Абстрактный элементарный класс - Abstract elementary class

В теория моделей, дисциплина внутри математическая логика, абстрактный элементарный класс, или же AEC для краткости, это класс моделей с частичным порядком, подобный отношению элементарная подструктура из начальный класс в первый заказ теория моделей. Их представил Сахарон Шелах.^[1]

Определение

${\displaystyle \langle K,\prec _{K}\rangle }$, за ${\displaystyle K}$ класс структур на каком-то языке ${\displaystyle L=L(K)}$, является AEC, если он имеет следующие свойства:

• ${\displaystyle \prec _{K}}$ это частичный заказ на ${\displaystyle K}$.
• Если ${\displaystyle M\prec _{K}N}$ тогда ${\displaystyle M}$ является подструктурой ${\displaystyle N}$.
• Изоморфизмы: ${\displaystyle K}$ закрыт под изоморфизмы, и если ${\displaystyle M,N,M',N'\in K,}$ ${\displaystyle f\colon M\simeq M',}$ ${\displaystyle g\colon N\simeq N',}$ ${\displaystyle f\subseteq g,}$ и ${\displaystyle M\prec _{K}N,}$ тогда ${\displaystyle M'\prec _{K}N'.}$
• Согласованность: Если ${\displaystyle M_{1}\prec _{K}M_{3},}$ ${\displaystyle M_{2}\prec _{K}M_{3},}$ и ${\displaystyle M_{1}\subseteq M_{2},}$ тогда ${\displaystyle M_{1}\prec _{K}M_{2}.}$
• Тарский – Воот цепь аксиомы: Если ${\displaystyle \gamma }$ является порядковый и ${\displaystyle \{\,M_{\alpha }\mid \alpha <\gamma \,\}\subseteq K}$ представляет собой цепь (т.е. ${\displaystyle \alpha <\beta <\gamma \implies M_{\alpha }\prec _{K}M_{\beta }}$), тогда:
  • ${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\gamma }M_{\alpha }\in K}$
  • Если ${\displaystyle M_{\alpha }\prec _{K}N}$, для всех ${\displaystyle \alpha <\gamma }$, тогда ${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\gamma }M_{\alpha }\prec _{K}N}$
• Левенхайм – Сколем аксиома: Существует кардинал ${\displaystyle \mu \geq |L(K)|+\aleph _{0}}$, так что если ${\displaystyle A}$ является подмножеством вселенной ${\displaystyle M}$, то есть ${\displaystyle N}$ в ${\displaystyle K}$ чья вселенная содержит ${\displaystyle A}$ такой, что ${\displaystyle \|N\|\leq |A|+\mu }$ и ${\displaystyle N\prec _{K}M}$. Мы позволяем ${\displaystyle \operatorname {LS} (K)}$ обозначим наименьшее из таких ${\displaystyle \mu }$ и назовите это Число Левенхайма – Сколема из ${\displaystyle K}$.

Обратите внимание, что мы обычно не заботимся о моделях размером меньше числа Левенхайма – Сколема и часто предполагаем, что их нет (мы примем это соглашение в этой статье). Это оправдано, поскольку мы всегда можем удалить все такие модели из AEC, не влияя на его структуру выше числа Левенгейма – Сколема.

А ${\displaystyle K}$-встраивание - это карта ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ за ${\displaystyle M,N\in K}$ такой, что ${\displaystyle f[M]\prec _{K}N}$ и ${\displaystyle f}$ является изоморфизмом из ${\displaystyle M}$ на ${\displaystyle f[M]}$. Если ${\displaystyle K}$ ясно из контекста, мы его опускаем.

