Приручить абстрактный элементарный класс - Tame abstract elementary class

В теория моделей, дисциплина в области математическая логика, а приручить абстрактный элементарный класс является абстрактный элементарный класс (AEC), который удовлетворяет свойству локальности для типов, называемых приручением. Хотя это неявно появляется в более ранних работах Шела, приручение как свойство AEC было впервые выделено Гроссберг и ВанДирен,^[1] кто заметил, что с ручными AEC намного проще обращаться, чем с обычными AEC.

Определение

Позволять K быть AEC с совместным вложением, объединением и без максимальных моделей. Как и в теории моделей первого порядка, это подразумевает K имеет универсальную модель-однородную модель монстра ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$. Работа внутри ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$, мы можем определить семантическое понятие типы указав, что два элемента а и б иметь один и тот же тип по сравнению с базовой моделью ${\displaystyle M}$ если есть автоморфизм отправки модели монстра а к б фиксация ${\displaystyle M}$ точечно (обратите внимание, что типы могут быть определены аналогичным образом без использования модели монстра^[2]). Такие типы называются Типы Галуа.

Можно попросить определить такие типы по их ограничению в небольшом домене. Это дает начало понятию приручения:

• AEC ${\displaystyle K}$ является приручить если существует кардинал ${\displaystyle \kappa }$ такие, что любые два различных типа Галуа уже различны на подмодели их области размера ${\displaystyle \leq \kappa }$. Когда мы хотим подчеркнуть ${\displaystyle \kappa }$, мы говорим ${\displaystyle K}$ является ${\displaystyle \kappa }$-приручить.

Также обычно предполагается, что ручные AEC удовлетворяют требованиям объединения.

Обсуждение и мотивация

Пока (без существования большие кардиналы ) есть примеры неприрученных AEC,^[3] большинство известных естественных примеров - ручные.^[4] Кроме того, известны следующие достаточные условия приручения класса:

• Приручение - большая кардинальная аксиома:^[5] Есть класс-много почти сильно компактные кардиналы если любой абстрактный элементарный класс является ручным.
• Некоторая покорность следует из категоричности:^[6] Если АЭК с объединением категоричен в кардинальном ${\displaystyle \lambda }$ достаточно высокой кофинальности, то приручение сохраняется для типов, превышающих насыщенные модели размером меньше ${\displaystyle \lambda }$.
• Гипотеза 1,5 дюйма ^[7]: Если K категорично в некотором λ ≥ Hanf (K), то существует χ

Многие результаты в модельной теории (общей) АЭК предполагают слабые формы Обобщенная гипотеза континуума и полагаться на сложные комбинаторные теоретико-множественные аргументы.^[8] С другой стороны, модельную теорию ручных АЭК разработать гораздо проще, о чем свидетельствуют результаты, представленные ниже.

Полученные результаты

Ниже приведены некоторые важные результаты о ручных AEC.

• Перенос категориальности вверх:^[9] А ${\displaystyle \kappa }$-сохранить AEC с амальгамированием, которое в некоторых преемник ${\displaystyle \lambda \geq \operatorname {LS} (K)^{++}+\kappa ^{+}}$ (т.е. имеет ровно одну модель размера ${\displaystyle \lambda }$ с точностью до изоморфизма) категоричен в все ${\displaystyle \mu \geq \lambda }$.
• Перенос стабильности вверх:^[10] А ${\displaystyle \kappa }$-сохранить AEC с объединением, то есть стабильный в кардинальном ${\displaystyle \lambda \geq \kappa }$ стабильно в ${\displaystyle \lambda ^{+}}$ и в каждом бесконечном ${\displaystyle \mu }$ такой, что ${\displaystyle \mu ^{\lambda }=\mu }$.
• Приручение можно рассматривать как принцип топологического разделения:^[11] AEC с объединением является ручным тогда и только тогда, когда соответствующий топология на множестве типов Галуа Хаусдорф.
• Прирученность и категоричность подразумевают, что существует разветвленное понятие:^[12] А ${\displaystyle \kappa }$-самостоятельно AEC с объединением категорично в кардинал ${\displaystyle \lambda }$ из конфинальность больше или равно ${\displaystyle \kappa }$ имеет хороший фрейм: разветвляющееся понятие для типов синглтонов (в частности, это стабильный во всех кардиналах). Это порождает хорошее представление о измерение.

