Somers D - Somers D

В статистике Somers ’ D, иногда неправильно называемый Somer’s D, является мерой порядковая ассоциация между двумя возможно зависимыми случайными величинами Икс и Y. Somers ’ D принимает значения между ${\displaystyle -1}$ когда все пары переменных не совпадают и ${\displaystyle 1}$ когда все пары переменных согласуются. Somers ’ D назван в честь Роберта Х. Сомерса, предложившего его в 1962 году.^[1]

Somers ’ D играет центральную роль в ранговой статистике и является параметром многих непараметрических методов.^[2] Он также используется как мера качества двоичный выбор или же порядковая регрессия (например., логистическая регрессия ) и кредитный скоринг модели.

Somers ’ D для образца

Мы говорим, что две пары ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ и ${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$ находятся согласный если ранги обоих элементов совпадают, или ${\displaystyle x_{i}>x_{j}}$ и ${\displaystyle y_{i}>y_{j}}$ или если ${\displaystyle x_{i}<x_{j}}$ и ${\displaystyle y_{i}<y_{j}}$. Мы говорим, что две пары ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ и ${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$ противоречат друг другу, если ранги обоих элементов не совпадают, или если ${\displaystyle x_{i}>x_{j}}$ и ${\displaystyle y_{i}<y_{j}}$ или если ${\displaystyle x_{i}<x_{j}}$ и ${\displaystyle y_{i}>y_{j}}$. Если ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ или же ${\displaystyle y_{i}=y_{j}}$пара не является ни согласованной, ни несогласной.

Позволять ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$ быть набором наблюдений двух возможно зависимых случайных векторов Икс и Y. Определять Коэффициент ранговой корреляции Кендалла тау ${\displaystyle \tau }$ в качестве

${\displaystyle \tau ={\frac {N_{C}-N_{D}}{n(n-1)/2}},}$

куда ${\displaystyle N_{C}}$ - количество согласованных пар и ${\displaystyle N_{D}}$ - количество дискордантных пар. Somers ’ D из Y относительно Икс определяется как ${\displaystyle D_{YX}=\tau (X,Y)/\tau (X,X)}$.^[2] Обратите внимание, что тау Кендалла симметричен в Икс и Y, тогда как Somers ’ D асимметричен в Икс и Y.

В качестве ${\displaystyle \tau (X,X)}$ определяет количество пар с неравными Икс ценности, Somers ’ D - разница между количеством согласных и несогласованных пар, деленная на количество пар с Икс значения в паре не равны.

Somers ’ D для распространения

Пусть две независимые двумерные случайные величины ${\displaystyle (X_{1},Y_{1})}$ и ${\displaystyle (X_{2},Y_{2})}$ иметь такое же распределение вероятностей ${\displaystyle \operatorname {P} _{XY}}$. Опять же, Сомерс D, который измеряет порядковую ассоциацию случайных величин Икс и Y в ${\displaystyle \operatorname {P} _{XY}}$, можно определить через Тау Кендалла

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau (X,Y)&=\operatorname {E} {\Bigl (}\operatorname {sgn}(X_{1}-X_{2})\operatorname {sgn}(Y_{1}-Y_{2}){\Bigr )}\\&=\operatorname {P} {\Bigl (}\operatorname {sgn}(X_{1}-X_{2})\operatorname {sgn}(Y_{1}-Y_{2})=1{\Bigr )}-\operatorname {P} {\Bigl (}\operatorname {sgn}(X_{1}-X_{2})\operatorname {sgn}(Y_{1}-Y_{2})=-1{\Bigr )},\\\end{aligned}}}$

или разница между вероятностями согласия и несогласия. Somers ’ D из Y относительно Икс определяется как ${\displaystyle D_{YX}=\tau (X,Y)/\tau (X,X)}$. Таким образом, ${\displaystyle D_{YX}}$ - это разница между двумя соответствующими вероятностями, обусловленная Икс значения не равны. Икс имеет непрерывное распределение вероятностей, тогда ${\displaystyle \tau (X,X)=1}$ и тау Кендалла и Сомерс D совпадают. Somers ’ D нормализует тау Кендалла для возможных массовых точек переменной Икс.

Если Икс и Y оба двоичные со значениями 0 и 1, то Somers ’ D это разница между двумя вероятностями:

${\displaystyle D_{YX}=\operatorname {P} (Y=1\mid X=1)-\operatorname {P} (Y=1\mid X=0).}$

Сомерс ' D для двоичных зависимых переменных

На практике Сомерс ' D чаще всего используется, когда зависимая переменная Y это двоичная переменная,^[2] то есть для двоичная классификация или предсказание бинарных результатов, включая модели бинарного выбора в эконометрике. Способы подбора таких моделей включают: логистика и пробит регресс.

Для количественной оценки качества таких моделей можно использовать несколько статистических данных: площадь под рабочая характеристика приемника (ROC) кривая, Гамма Гудмана и Крускала, Тау Кендалла (Тау-а), Somers ’ Dи др. Somers ’ D вероятно, наиболее широко используется из доступных статистических данных порядковых ассоциаций.^[3] Идентичен Коэффициент Джини, Somers ’ D относится к площадь под кривой рабочей характеристики приемника (AUC),^[2]

${\displaystyle \mathrm {AUC} ={\frac {D_{XY}+1}{2}}}$.

В случае, когда независимая (предикторная) переменная Икс является дискретный и зависимая (исходная) переменная Y бинарный, Somers ’ D равно

${\displaystyle D_{XY}={\frac {N_{C}-N_{D}}{N_{C}+N_{D}+N_{T}}},}$

куда ${\displaystyle N_{T}}$ это количество ни согласованных, ни несогласованных пар, связанных с переменной Икс а не по переменной Y.

Пример

Предположим, что независимая (предикторная) переменная Икс принимает три значения, 0.25, 0.5, или же 0.75, и зависимая (исходная) переменная Y принимает два значения, 0 или же 1. В таблице ниже представлены наблюдаемые комбинации Икс и Y:

Частоты
Y, Икс пары

Икс Y	0.25	0.5	0.75
0	3	5	2
1	1	7	6

Количество согласных пар равно

${\displaystyle N_{C}=3\times 7+3\times 6+5\times 6=69.}$

Количество дискордантных пар равно

${\displaystyle N_{D}=1\times 5+1\times 2+7\times 2=21.}$

Количество связанных пар равно общему количеству пар за вычетом согласованных и несогласованных пар.

${\displaystyle N_{T}=(3+5+2)\times (1+7+6)-69-21=50}$

Таким образом, Somers ’ D равно

${\displaystyle D_{XY}={\frac {69-21}{69+21+50}}\approx 0.34.}$

Рекомендации

1. Сомерс, Р. Х. (1962). «Новая асимметричная мера ассоциации для порядковых переменных». Американский социологический обзор. 27 (6). Дои:10.2307/2090408. JSTOR  2090408.
2. Ньюсон, Роджер (2002). "Параметры" непараметрической "статистики: тау Кендалла, Сомерс D и медианные различия ». Stata Journal. 2 (1): 45–64.
3. О'Коннелл, А. А. (2006). Модели логистической регрессии для переменных порядкового ответа. Публикации SAGE.