Примеры

Ниже приведены примеры абстрактных элементарных классов:^[2]

• An Начальный класс это самый простой пример AEC: если Т теория первого порядка, то класс ${\displaystyle \operatorname {Mod} (T)}$ моделей Т вместе с элементарная подструктура образует AEC с числом Левенхайма – Сколема | T |.
• Если ${\displaystyle \phi }$ это предложение в бесконечная логика ${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$, и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ счетный фрагмент содержащий ${\displaystyle \phi }$, тогда ${\displaystyle \langle \operatorname {Mod} (T),\prec _{\mathcal {F}}\rangle }$ является АЭК с числом Левенхайма – Сколема ${\displaystyle \aleph _{0}}$. Это можно обобщить на другие логики, например ${\displaystyle L_{\kappa ,\omega }}$, или же ${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }(Q)}$, куда ${\displaystyle Q}$ выражает «существует бесчисленное множество».
• Если Т является счетным сверхстабильный теория, набор ${\displaystyle \aleph _{1}}$-насыщенные модели Твместе с элементарной подструктурой является АЭК с числом Левенгейма – Сколема ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$.
• Псевдоэкспоненциальные поля Зильбера сформировать AEC.

Общие предположения

AEC - это очень общие объекты, и при их изучении обычно делаются некоторые из следующих предположений:

• AEC имеет совместное встраивание если любые две модели могут быть встроены в общую модель.
• AEC имеет нет максимальной модели есть ли у какой-либо модели правильное расширение.
• AEC ${\displaystyle K}$ имеет слияние если для любой тройки ${\displaystyle M_{0},M_{1},M_{2}\in K}$ с ${\displaystyle M_{0}\prec _{K}M_{1}}$, ${\displaystyle M_{0}\prec _{K}M_{2}}$, есть ${\displaystyle N\in K}$ и вложения ${\displaystyle M_{1}}$ и ${\displaystyle M_{2}}$ внутри ${\displaystyle N}$ это исправление ${\displaystyle M_{0}}$ точечно.

Обратите внимание, что в элементарных классах совместное вложение выполняется всякий раз, когда теория полный, а объединение и отсутствие максимальных моделей - хорошо известные следствия теорема компактности. Эти три предположения позволяют нам построить универсальную модель-однородную модель монстра. ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$, как и в простейшем случае.

Еще одно предположение, которое можно сделать, это покорность.

Гипотеза Шелаха о категоричности

Шелах представил AEC, чтобы обеспечить единообразную основу для обобщения первого порядка теория классификации. Теория классификации началась с Теорема Морли о категоричности, поэтому естественно спросить, верен ли аналогичный результат в AEC. Это Гипотеза окончательной категоричности Шелаха. В нем говорится, что для категоричности должно быть число Ханфа:

Для каждого AEC K должен быть кардинал ${\displaystyle \mu }$ в зависимости только от ${\displaystyle \operatorname {LS} (K)}$ так что если K категоричен в немного ${\displaystyle \lambda \geq \mu }$ (т.е. K имеет ровно одну (с точностью до изоморфизма) модель размера ${\displaystyle \lambda }$), тогда K категоричен в ${\displaystyle \theta }$ за все ${\displaystyle \theta \geq \mu }$.

У Шелаха также есть несколько более сильных гипотез: Кардинальный порог категоричности - это число Ханфа псевдоэлементарных классов в языке мощности LS (K). В частности, когда класс написан на счетном языке и аксиомазифицируем ${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$ предложение пороговое число для категоричности ${\displaystyle \beth _{\omega _{1}}}$. Это предположение восходит к 1976 году.

Было опубликовано несколько приближений (см., Например, раздел результатов ниже), предполагая, что теоретико-множественный предположения (например, существование большие кардиналы или вариации гипотеза обобщенного континуума ) или теоретико-модельные допущения (такие как слияние или приручение). По состоянию на 2014 год первоначальная гипотеза остается открытой.

Полученные результаты

Ниже приведены некоторые важные результаты об AEC. За исключением последнего, все результаты принадлежат Шелаху.

