Нечеткие логики T-нормы - T-norm fuzzy logics

Нечеткие логики T-нормы семья неклассическая логика, неофициально разграниченные семантика который принимает реальный единичный интервал [0, 1] для системы значений истинности и функций, называемых t-нормы для допустимого толкования соединение. В основном они используются в прикладных нечеткая логика и теория нечетких множеств как теоретическая основа для приблизительных рассуждений.

Нечеткие логики T-нормы относятся к более широким классам нечеткая логика и многозначная логика. Чтобы создать хорошо управляемый значение, t-нормы обычно должны быть непрерывный слева; логики непрерывных слева t-норм принадлежат к классу субструктурная логика, среди которых отмечены сроком действия закон пределинейности, (А → B) ∨ (B → А). Обе пропозициональный и первый заказ (или же более высокого порядка ) нечеткие логики t-нормы, а также их разложения с помощью модальный и других операторов. Логики, которые ограничивают семантику t-нормы до подмножества реального единичного интервала (например, конечнозначных Логика Лукасевича ) обычно также включаются в класс.

Важными примерами нечетких логик t-нормы являются моноидальная t-норма логика MTL всех непрерывных слева t-норм, базовая логика BL всех непрерывных t-норм, нечеткая логика продукта t-нормы продукта или нильпотентная минимальная логика нильпотентной минимальной t-нормы. Некоторые независимо мотивированные логики также относятся к нечетким логикам t-нормы, например, логика Лукасевича (которая является логикой t-нормы Лукасевича) или Логика Гёделя – Даммета (что является логикой минимальной t-нормы).

Мотивация

Как члены семьи нечеткая логика, нечеткие логики с t-нормой в первую очередь направлены на обобщение классической двузначной логики путем допуска промежуточных ценности истины между 1 (правда) и 0 (ложь), представляющими градусы истинности высказываний. Предполагается, что степени являются действительными числами из единичного интервала [0, 1]. В пропозициональной нечеткой логике с t-нормой пропозициональные связки должны быть истинно-функциональный, то есть значение истинности сложного предложения, образованного пропозициональной связкой из некоторых составляющих предложений, является функцией (называемой функция истины связки) истинностных значений составляющих предложений. Функции истинности оперируют множеством степеней истинности (в стандартной семантике на интервале [0, 1]); таким образом, функция истинности п-арная пропозициональная связка c это функция F_c: [0, 1]^п → [0, 1]. Функции истины обобщают таблицы истинности пропозициональных связок, известных из классической логики, для работы с более широкой системой значений истинности.

Нечеткие логики с T-нормой накладывают определенные естественные ограничения на функцию истинности соединение. Функция истины ${displaystyle *colon [0,1]^{2} o [0,1]}$ конъюнкции удовлетворяет следующим условиям:

• Коммутативность, то есть, ${displaystyle x*y=y*x}$ для всех Икс и у в [0, 1]. Это выражает предположение о том, что порядок нечетких предложений несущественен в сочетании, даже если допускаются промежуточные степени истинности.
• Ассоциативность, то есть, ${displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}$ для всех Икс, у, и z в [0, 1]. Это выражает предположение, что порядок выполнения соединения несущественен, даже если допускаются промежуточные степени истинности.
• Монотонность, то есть если ${displaystyle xleq y}$ тогда ${displaystyle x*zleq y*z}$ для всех Икс, у, и z в [0, 1]. Это выражает предположение, что увеличение степени истинности конъюнкции не должно уменьшать степень истинности конъюнкции.
• Нейтральность 1, то есть, ${displaystyle 1*x=x}$ для всех Икс в [0, 1]. Это предположение соответствует рассмотрению степени истинности 1 как полной истины, соединение с которой не уменьшает значение истинности другого соединения. Вместе с предыдущими условиями это условие гарантирует, что также ${displaystyle 0*x=0}$ для всех Икс in [0, 1], что соответствует рассмотрению степени истинности 0 как полной ложности, соединение с которой всегда полностью ложно.
• Непрерывность функции ${displaystyle *}$ (предыдущие условия сводят это требование к непрерывности любого аргумента). Неформально это выражает предположение, что микроскопические изменения степеней истинности конъюнктов не должны приводить к макроскопическому изменению степени истинности их конъюнкций. Это условие, среди прочего, обеспечивает хорошее поведение (остаточной) импликации, полученной из конъюнкции; чтобы обеспечить хорошее поведение, однако, оставили-непрерывность (по любому аргументу) функции ${displaystyle *}$ достаточно.^[1] В общем случае нечеткие логики с t-нормой, следовательно, только левая непрерывность ${displaystyle *}$ требуется, что выражает предположение, что микроскопический снижаться степени истинности конъюнкции не должны макроскопически уменьшать степень истинности конъюнкции.

