Отдельные наборы - Separated sets

В топология и смежные отрасли математика, отдельные наборы пары подмножества данного топологическое пространство которые связаны друг с другом определенным образом: грубо говоря, не пересекаются и не соприкасаются. Представление о том, когда два набора разделены или нет, важно как для понятия связанные пространства (и их связанных компонентов), а также к аксиомы разделения для топологических пространств.

Раздельные наборы не следует путать с разделенные пробелы (определены ниже), которые в некоторой степени связаны, но отличаются друг от друга. Разделимые пространства опять же совершенно другое топологическое понятие.

Определения

Существуют различные способы, которыми два подмножества топологического пространства Икс можно считать разделенными.

А и B находятся непересекающийся если их пересечение это пустой набор. Это свойство не имеет ничего общего с топологией как таковой, а только теория множеств. Он включен сюда, потому что он самый слабый в последовательности различных понятий. Дополнительные сведения о дизъюнктности в целом см. Непересекающиеся множества.
А и B находятся отделенный в Икс если каждый не пересекается с другим закрытие. Сами замыкания не обязательно должны быть отделены друг от друга; например, интервалы [0,1) и (1,2] разделены реальная линия р, хотя точка 1 принадлежит обоим их замыканиям. Более общий пример: в любом метрическое пространство, два открытые шары B_р(Икс₁) = {y: d(Икс₁, у) <р} и B_s(Икс₂) = {y: d(Икс₂, у) <s} разделяются всякий раз, когда d(Икс₁,Икс₂) ≥ р+s. Обратите внимание, что любые два разделенных набора автоматически не должны пересекаться.
А и B находятся разделены районами если есть окрестности U из А и V из B такой, что U и V не пересекаются. (Иногда вы увидите требование, чтобы U и V быть открыто окрестностей, но в конечном итоге это не имеет значения). А = [0,1) и B = (1,2], вы можете взять U = (-1,1) и V = (1,3). Обратите внимание, что если любые два набора разделены окрестностями, то, безусловно, они разделены. Если А и B являются открытыми и непересекающимися, то их необходимо разделять окрестностями; просто возьми U=А и V=B. По этой причине разделенность часто используется с закрытыми множествами (как в аксиома нормального разделения ).
А и B находятся разделены закрытыми кварталами если есть закрыто окрестности U из А и закрытый район V из B такой, что U и V не пересекаются. Наши примеры, [0,1) и (1,2], являются не разделены закрытыми кварталами. Вы можете сделать либо U или V закрыты, включив в него точку 1, но вы не можете сделать их закрытыми, сохраняя их не пересекающимися. Обратите внимание, что если любые два набора разделены замкнутыми окрестностями, то, безусловно, они разделены окрестностями.
А и B находятся разделены функцией если существует непрерывная функция ж из космоса Икс к реальной линии р такой, что ж(А) = {0} и ж(B) = {1}. (Иногда вы увидите единичный интервал [0,1] используется вместо р в этом определении, но это не имеет значения.) В нашем примере [0,1) и (1,2] не разделены функцией, потому что нет возможности непрерывно определять ж в точке 1. Обратите внимание, что если любые два множества разделены функцией, то они также разделены замкнутыми окрестностями; окрестности могут быть заданы в терминах прообраз из ж в качестве U := ж⁻¹[-е,е] и V := ж⁻¹[1-е,1+е], так долго как е это положительное действительное число менее 1/2.
А и B находятся точно разделены функцией если существует непрерывная функция ж из Икс к р такой, что ж⁻¹(0) = А и ж⁻¹(1) = B. (Опять же, вы также можете увидеть единичный интервал вместо р, и снова это не имеет значения.) Обратите внимание, что если любые два набора точно разделены функцией, то, безусловно, они разделены функцией. Поскольку {0} и {1} закрыты в р, только закрытые множества могут быть точно разделены функцией, но тот факт, что два набора замкнуты и разделены функцией, не означает, что они автоматически точно разделяются функцией (даже другой функцией).

Отношение к аксиомам разделения и разделенным пространствам

В аксиомы разделения представляют собой различные условия, которые иногда накладываются на топологические пространства, многие из которых могут быть описаны в терминах различных типов разделенных множеств. В качестве примера определим T₂ аксиома, которая является условием, наложенным на разделенные пространства, а именно, топологическое пространство отделенный если, учитывая любые два отчетливый точки Икс и у, синглтон устанавливает {Икс} и {у} разделены окрестностями.

Разделенные пространства еще называют Хаусдорфовы пространства или Т₂ пробелыДальнейшее обсуждение разделенных пробелов можно найти в статье Пространство Хаусдорфа.Общее обсуждение различных аксиом разделения находится в статье. Аксиома разделения.

Отношение к связанным пространствам

Учитывая топологическое пространство Икс, иногда полезно подумать, возможно ли это для подмножества А быть отделенным от своего дополнять Это, конечно, верно, если А либо пустое множество, либо все пространство Икс, но могут быть и другие возможности. Топологическое пространство Икс является связаны если это единственные две возможности. И наоборот, если непустое подмножество А отделен от своего собственного дополнения, и если единственный подмножество из А чтобы поделиться этим свойством - пустой набор, тогда А является компонент с открытой связью из Икс. (В вырожденном случае, когда Икс сам по себе пустой набор ${ displaystyle emptyset}$ власти расходятся во мнениях о том, ${ displaystyle emptyset}$ связано и ли ${ displaystyle emptyset}$ является компонентом с открытой связью.)

Подробнее о связанных пространствах см. Подключенное пространство.

Отношение к топологически различимым точкам

Учитывая топологическое пространство Икс, две точки Икс и у находятся топологически различимый если существует открытый набор одна точка принадлежит, а другая - нет. Икс и у топологически различимы, то одиночные наборы {Икс} и {у} должны быть непересекающимися. С другой стороны, если синглтоны {Икс} и {у} разделены, то точки Икс и у должны быть топологически различимы. Таким образом, для одиночных объектов топологическая различимость является условием между дизъюнктностью и разделенностью.

Подробнее о топологически различимых точках см. Топологическая различимость.

Источники

Стивен Уиллард, Общая топология, Addison-Wesley, 1970. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Дуврское издание).