d}}$ и ${\displaystyle V_{\pi (1)}\otimes V_{\pi (2)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (d)}}$. Скобки обычно опускаются в таких продуктах из-за естественный изоморфизм между ${\displaystyle V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})}$ и ${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}}$, но, конечно, может быть введен повторно, чтобы подчеркнуть определенную группу факторов. В группировке

${\displaystyle (V_{\pi (1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{1})})\otimes (V_{\pi (r_{1}+1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{2})})\otimes \cdots \otimes (V_{\pi (r_{\ell -1}+1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{\ell })}),}$

Существуют ${\displaystyle \ell }$ группы с ${\displaystyle r_{j}-r_{j-1}}$ факторы в ${\displaystyle j^{\text{th}}}$ группа (где ${\displaystyle r_{0}=0}$ и ${\displaystyle r_{\ell }=d}$).

Сдача ${\displaystyle S_{j}=(\pi (r_{j-1}+1),\pi (r_{j-1}+2),\ldots ,\pi (r_{j}))}$ для каждого ${\displaystyle j}$ удовлетворение ${\displaystyle 1\leq j\leq \ell }$, ${\displaystyle (S_{1},S_{2},\ldots ,S_{\ell })}$-сглаживание тензора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, обозначенный ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{\ell })}}$, получается путем применения двух описанных выше процессов в каждом из ${\displaystyle \ell }$ группы факторов. То есть координатное представление ${\displaystyle j^{\text{th}}}$ группа факторов получается с помощью изоморфизма ${\displaystyle (V_{\pi (r_{j-1}+1)}\otimes V_{\pi (r_{j-1}+2)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{j})})\simeq (F^{n_{\pi (r_{j-1}+1)}}\otimes F^{n_{\pi (r_{j-1}+2)}}\otimes \cdots \otimes F^{n_{\pi (r_{j})}})}$, что требует указания баз для всех векторных пространств ${\displaystyle V_{k}}$. Затем результат векторизуется с использованием биекции ${\displaystyle \mu _{j}:[n_{\pi (r_{j-1}+1)}]\times [n_{\pi (r_{j-1}+2)}]\times \cdots \times [n_{\pi (r_{j})}]\to [N_{S_{j}}]}$ получить элемент ${\displaystyle F^{N_{S_{j}}}}$, куда ${\displaystyle N_{S_{j}}:=\prod _{i=r_{j-1}+1}^{r_{j}}n_{\pi (i)}}$, произведение размерностей векторных пространств в ${\displaystyle j^{\text{th}}}$ группа факторов. Результатом применения этих изоморфизмов внутри каждой группы факторов является элемент ${\displaystyle F^{N_{S_{1}}}\otimes \cdots \otimes F^{N_{S_{\ell }}}}$, который является тензором порядка ${\displaystyle \ell }$.

Векторизация ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ является ${\displaystyle (S_{1})}$-реформирование, ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{(S_{1})}}$ в которой ${\displaystyle S_{1}=(1,2,\ldots ,d)}$.

Регистрация

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {A}}\in F^{n_{1}}\otimes F^{n_{2}}\otimes \cdots \otimes F^{n_{d}}}$ - координатное представление абстрактного тензора относительно базиса. стандартный факторk сплющивание из ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ является ${\displaystyle (S_{1},S_{2})}$-реформирование, в котором ${\displaystyle S_{1}=(k)}$ и ${\displaystyle S_{2}=(1,2,\ldots ,k-1,k+1,\ldots ,d)}$. Обычно стандартное уплощение обозначают как

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{(k)}:={\mathcal {A}}_{(S_{1},S_{2})}}$

Эти изменения иногда называют аттестация или же разворачивается в литературе. Стандартный выбор для биекций ${\displaystyle \mu _{1},\ \mu _{2}}$ тот, который соответствует изменению формы функция в Matlab и GNU Octave, а именно

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{(k)}:={\begin{bmatrix}a_{1,1,\ldots ,1,1,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,1,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k-1},1,n_{k+1},\ldots ,n_{d}}\\a_{1,1,\ldots ,1,2,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k-1},2,n_{k+1},\ldots ,n_{d}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{1,1,\ldots ,1,n_{k},1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,n_{k},1,\ldots ,1}&\cdots &a_{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k-1},n_{k},n_{k+1},\ldots ,n_{d}}\end{bmatrix}}}$