Эти предположения делают функцию истинности конъюнкции непрерывной слева t-норма, что объясняет название семейства нечетких логик (на основе t-нормы). Конкретная логика семьи может делать дальнейшие предположения о поведении союза (например, Логика Гёделя требует своего идемпотентность ) или другие связки (например, логика IMTL требует инволютивность отрицания).

Все непрерывные слева t-нормы ${displaystyle *}$ иметь уникальный остаток, то есть двоичная функция ${displaystyle Rightarrow }$ такой, что для всех Икс, у, и z в [0, 1],

${displaystyle x*yleq z}$ если и только если ${displaystyle xleq yRightarrow z.}$

Остаток непрерывной слева t-нормы можно явно определить как

${displaystyle (xRightarrow y)=sup{zmid z*xleq y}.}$

Это гарантирует, что остаток будет поточечно наибольшей функцией, такой что для всех Икс и у,

${displaystyle x*(xRightarrow y)leq y.}$

Последнее можно интерпретировать как нечеткую версию modus ponens правило вывода. Таким образом, остаток непрерывной слева t-нормы можно охарактеризовать как самую слабую функцию, которая делает действительным нечеткий modus ponens, что делает его подходящей функцией истинности для импликации в нечеткой логике. Непрерывность t-нормы слева является необходимым и достаточным условием для соблюдения этой связи между конъюнкцией t-нормы и ее остаточной импликацией.

Функции истинности дальнейших пропозициональных связок могут быть определены с помощью t-нормы и ее остатка, например остаточного отрицания ${displaystyle eg x=(xRightarrow 0)}$ или двухостаточная эквивалентность ${displaystyle xLeftrightarrow y=(xRightarrow y)*(yRightarrow x).}$ Функции истинности пропозициональных связок также могут быть введены дополнительными определениями: наиболее распространенными из них являются минимум (который играет роль другой конъюнктивной связки), максимум (который играет роль дизъюнктивной связки) или оператор дельты Бааза, определено в [0, 1] как ${displaystyle Delta x=1}$ если ${displaystyle x=1}$ и ${displaystyle Delta x=0}$ иначе. Таким образом, непрерывная слева t-норма, ее остаток и функции истинности дополнительных пропозициональных связок определяют истинностные значения сложных пропозициональных формул в [0, 1].

Формулы, которые всегда равны 1, называются тавтологии относительно данной непрерывной слева t-нормы ${displaystyle *,}$ или же ${displaystyle *{mbox{-}}}$тавтологии. Набор всех ${displaystyle *{mbox{-}}}$тавтологии называется логика t-нормы ${displaystyle *,}$ поскольку эти формулы представляют законы нечеткой логики (определяемые t-нормой), которые выполняются (до степени 1) независимо от степеней истинности атомарные формулы. Некоторые формулы тавтологии относительно более широкого класса непрерывных слева t-норм; набор таких формул называется логикой класса. Важные логики t-нормы - это логики определенных t-норм или классов t-норм, например:

• Логика Лукасевича это логика Лукасевич t-норма ${displaystyle x*y=max(x+y-1,0)}$
• Логика Гёделя – Даммета это логика минимальная t-норма ${displaystyle x*y=min(x,y)}$
• Нечеткая логика продукта это логика t-норма продукта ${displaystyle x*y=xcdot y}$
• Моноидальная логика t-нормы MTL - это логика (класса) все непрерывные слева t-нормы
• Базовая нечеткая логика BL - это логика (класса) всех непрерывный t-нормы

Оказывается, что многие логики определенных t-норм и классов t-норм аксиоматизируемы. Теорема полноты аксиоматической системы относительно соответствующей семантики t-нормы на [0, 1] тогда называется стандартная полнота логики. Помимо стандартной вещественнозначной семантики на [0, 1], логики являются надежными и полными по отношению к общей алгебраической семантике, образованной подходящими классами предлинейных коммутативных ограниченных интегралов. остаточные решетки.

