Символическая сила идеала - Symbolic power of an ideal

В алгебра и алгебраическая геометрия, учитывая коммутативный Кольцо Нётериана ${\displaystyle R}$ и идеальный ${\displaystyle I}$ в нем п-я символическая сила из ${\displaystyle I}$ это идеал

${\displaystyle I^{(n)}=R\cap \bigcap _{P\in \operatorname {Ass} (I)}I^{n}R_{P}}$

куда ${\displaystyle R_{P}}$ это локализация из ${\displaystyle R}$ к ${\displaystyle P}$ и перекресток проходит через все связанные простые числа из ${\displaystyle R/I}$

Хотя это определение не требует ${\displaystyle I}$ быть основной, с этим предположением часто работают, потому что в случае главный идеал, символическая мощность может быть эквивалентно определена как ${\displaystyle I}$-основной компонент из ${\displaystyle I^{n}}$. Грубо говоря, он состоит из функций с нулями порядка п вдоль многообразия, определяемого ${\displaystyle I}$. У нас есть: ${\displaystyle I^{(1)}=I}$ и если это максимальный идеал, тогда ${\displaystyle I^{(n)}=I^{n}}$.

Символические силы порождают следующую цепочку идеалов:

${\displaystyle I^{(0)}=R\supset I=I^{(1)}\supset I^{(2)}\supset I^{(3)}\supset I^{(4)}\supset \cdots }$

Использует

Изучение и использование символических сил имеет долгую историю в коммутативная алгебра. Krull’s знаменитое доказательство его теорема о главном идеале использует их существенно. Они впервые возникли после первичные разложения были доказаны для Нётерские кольца. Зарисский использовал символические силы в своем исследовании аналитического нормальность из алгебраические многообразия. Шевалле знаменитая лемма сравнения топологии заявляет, что в полный локальный домен символические силы топология любой основной является тоньше чем м-адическая топология. Решающий шаг в теореме об исчезновении локальные когомологии Хартсхорна и Лихтенбаума использует это для прайма ${\displaystyle I}$ определение изгиб в полный локальный домен, полномочия ${\displaystyle I}$ находятся финальный с символической силой ${\displaystyle I}$. Это важное свойство бытия финальный был разработан Schenzel в 1970-х годах.^[1]

В алгебраической геометрии

Хотя генераторы за обычные полномочия из ${\displaystyle I}$ хорошо понимаются, когда ${\displaystyle I}$ задается в терминах его генераторов как ${\displaystyle I=(f_{1},\ldots ,f_{k})}$, во многих случаях по-прежнему очень трудно определить образующие символических степеней ${\displaystyle I}$. Но в геометрический постановке имеется четкая геометрическая интерпретация в том случае, когда ${\displaystyle I}$ это радикальный идеал над алгебраически замкнутое поле из характеристика ноль.

Если ${\displaystyle X}$ является несводимый разнообразие чей идеал исчезновения ${\displaystyle I}$, то дифференциальная мощность из ${\displaystyle I}$ состоит из всех функции в ${\displaystyle R}$ что исчезаютна порядок ≥ п на ${\displaystyle X}$, т.е.

${\displaystyle I^{\langle n\rangle }:=\{f\in R\mid f{\text{ vanishes to order}}\geq n{\text{ on all of }}X\}.}$

Или, что то же самое, если ${\displaystyle \mathbf {m} _{p}}$ это максимальный идеал на точку ${\displaystyle p\in X}$, ${\displaystyle I^{\langle n\rangle }=\bigcap _{p\in X}\mathbf {m} _{p}^{n}}$.

Теорема (Нагата, Зариски)^[2] Позволять ${\displaystyle I}$ быть главным идеалом в кольцо многочленов ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{N}]}$ над алгебраически замкнутым полем. потом

${\displaystyle I^{(m)}=I^{\langle m\rangle }}$

Этот результат можно распространить на любой радикальный идеал.^[3] Эта формулировка очень полезна, потому что в характеристика ноль, мы можем вычислить дифференциальные мощности в терминах генераторов как:

${\displaystyle I^{\langle m\rangle }=\left\langle f\mid {\frac {\partial ^{\mathbf {a} }f}{\partial x^{\mathbf {a} }}}\in I{\text{ for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {N} ^{N}{\text{ where }}|\mathbf {a} |=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\leq m-1\right\rangle }$

В другой постановке можно рассмотреть случай, когда база звенеть это кольцо многочленов через поле. В этом случае мы можем интерпретировать п-я символическая сила как пучок всех функций микробы над ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R){\text{ vanishing to order}}\geq n{\text{ at }}Z=V(I)}$Фактически, если ${\displaystyle X}$ это гладкий сорт через идеальное поле, тогда