Примечания

1. Гроссберг и ВанДирен 2006a.
2. Шела 2009, Определение II.1.9.
3. Болдуин и Шела 2008.
4. См. Обсуждение во введении к Гроссберг и ВанДирен 2006a.
5. Бони 2014, Теорема 1.3.
6. Шела 1999, Основная претензия 2.3 (9.2 в онлайн версии).
7. Гроссберг и ВанДирен, 2006b.
8. См., Например, многие трудные теоремы из книги Шелаха (Шела 2009 ).
9. Гроссберг и ВанДирен, 2006b.
10. Видеть Болдуин, Кюкер и ВанДирен, 2006 г., Теорема 4.5 для первого результата и Гроссберг и ВанДирен 2006a для второго.
11. Либерман 2011, Предложение 4.1.
12. Видеть Васей 2014 для первого результата, и Boney & Vasey 2014, Следствие 6.10.5 из результата о размерности.

Рекомендации

• Шела, Сахарон (1999), «Категоричность для абстрактных классов с объединением» (PDF), Анналы чистой и прикладной логики, 98 (1): 261–294, Дои:10.1016 / s0168-0072 (98) 00016-5
• Гроссберг, Рами (2002), «Теория классификации абстрактных элементарных классов» (PDF), Логика и алгебра, Современная математика, 302, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 165–204, Дои:10.1090 / conm / 302/05080, МИСТЕР  1928390
• Гроссберг, Рами; ВанДирен, Моника (2006a), «Галуа-устойчивость для ручных абстрактных элементарных классов» (PDF), Журнал математической логики, 6 (1): 25–49, arXiv:математика / 0509535, Дои:10.1142 / s0219061306000487
• Гроссберг, Рами; ВанДирен, Моника (2006b), «Категоричность от одного кардинала-преемника в ручных абстрактных элементарных классах» (PDF), Журнал математической логики, 6: 181–201, arXiv:математика / 0510004, Дои:10.1142 / s0219061306000554^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Болдуин, Джон Т .; Куекер, Дэвид; ВанДирен, Моника (2006), «Перенос устойчивости вверх для ручных абстрактных элементарных классов» (PDF), Журнал формальной логики Нотр-Дам, 47 (2): 291–298, Дои:10.1305 / ndjfl / 1153858652
• Болдуин, Джон Т .; Шелах, Сахарон (2008), «Примеры нелокальности» (PDF), Журнал символической логики, 73: 765–782, Дои:10.2178 / jsl / 1230396746
• Шела, Сахарон (2009), Теория классификации элементарных абстрактных классов, Исследования в области логики (Лондон), 18, Публикации колледжа, Лондон, ISBN  978-1-904987-71-0
• Болдуин, Джон Т. (2009), Категоричность, Серия университетских лекций, 50, Американское математическое общество, ISBN  978-0821848937
• Либерман, Майкл Дж. (2011), "Топология типов Галуа в абстрактных элементарных классах", Mathematical Logic Quarterly, 57 (2): 204–216, Дои:10.1002 / malq.200910132
• Бони, Уилл (2014). «Приручение от больших кардинальных аксиом». arXiv:1303.0550v4.
• Бони, Уилл; Унгер Спенсер (2015), «Большие кардинальные аксиомы из приручения в AEC» arXiv: 1509.01191v2.
• Васи, Себастьян (2014). «Разветвление и сверхустойчивость в ручных АЭК». arXiv:1405.7443v2.
• Бони, Уилл; Васи, Себастьян (2014). «Возвращение к приручению и рамкам». arXiv:1406.5980v4.