История

Некоторые нечеткие логики с t-нормой были введены и исследованы задолго до того, как семья была признана (даже до того, как появились нечеткая логика или же t-норма появились):

• Логика Лукасевича (логика t-нормы Лукасевича) первоначально была определена Ян Лукасевич (1920) как трехзначная логика;^[2] позже это было обобщено на п-значный (для всех конечных п), а также бесконечно многозначные варианты как пропозиционального, так и первого порядка.^[3]
• Логика Гёделя – Даммета (логика минимальной t-нормы) подразумевалась в Гёдель доказательство 1932 года бесконечной значимости интуиционистская логика.^[4] Позже (1959 г.) он был подробно изучен Dummett который доказал теорему о полноте логики.^[5]

Систематическое изучение конкретных нечетких логик с t-нормой и их классов началось с Hájek (1998) монография Метаматематика нечеткой логики, который представил понятие логики непрерывной t-нормы, логики трех основных непрерывных t-норм (Лукасевича, Гёделя и продукта) и `` базовой '' нечеткой логики BL всех непрерывных t-норм (все они как пропозициональные, так и первого порядка). Книга также положила начало исследованию нечетких логик как неклассических логик с исчислениями гильбертова, алгебраической семантикой и метаматематическими свойствами, известными из других логик (теоремы полноты, теоремы дедукции, сложности и т. Д.).

С тех пор было введено множество нечетких логик с t-нормой и исследованы их метаматематические свойства. Некоторые из наиболее важных нечетких логик t-нормы были введены в 2001 г. Эстевой и Годо (MTL, IMTL, SMTL, NM, WNM),^[1] Эстева, Годо и Монтанья (пропозициональный ŁΠ),^[6] и Cintula (order первого порядка).^[7]

Логический язык

Логический словарь пропозициональный Нечеткая логика t-нормы стандартно включает следующие связки:

• Последствия ${displaystyle ightarrow }$ (двоичный ). В контексте нечетких логик, основанных не на t-норме, импликация на основе t-нормы иногда называется остаточное следствие или же R-импликация, поскольку его стандартной семантикой является остаток из t-норма который реализует сильное соединение.
• Сильное соединение ${displaystyle And }$ (бинарный). В контексте субструктурной логики знак ${displaystyle otimes }$ и имена группа, содержательный, мультипликативный, или же параллельное соединение часто используются для прочного соединения.
• Слабое соединение ${displaystyle wedge }$ (двоичный), также называемый решеточное соединение (как это всегда понимают решетка операция по встретить в алгебраической семантике). В контексте субструктурной логики имена добавка, экстенсиональный, или же сравнительное соединение иногда используются для соединения решеток. В логике BL и его расширения (хотя и не в логике t-нормы в целом), слабая конъюнкция определима в терминах импликации и сильной конъюнкции с помощью

${displaystyle Awedge Bequiv A{mathbin {And }}(Aightarrow B).}$

Наличие двух соединительных соединительных элементов - общая черта несокращающихся субструктурная логика.

• Нижний ${displaystyle ot }$ (нулевой ); ${displaystyle 0}$ или же ${displaystyle {overline {0}}}$ являются распространенными альтернативными знаками и нуль общепринятое альтернативное имя пропозициональной константы (поскольку константы bottom и zero субструктурных логик совпадают в нечетких логиках t-нормы). Предложение ${displaystyle ot }$ представляет фальшь или же абсурд и соответствует классическому значению истинности ложный.
• Отрицание ${displaystyle eg }$ (унарный ), иногда называемый остаточное отрицание если рассматриваются другие связки отрицания, как это определено из остаточной импликации с помощью reductio ad absurdum:

${displaystyle eg Aequiv Aightarrow ot }$

• Эквивалентность ${displaystyle leftrightarrow }$ (двоичный), определяемый как

${displaystyle Aleftrightarrow Bequiv (Aightarrow B)wedge (Bightarrow A)}$

В логике t-нормы определение эквивалентно ${displaystyle (Aightarrow B){mathbin {And }}(Bightarrow A).}$

