Скотт преемственность - Scott continuity

В математика, учитывая два частично упорядоченные наборы п и Q, а функция ж: п → Q между ними Скотт-непрерывный (назван в честь математика Дана Скотт ) если оно сохраняет все направленная супрема. То есть на каждый направленное подмножество D из п с супремум в п, это изображение имеет супремум в Q, и этот супремум является изображением супремума D, т.е. , куда направленное соединение.[1] Когда является набором значений истинности, т.е. Пространство Серпинского, то непрерывные по Скотту функции характеристические функции, и, следовательно, пространство Серпинского - это классификация топосов для открытых наборов.[2]

Подмножество О частично упорядоченного набора п называется Скотт-опен если это верхний комплект и если это недоступен для направленных объединений, т.е. если все направленные множества D с супремумом в О иметь непустой пересечение с О. Открытые по Скотту подмножества частично упорядоченного множества п сформировать топология на п, то Топология Скотта. Функция между частично упорядоченными множествами является непрерывной по Скотту тогда и только тогда, когда она непрерывный относительно топологии Скотта.[1]

Топология Скотта была впервые определена Даной Скотт для полные решетки и позже определен для произвольных частично упорядоченных множеств.[3]

Непрерывные по Скотту функции обнаруживаются при изучении моделей для лямбда-исчисления[3] и денотационная семантика компьютерных программ.

Характеристики

Непрерывная по Скотту функция всегда монотонный.

Подмножество частично упорядоченного набора закрыто относительно топологии Скотта, индуцированной частичным порядком тогда и только тогда, когда это нижний набор и замкнута относительно супремумов направленных подмножеств.[4]

А направленный полный частичный заказ (dcpo) с топологией Скотта всегда Колмогоровское пространство (т.е. удовлетворяет Т0 аксиома разделения ).[4] Однако DCP с топологией Скотта - это Пространство Хаусдорфа тогда и только тогда, когда порядок тривиален.[4] Открытые множества Скотта образуют полная решетка по заказу включение.[5]

Для любого пространства Колмогорова топология индуцирует отношение порядка на этом пространстве, порядок специализации: Икс ≤ у если и только если каждый открытый район из Икс также открытая окрестность у. Отношение порядка DCPO D может быть восстановлен из открытых множеств Скотта как порядок специализации, индуцированный топологией Скотта. Однако DCPO, оснащенный топологией Скотта, не обязательно трезвый: порядок специализации, индуцированный топологией трезвого пространства, превращает это пространство в dcpo, но топология Скотта, полученная из этого порядка, более тонкая, чем исходная топология.[4]

Примеры

Открытые множества в данном топологическом пространстве, когда они упорядочены включение сформировать решетка на котором может быть определена топология Скотта. Подмножество Икс топологического пространства Т является компактный по топологии на Т (в том смысле, что каждый открытая крышка из Икс содержит конечное дополнительное покрытие из Икс) тогда и только тогда, когда множество открытые кварталы из Икс открыта относительно топологии Скотта.[5]

За CPO, то декартова закрытая категория из dcpo, два особенно примечательных примера непрерывных по Скотту функций: карри и подать заявление.[6]

Нуэль Белнап использовал преемственность Скотта для расширения логические связки к четырехзначная логика.[7]

Смотрите также

Сноски

  1. ^ а б Викерс, Стивен (1989). Топология через логику. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-36062-3.
  2. ^ Топология Скотта в nLab
  3. ^ а б Скотт, Дана (1972). «Непрерывные решетки». В Ловер, Билл (ред.). Топосы, алгебраическая геометрия и логика. Конспект лекций по математике. 274. Springer-Verlag.
  4. ^ а б c d Абрамский, С .; Юнг, А. (1994). «Теория предметной области» (PDF). У Абрамского, С .; Gabbay, D.M .; Майбаум, Т.С.Э. (ред.). Справочник по логике в компьютерных науках. Vol. III. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-853762-5.
  5. ^ а б Бауэр, Андрей и Тейлор, Пол (2009). "Реальные Дедекинда в абстрактной каменной двойственности". Математические структуры в компьютерных науках. 19 (4): 757–838. CiteSeerX  10.1.1.424.6069. Дои:10.1017 / S0960129509007695. Получено 8 октября, 2010.
  6. ^ Барендрегт, Х. (1984). Лямбда-исчисление. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-87508-2. (См. Теоремы 1.2.13, 1.2.14)
  7. ^ Н. Белнап (1975) «Как компьютеры должны думать», стр. 30–56 в Современные аспекты философии, Гилберт Райл редактор, Ориэл Пресс ISBN  0-85362-161-6

Рекомендации