Диаграмма сатаке - Satake diagram

в математический исследование Алгебры Ли и Группы Ли, а Диаграмма сатаке является обобщением Диаграмма Дынкина представлен Сатаке (1960, с.109), конфигурации которых классифицируют просто Алгебры Ли над поле из действительные числа. Диаграммы Сатаке, связанные с диаграммой Дынкина, классифицируют реальные формы комплексной алгебры Ли, соответствующей диаграмме Дынкина.

В более общем плане Индекс сисек или же Диаграмма Сатаке – Титса редуктивного алгебраическая группа над полем - это обобщение диаграммы Сатаке на произвольные поля, введенное Сиськи (1966 ), что сводит классификацию редуктивных алгебраических групп к классификации анизотропный редуктивный алгебраические группы.

Диаграммы сатаке - это не то же самое, что Диаграммы Вогана группы Ли, хотя внешне они похожи.

Определение

Диаграмма Сатаке получается из диаграммы Дынкина путем затемнения некоторых вершин и соединения других вершин попарно стрелками по определенным правилам.

Предположим, что грамм - алгебраическая группа, определенная над полем k, например, реалы. Мы позволяем S - максимальный расщепляемый тор в грамм, и возьми Т быть максимальным тором, содержащим S определенное над сепарабельным алгебраическим замыканием K из k. потом грамм(K) имеет диаграмму Дынкина относительно некоторого выбора положительных корней Т. Эта диаграмма Дынкина имеет естественное действие группы Галуа K/k. Также исчезают некоторые простые корни S. В Диаграмма Сатаке – Титса дается диаграммой Дынкина Dвместе с действием группы Галуа, причем простые корни исчезают на S окрашен в черный цвет. В случае, когда k - поле действительных чисел, абсолютная группа Галуа имеет порядок 2, и ее действие на D представлена проведением сопряженных точек диаграммы Дынкина рядом друг с другом, а диаграмма Сатаке – Титса называется диаграммой Сатаке.

Примеры

Компактные алгебры Ли соответствуют диаграмме Сатаке со всеми черными вершинами.
Расщепленные алгебры Ли соответствуют диаграмме Сатаке только с белыми (т. е. не черными) и непарными вершинами.
Таблицу можно найти по адресу (Онищик и Винберг 1994, Таблица 4, стр. 229–230 ).

Различия между диаграммами Сатаке и Вогана

И Сатаке, и Диаграммы Вогана используются для классификации полупростых групп или алгебр Ли (или алгебраических групп) над вещественными числами, и обе состоят из диаграмм Дынкина, обогащенных черным подмножеством узлов и соединением некоторых пар вершин стрелками. Диаграммы Сатаке, однако, могут быть обобщены на любую область (см. Выше) и подпадают под общую парадигму Когомологии Галуа, тогда как диаграммы Вогана определяются конкретно над реалами. Вообще говоря, структура реальной полупростой алгебры Ли более прозрачным образом закодирована в ее диаграмме Сатаке, но диаграммы Вогана проще классифицировать.

Существенное отличие состоит в том, что диаграмма Сатаке вещественной полупростой алгебры Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ с Инволюция Картана θ и связанная пара Картана ${displaystyle {mathfrak {g}} = {mathfrak {k}} oplus {mathfrak {p}}})$ (собственные подпространства +1 и −1 θ) определяется исходя из максимально некомпактной θ-стабильный Подалгебра Картана ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ , то есть тот, для которого ${displaystyle heta ({mathfrak {h}}) = {mathfrak {h}}}$ и ${displaystyle {mathfrak {h}} cap {mathfrak {k}}}$ как можно меньше (в презентации выше ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ появляется как алгебра Ли максимального расщепляемого тора S), тогда как диаграммы Вогана определяются, начиная с максимально компактного θ-стабильная подалгебра Картана, т. е. та, для которой ${displaystyle heta ({mathfrak {h}}) = {mathfrak {h}}}$ и ${displaystyle {mathfrak {h}} cap {mathfrak {k}}}$ как можно больше.

Неукрашенная диаграмма Дынкина (то есть, только с белыми узлами и без стрелок), при интерпретации как диаграмма Сатаке, представляет разделенную действительную форму алгебры Ли, тогда как она представляет собой компактную форму, когда интерпретируется как диаграмма Вогана.

Смотрите также

Относительная корневая система

Диаграмма сатаке - Satake diagram

Содержание

Определение

Примеры

Различия между диаграммами Сатаке и Вогана

Смотрите также

Рекомендации