• (Слабая) дизъюнкция ${displaystyle vee }$ (двоичный), также называемый решеточная дизъюнкция (как это всегда понимают решетка операция по присоединиться в алгебраической семантике). В логике t-нормы это определимо в терминах других связок как

${displaystyle Avee Bequiv ((Aightarrow B)ightarrow B)wedge ((Bightarrow A)ightarrow A)}$

• Вершина ${displaystyle op }$ (nullary), также называемый один и обозначается ${displaystyle 1}$ или же ${displaystyle {overline {1}}}$ (поскольку константы top и zero субструктурных логик совпадают в нечетких логиках с t-нормой). Предложение ${displaystyle op }$ соответствует классическому значению истинности истинный и может быть определена в логиках t-нормы как

${displaystyle op equiv ot ightarrow ot .}$

Некоторые логики пропозициональной t-нормы добавляют к вышеуказанному языку дополнительные пропозициональные связки, чаще всего следующие:

• В Дельта соединительный ${displaystyle riangle }$ - унарная связка, утверждающая классическую истинность предложения, поскольку формулы вида ${displaystyle riangle A}$ вести себя как в классической логике. Также называется Бааз Дельта, поскольку он был впервые использован Маттиасом Баазом для Логика Гёделя – Даммета.^[8] Расширение логики t-нормы ${displaystyle L}$ связкой Дельта обычно обозначается ${displaystyle L_{ riangle }.}$
• Константы истины являются нулевыми связками, представляющими конкретные значения истинности между 0 и 1 в стандартной семантике действительных значений. Для реального числа ${displaystyle r}$, соответствующая константа истинности обычно обозначается ${displaystyle {overline {r}}.}$ Чаще всего добавляются константы истинности для всех рациональных чисел. Предполагается, что система всех констант истинности в языке удовлетворяет аксиомы бухгалтерского учета:^[9]

${displaystyle {overline {r{mathbin {And }}s}}leftrightarrow ({overline {r}}{mathbin {And }}{overline {s}}),}$ ${displaystyle {overline {rightarrow s}}leftrightarrow ({overline {r}}{mathbin {ightarrow }}{overline {s}}),}$ и т.д. для всех пропозициональных связок и всех констант истинности, определяемых в языке.

• Инволютивное отрицание ${displaystyle sim }$ (унарный) может быть добавлен как дополнительное отрицание к логикам t-нормы, остаточное отрицание которых не является само инволютивный, то есть, если он не подчиняется закону двойного отрицания ${displaystyle eg eg Aleftrightarrow A}$. Логика t-нормы ${displaystyle L}$ развернутый с инволютивным отрицанием обычно обозначается ${displaystyle L_{sim }}$ и позвонил ${displaystyle L}$ с инволюцией.
• Сильная дизъюнкция ${displaystyle oplus }$ (бинарный). В контексте субструктурной логики это также называется группа, содержательный, мультипликативный, или же параллельная дизъюнкция. Несмотря на то, что он является стандартным для субструктурной логики без сжатия, в нечеткой логике с t-нормой он обычно используется только при наличии инволютивного отрицания, что делает его определяемым (и, таким образом, аксиоматизируемым) законом де Моргана из сильного соединения:

${displaystyle Aoplus Bequiv mathrm {sim } (mathrm {sim } A{mathbin {And }}mathrm {sim } B).}$

• Дополнительные конъюнкции t-нормы и остаточные следствия. Некоторые выразительно сильные логики t-нормы, например, логика ŁΠ, имеют более одного сильного союза или остаточного значения в своем языке. В стандартной семантике вещественных значений все такие сильные конъюнкции реализуются различными t-нормами, а остаточные импликации - их остатками.

