Критерий Артинса - Artins criterion

В математике Критерии Артина^[1][2][3][4] представляют собой набор связанных необходимые и достаточные условия на функторах деформации, доказывающих их представимость в виде Алгебраические пространства^[5] или как Алгебраические стеки. В частности, эти условия используются при построении набор модулей эллиптических кривых^[6] и строительство набор модулей заостренных кривых.^[7]

Обозначения и технические примечания

В этой статье пусть ${\displaystyle S}$ быть схемой конечного типа над полем ${\displaystyle k}$ или отличный видеорегистратор. ${\displaystyle p:F\to (Sch/S)}$ будет категория, расслоенная в группоидах, ${\displaystyle F(X)}$ будет лежать группоид ${\displaystyle X\to S}$.

Стек ${\displaystyle F}$ называется ограничение сохранения если он совместим с отфильтрованными прямыми ограничениями в ${\displaystyle Sch/S}$, то есть с учетом фильтрованной системы ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$ есть эквивалентность категорий

${\displaystyle \lim _{\rightarrow }F(X_{i})\to F(\lim _{\rightarrow }X_{i})}$

Элемент ${\displaystyle x\in F(X)}$ называется алгебраический элемент если это генселизация ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$-алгебра конечного типа.

Стек с сохранением лимита ${\displaystyle F}$ над ${\displaystyle Sch/S}$ называется алгебраический стек если

1. Для любой пары элементов ${\displaystyle x\in F(X),y\in F(Y)}$ волокнистый продукт ${\displaystyle X\times _{F}Y}$ представлен как алгебраическое пространство
2. Есть схема ${\displaystyle X\to S}$ локально конечного типа, а элемент ${\displaystyle x\in F(X)}$ которая является гладкой и сюръективной такой, что для любого ${\displaystyle y\in F(Y)}$ индуцированная карта ${\displaystyle X\times _{F}Y\to Y}$ гладко и сюръективно.

Смотрите также

• Аппроксимационная теорема Артина
• Теорема Шлезингера

Рекомендации

1. Артин, М. (сентябрь 1974 г.). «Версальные деформации и алгебраические стеки». Inventiones Mathematicae. 27 (3): 165–189. Дои:10.1007 / bf01390174. ISSN  0020-9910. S2CID  122887093.
2. Артин, М. (2015-12-31), "Алгебраизация формальных модулей: I", Глобальный анализ: статьи в честь К. Кодаира (PMS-29), Princeton: Princeton University Press, стр. 21–72, Дои:10.1515/9781400871230-003, ISBN  978-1-4008-7123-0
3. Артин, М. (январь 1970 г.). «Алгебраизация формальных модулей: II. Существование модификаций». Анналы математики. 91 (1): 88–135. Дои:10.2307/1970602. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970602.
4. Артин, М. (январь 1969 г.). «Алгебраическая аппроксимация структур над полными локальными кольцами». Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 36 (1): 23–58. Дои:10.1007 / bf02684596. ISSN  0073-8301. S2CID  4617543.
5. Холл, Джек; Рид, Дэвид (2019). «Пересмотр критериев Артина для алгебраичности». Алгебра и теория чисел. 13 (4): 749–796. arXiv:1306.4599. Дои:10.2140 / ant.2019.13.749. S2CID  119597571.
6. Deligne, P .; Рапопорт, М. (1973), Схемы модулей эллиптических курбов, Конспект лекций по математике, 349, Springer Berlin Heidelberg, стр. 143–316, Дои:10.1007 / bfb0066716, ISBN  978-3-540-06558-6
7. Кнудсен, Финн Ф. (1983-12-01). "Проективность пространства модулей устойчивых кривых, II: Стеки $ M_ {g, n} $". Mathematica Scandinavica. 52: 161–199. Дои:10.7146 / math.scand.a-12001. ISSN  1903-1807.

• Теория деформации и алгебраические стеки - обзор статей Артина и связанных с ними исследований