Преобразования синуса и косинуса - Sine and cosine transforms

В математика, Фурье преобразования синуса и косинуса формы Интегральное преобразование Фурье которые не используют сложные числа. Это формы, которые изначально использовались Жозеф Фурье и по-прежнему предпочтительны в некоторых приложениях, таких как обработка сигналов или же статистика.^[1]

Определение

В Преобразование синуса Фурье из  ж (т), иногда обозначается либо ${\displaystyle {\hat {f}}^{s}}$ или же ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}(f)}$, является

${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\nu )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt.}$

Если т значит время, тогда ν - частота в циклах в единицу времени, но абстрактно они могут быть любой парой переменных, которые двойственны друг другу.

Это преобразование обязательно нечетная функция частоты, т.е. для всех ν:

${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(-\nu )=-{\hat {f}}^{s}(\nu ).}$

Числовые факторы в Преобразования Фурье однозначно определяются только своим продуктом. Здесь, чтобы формула обращения Фурье не имела числового множителя, множитель 2 появляется, потому что синусоидальная функция имеет L² норма ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.}$

В Косинусное преобразование Фурье из  ж (т), иногда обозначается либо ${\displaystyle {\hat {f}}^{c}}$ или же ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}(f)}$, является

${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\nu )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt.}$

Это обязательно даже функция частоты, т.е. для всех ν:

${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\nu )={\hat {f}}^{c}(-\nu ).}$

Некоторые авторы^[2] определить только косинусное преобразование для четные функции из т, и в этом случае его синусоидальное преобразование равно нулю. Поскольку косинус также четный, можно использовать более простую формулу:

${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\nu )=2\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt.}$

Аналогично, если  ж  является нечетная функция, то косинусное преобразование равно нулю, а синусоидальное преобразование можно упростить до

${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\nu )=2\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt.}$

Другие авторы также определяют косинусное преобразование как^[3]

${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\nu )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt.}$

и синус как

${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\nu )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt.}$

Обращение Фурье

Исходная функция  ж  можно восстановить из его преобразования при обычных предположениях, что  ж  и оба его преобразования должны быть абсолютно интегрируемыми. Подробнее о различных гипотезах см. Теорема обращения Фурье.

Формула обращения:^[4]

${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\nu )\cos(2\pi \nu t)\,d\nu +\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\nu )\sin(2\pi \nu t)\,d\nu ,}$

которое имеет то преимущество, что все количества реальны. Используя формулу сложения для косинус, это можно переписать как

${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos(2\pi \nu (x-t))\,dx\,d\nu .}$

Если исходная функция  ж  является даже функция, то преобразование синуса равно нулю; если  ж  является нечетная функция, то косинус-преобразование равно нулю. В любом случае формула обращения упрощается.

Связь с комплексными показателями

Форма преобразование Фурье чаще используется сегодня

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\nu )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos(2\pi \nu t)-i\,\sin(2\pi \nu t))\,dt&&{\text{Euler's Formula}}\\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt\right)-i\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt\right)\\&={\hat {f}}^{c}(\nu )-i{\hat {f}}^{s}(\nu )\end{aligned}}}$

Числовая оценка

Использование стандартных методов численной оценки интегралов Фурье, таких как квадратурная формула Гаусса или тангенса угла зрения, может привести к совершенно неверным результатам, поскольку квадратурная сумма (для большинства представляющих интерес интегрантов) очень плохо обусловлена. требуется структура колебания, примером которой является метод Оуры для интегралов Фурье^[5] Этот метод пытается оценить подынтегральную функцию в местах, которые асимптотически приближаются к нулям колебания (синус или косинус), быстро уменьшая величину суммируемых положительных и отрицательных членов.

Смотрите также

• Дискретное косинусное преобразование
• Дискретное синусоидальное преобразование

Рекомендации

• Уиттакер, Эдмунд и Джеймс Уотсон, Курс современного анализа, Четвертое издание, Cambridge Univ. Press, 1927, с. 189, 211

1. «Основные моменты истории преобразования Фурье». pulse.embs.org. Получено 2018-10-08.
2. Мэри Л. Боас, Математические методы в физических науках, 2-е изд., John Wiley & Sons Inc., 1983. ISBN  0-471-04409-1
3. «Преобразование Фурье, косинусное и синусоидальное преобразование». cnyack.homestead.com. Получено 2018-10-08.
4. Пуанкаре, Анри (1895). Аналитическая теория пропаганды шалера. Париж: Ж. Карре. С. 108 и далее.
5. Такуя Оура, Масатаке Мори, Робастная двойная экспоненциальная формула для интегралов типа Фурье, Журнал вычислительной и прикладной математики 112.1-2 (1999): 229-241.