Правильные формулы пропозициональных логик t-нормы определяются из пропозициональные переменные (обычно счетно many) указанными выше логическими связками, как обычно в пропозициональная логика. Чтобы сохранить круглые скобки, обычно используется следующий порядок приоритета:

• Унарные связки (связываются наиболее тесно)
• Бинарные связки, кроме импликации и эквивалентности
• Импликация и эквивалентность (связывайте наиболее свободно)

Варианты логики t-нормы первого порядка используют обычный логический язык логика первого порядка с указанными выше пропозициональными связками и следующими кванторы:

• Общий количественный показатель ${displaystyle forall }$
• Экзистенциальный квантификатор ${displaystyle exists }$

Вариант первого порядка логики высказываний t-нормы ${displaystyle L}$ обычно обозначается ${displaystyle Lforall .}$

Семантика

Алгебраическая семантика в основном используется для пропозициональных нечетких логик с t-нормой, с тремя основными классами алгебры относительно которого нечеткая логика t-нормы ${displaystyle L}$ является полный:

• Общая семантика, состоящий из всех ${displaystyle L}$-алгебры - то есть все алгебры, логика которых звук.
• Линейная семантика, состоящий из всех линейный ${displaystyle L}$-алгебры - то есть все ${displaystyle L}$-алгебры, чьи решетка порядок линейный.
• Стандартная семантика, состоящий из всех стандарт ${displaystyle L}$-алгебры - то есть все ${displaystyle L}$-алгебры, решеточная редукция которых представляет собой вещественный единичный интервал [0, 1] с обычным порядком. В стандартной ${displaystyle L}$-алгебр, интерпретация сильной конъюнкции является непрерывной слева t-норма а интерпретация большинства пропозициональных связок определяется t-нормой (отсюда и названия логики на основе t-нормы и t-норма ${displaystyle L}$-алгебры, который также используется для ${displaystyle L}$-алгебры на решетке [0, 1]). В логиках t-нормы с дополнительными связками, однако, вещественная интерпретация дополнительных связок может быть ограничена дополнительными условиями для называния алгебры t-нормы стандартной: например, в стандартной ${displaystyle L_{sim }}$-алгебры логики ${displaystyle L}$ с инволюцией интерпретация дополнительного инволютивного отрицания ${displaystyle sim }$ должен быть стандартная инволюция ${displaystyle f_{sim }(x)=1-x,}$ а не другие инволюции, которые также могут интерпретировать ${displaystyle sim }$ сверх t-нормы ${displaystyle L_{sim }}$-алгебры.^[10] В общем, поэтому определение стандартных алгебр с t-нормой должно быть явно дано для логик с t-нормой с дополнительными связками.

Библиография

• Эстева Ф. и Годо Л., 2001, "Моноидальная логика на основе t-нормы: К логике непрерывных слева t-норм". Нечеткие множества и системы 124: 271–288.
• Фламинио Т. и Маркиони Э., 2006, логики на основе Т-нормы с независимым инволютивным отрицанием. Нечеткие множества и системы 157: 3125–3144.
• Готтвальд С. & Хайек П., 2005, Математическая нечеткая логика, основанная на треугольных нормах. В E.P. Клемент и Р. Месиар (ред.), Логические, алгебраические, аналитические и вероятностные аспекты треугольных нормС. 275–300. Эльзевир, Амстердам, 2005 г.
• Гайек П., 1998 г., Метаматематика нечеткой логики. Дордрехт: Клувер. ISBN  0-7923-5238-6.

Рекомендации

1. Эстева и Годо (2001)
2. Лукасевич Й., 1920, O logice trojwartosciowej (Польский, О трехзначной логике). Ручка филозофична 5:170–171.
3. Хэй, Л.С., 1963, Аксиоматизация бесконечнозначного исчисления предикатов. Журнал символической логики 28:77–86.
4. Гёдель К., 1932, Zum intuitionistischen Aussagenkalkül, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69: 65–66.
5. Даммет М., 1959, Исчисление высказываний со счетной матрицей, Журнал символической логики 27: 97–106
6. Эстева Ф., Годо Л. и Монтанья Ф., 2001, Логики и ŁΠ½: две полные нечеткие системы, соединяющие Лукасевича и логику продукта, Архив по математической логике 40: 39–67.
7. Синтула П., 2001, Пропозициональные и предикатные логики ŁΠ и ŁΠ½, Нечеткие множества и системы 124: 289–302.
8. Бааз М., 1996, Бесконечнозначная логика Гёделя с 0-1-проекциями и релятивизациями. В П. Гайеке (ред.), Gödel'96: Логические основы математики, информатики и физики, Спрингер, Конспект лекций по логике 6: 23–33
9. Гайек (1998)
10. Фламинио и Маркиони (2006)