Симплектизация - Symplectization

В математика, то симплектизация из контактный коллектор это симплектическое многообразие что естественно ему соответствует.

Определение

Позволять ${\displaystyle (V,\xi )}$ - контактное многообразие, и пусть ${\displaystyle x\in V}$. Рассмотрим множество

${\displaystyle S_{x}V=\{\beta \in T_{x}^{*}V-\{0\}\mid \ker \beta =\xi _{x}\}\subset T_{x}^{*}V}$

всех ненулевых 1-формы в ${\displaystyle x}$, которые имеют контактную плоскость ${\displaystyle \xi _{x}}$ как их ядро. Союз

${\displaystyle SV=\bigcup _{x\in V}S_{x}V\subset T^{*}V}$

это симплектическое подмногообразие из котангенсный пучок из ${\displaystyle V}$, а значит, обладает естественной симплектической структурой.

В проекция ${\displaystyle \pi :SV\to V}$ обеспечивает симплектизацию структурой основной пакет над ${\displaystyle V}$ с структурная группа ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\equiv \mathbb {R} -\{0\}}$.

Коориентируемый случай

Когда структура контактов ${\displaystyle \xi }$ является коориентированный с помощью Форма обратной связи ${\displaystyle \alpha }$, существует еще один вариант симплектизации, в котором только формы, дающие одинаковую коориентацию ${\displaystyle \xi }$ в качестве ${\displaystyle \alpha }$ считаются:

${\displaystyle S_{x}^{+}V=\{\beta \in T_{x}^{*}V-\{0\}\,|\,\beta =\lambda \alpha ,\,\lambda >0\}\subset T_{x}^{*}V,}$

${\displaystyle S^{+}V=\bigcup _{x\in V}S_{x}^{+}V\subset T^{*}V.}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle \xi }$ коориентируем тогда и только тогда, когда пучок ${\displaystyle \pi :SV\to V}$ является банальный. Любой раздел этого пучка является коориентирующей формой для контактной структуры.