• Теорема Шелаха о представлении:^[3] Любой AEC ${\displaystyle K}$ является ${\displaystyle \operatorname {PC} _{2^{\operatorname {LS} (K)}}}$: это редукция класса моделей теории первого порядка, в которой не более ${\displaystyle 2^{\operatorname {LS} (K)}}$ типы.
• Номер Hanf для существования:^[4] Любой AEC ${\displaystyle K}$ у которого есть модель размера ${\displaystyle \beth _{(2^{\operatorname {LS} (K)})^{+}}}$ есть модели сколь угодно больших размеров.
• Слияние с категоричностью:^[5] Если K является категорией AEC в ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \lambda ^{+}}$ и ${\displaystyle 2^{\lambda }<2^{\lambda ^{+}}}$, тогда K имеет слияние для моделей размера ${\displaystyle \lambda }$.
• Существование из категоричности:^[6] Если K это ${\displaystyle \operatorname {PC} _{\aleph _{0}}}$ AEC с номером Левенхайма – Сколема ${\displaystyle \aleph _{0}}$ и K категоричен в ${\displaystyle \aleph _{0}}$ и ${\displaystyle \aleph _{1}}$, тогда K есть модель размера ${\displaystyle \aleph _{2}}$. В частности, нет приговора ${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }(Q)}$ может иметь ровно одну бесчисленную модель.
• Приближения к гипотезе категоричности Шелаха:
  • Передача вниз от преемника:^[7] Если K это абстрактный элементарный класс с категоричным объединением в "достаточно высокий" преемник ${\displaystyle \lambda }$, тогда K категоричен во всем достаточно высоко ${\displaystyle \mu \leq \lambda }$.
  • Гипотеза Шелаха о категоричности преемника из числа крупных кардиналов:^[8] Если есть много классов сильно компактные кардиналы, то гипотеза Шелаха о категоричности верна, когда мы начинаем с категоричности преемника.

Смотрите также

• Приручить абстрактный элементарный класс

Примечания

1. Шела 1987.
2. Гроссберг 2002, Секция 1.
3. Гроссберг 2002, Теорема 3.4.
4. Гроссберг 2002, Следствие 3.5. Обратите внимание, что там есть опечатка и что ${\displaystyle 2^{2^{\operatorname {LS} (K)}}}$ следует заменить на ${\displaystyle 2^{\operatorname {LS} (K)}}$.
5. Гроссберг 2002, Теорема 4.3.
6. Гроссберг 2002, Теорема 5.1.
7. Шелах 1999.
8. Это связано с Уиллом Бони, но объединяет результаты многих людей, включая Гроссберга, Маккаи, Шелаха и ВанДирена. Доказательство появляется в Бони 2014, Теорема 7.5.

Рекомендации

• Шела, Сахарон (1987), Джон Т. Болдуин (редактор), Классификация не элементарных классов II. Абстрактные начальные классы, Конспект лекций по математике, 1292, Springer-Verlag, стр. 419–497.
• Шела, Сахарон (1999), «Категоричность для абстрактных классов с объединением» (PDF), Анналы чистой и прикладной логики, 98 (1): 261–294, Дои:10.1016 / s0168-0072 (98) 00016-5
• Гроссберг, Рами (2002), «Теория классификации абстрактных элементарных классов» (PDF), Логика и алгебра, Современная математика, 302, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 165–204, CiteSeerX  10.1.1.6.9630, Дои:10.1090 / conm / 302/05080, ISBN  9780821829844, МИСТЕР  1928390
• Болдуин, Джон Т. (7 июля 2006 г.), Абстрактные элементарные классы: некоторые ответы, еще вопросы (PDF)
• Шела, Сахарон (2009), Теория классификации элементарных абстрактных классов, Исследования в области логики (Лондон), 18, Публикации колледжа, Лондон, ISBN  978-1-904987-71-0
• Шела, Сахарон (2009), Теория классификации абстрактных элементарных классов. Vol. 2, Исследования в области логики (Лондон), 20, Публикации колледжа, Лондон, ISBN  978-1-904987-72-7
• Болдуин, Джон Т. (2009), Категоричность, Серия университетских лекций, 50, Американское математическое общество, ISBN  978-0821848937
• Бони, Уилл (2014). «Приручение от больших кардинальных аксиом». arXiv:1303.0550v4 [math.LO ].