Теорема Шлессингера - Schlessingers theorem

В алгебре Теорема Шлезингера это теорема в теория деформации представлен Schlessinger (1968 ), что дает условия для функтор из артистический местные кольца быть про-представимым, уточняя более раннюю теорему Гротендик.

Определения

Λ - полная Нётерян местное кольцо с поле вычетов k, и C это категория локальных артиновых Λ-алгебр (имея в виду, в частности, что как модули над Λ они конечно порожденный и артинов) с полем вычетов k.

А небольшое расширение в C это морфизм Y→Z в C который сюръективен с ядром 1-мерного векторное пространство над k.

Функтор называется представимым, если он имеет вид час_Икс куда час_Икс(Y) = hom (Икс,Y) для некоторых Икс, и называется про-представимым, если он имеет вид Y→ lim hom (Икс_я,Y) для отфильтрованного прямого предела выше я в некотором отфильтрованном упорядоченном наборе.

Морфизм функторов F→грамм из C наборов называется гладкий если когда-нибудь Y→Z является эпиморфизмом C, карта из F(Y) к F(Z)×_{грамм(Z)}грамм(Y) сюръективно. Это определение тесно связано с понятием формально гладкий морфизм схем. Если, кроме того, отображение между касательными пространствами F и грамм является изоморфизмом, то F называется корпус из грамм.

Теорема Гротендика

Гротендик (1960, предложение 3.1) показал, что функтор из категории C из Артиновы алгебры to множеств про-представимо тогда и только тогда, когда он сохраняет все конечные пределы. Это условие эквивалентно запросу, что функтор сохраняет откаты и конечный объект. На самом деле теорема Гротендика применима не только к категории C артиновых алгебр, но к любой категории с конечными пределами, объекты которой артиновы.

Переходя к проективному пределу про-представимого функтора в более широкой категории линейно топологизированных локальных колец, можно получить полное линейно топологизированное локальное кольцо, представляющее функтор.

Теорема Шлезингера о представлении

Одна из трудностей при применении теоремы Гротендика состоит в том, что бывает трудно проверить, сохраняет ли функтор все откаты. Шлезингер показал, что достаточно проверить, что функтор сохраняет обратные вызовы специального вида, который зачастую легче проверить. Теорема Шлезингера также дает условия, при которых функтор имеет оболочку, даже если она не представима.

Теорема Шессингера дает условия для многозначного функтора F на C представима полной локальной Λ-алгеброй р с максимальным идеалом м такой, что р/м^п в C для всех п.

Теорема Шлезингера утверждает, что функтор из C установить с F(k) 1-элементное множество может быть представлено полной нётеровой локальной алгеброй, если оно имеет следующие свойства, и имеет оболочку, если оно имеет первые три свойства:

H1: Карта F(Y×_ИксZ)→F(Y)×_F(Икс)F(Z) сюръективен всякий раз, когда Z→Икс это небольшое расширение в C и Y→Икс какой-то морфизм в C.
H2: отображение в H1 является биекцией всякий раз, когда Z→Икс это небольшое расширение k[Икс]/(Икс²)→k.
H3: касательное пространство F - конечномерное векторное пространство над k.
H4: отображение в H1 является биекцией всякий раз, когда Y=Z это небольшое продолжение Икс и карты из Y и Z к Икс одинаковые.

Теорема Шлессингера - Schlessingers theorem

Содержание

Определения

Теорема Гротендика

Теорема Шлезингера о представлении

Смотрите также

Рекомендации