${\displaystyle I^{(n)}=\{f\in R\mid f\in \mathbf {m} ^{n}{\text{ for every closed point }}\mathbf {m} \in Z\}}$^[1]

Контейнеры

Естественно задуматься о том, согласуются ли символические силы с обычными полномочиями, т.е. ${\displaystyle I^{n}=I^{(n)}}$ держать? В общем это не так. Одним из примеров этого является главный идеал ${\displaystyle P=(x^{4}-yz,\,y^{2}-xz,\,x^{3}y-z^{2})\subseteq K[x,y,z]}$. Вот это ${\displaystyle P^{2}\neq P^{(2)}}$.^[1] Тем не мение, ${\displaystyle P^{2}\subset P^{(2)}}$ имеет место и обобщение этого включение хорошо понимается. Действительно, сдерживание ${\displaystyle I^{n}\subseteq I^{(n)}}$следует из определения. Кроме того, известно, что ${\displaystyle I^{r}\subseteq I^{(m)}}$ если и только если ${\displaystyle m\leq r}$. Доказательство следует из Лемма Накаямы.^[4]

Было проведено обширное исследование другого сдерживания, когда символические силы содержатся в обычных силах идеалов, что называется проблемой сдерживания. И снова этот легко формулируемый ответ резюмируется в следующей теореме. Он был разработан Эйном, Лазарфельдом и Смитом в нулевой характеристике. ^[5] и был расширен до положительная характеристика Хохстера и Хунеке.^[6] Обе их статьи основываются на результатах Ирена Суонсон в Линейная эквивалентность идеальных топологий (2000).^[7]

Теорема (Эйн, Лазарфельд, Смит; Хохстер, Хунеке) Позволять ${\displaystyle I\subset K[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}]}$ быть однородный идеал. Тогда включение

${\displaystyle I^{(m)}\subset I^{r}}$ относится ко всем ${\displaystyle m\geq Nr.}$

Позже было подтверждено, что граница из ${\displaystyle N}$ в теореме нельзя затягивать за общие идеалы.^[8] Однако после заданного вопроса^[8] Боччи, Харборн и Хунеке обнаружили, что в некоторых случаях существует лучшая граница.

Теорема Включение ${\displaystyle I^{(m)}\subseteq I^{r}}$ для всех ${\displaystyle m\geq Nr-N+1}$ держит

1. для произвольных идеалов характеристики 2;^[9]
2. за мономиальные идеалы в произвольной характеристике^[4]
3. для идеалов d-звезды^[8]
4. для идеалов общих точек в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}{\text{ and }}\mathbb {P} ^{3}}$^[10][11]

Рекомендации

Слева: Брайан Харборн, Сандра Ди Рокко, Томаш Шемберг [pl ], и Томас Бауэр в МФО мини-мастерская Линейные ряды на алгебраических многообразиях, 2010

1. Дао, Хайлун; Де Стефани, Алессандро; Грифо, Элоиза; Хунеке, Крейг; Нуньес-Бетанкур, Луис (2017-08-09). «Символические силы идеалов». arXiv:1708.03010 [math.AC ].
2. Дэвид Эйзенбуд. Коммутативная алгебра: с точки зрения алгебраической геометрии, том 150. Springer Science & Business Media, 2013.
3. Сидман, Джессика; Салливант, Сет (2006). «Продолжения и вычислительная алгебра». arXiv:математика / 0611696.
4. Томас Бауэр, С. Ди Рокко, Брайан Харборн, Михал Капустка, Андреас Кнутсен, Виолетта Сюздек и Томаш Шемберг. Праймер по константам сешадри. Современная математика, 496: 33, 2009.
5. Лоуренс Эйн, Роберт Лазарсфельд и Карен Е. Смит. Равномерные границы и символические степени на гладких многообразиях. Inventiones mathematicae, 144 (2): 241–252, 2001 г.
6. Мелвин Хохстер и Крейг Хунеке. Сравнение символической и обычной силы идеалов. Inventiones mathematicae, 147 (2): 349–369, 2002.
7. Ирена Суонсон. Линейная эквивалентность идеальных топологий. Mathematische Zeitschrift, 234 (4): 755–775, 2000.
8. Боччи, Криштиану; Харборн, Брайан (2007). «Сравнивая силы и символические силы идеалов». arXiv:0706.3707 [math.AG ].
9. Томаш Шемберг и Юстина Шпонд. О проблеме содержания. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Серия 2, страницы 1–13, 2016.
10. Марцин Думницки. Содержания символических степеней идеалов общих точек в P 3. Труды Американского математического общества, 143 (2): 513–530, 2015.
11. Харборн, Брайан; Хунеке, Крейг (2011). «Сильно ли развиты символические силы?». arXiv:1103.5809 [math.AC ].

внешняя ссылка

• Мелвин Хохстер, Math 711: Лекция 7 сентября 2007 г.