Ритз строительство - Rytzs construction

Строительство Ритца: начало - конец

В Конструкция оси Ритца это основной метод начертательная геометрия найти топоры, большая полуось и малая полуось и вершины эллипс, начиная с двух сопряженные полудиаметры. Если центр и полуось эллипса определены, эллипс можно нарисовать с помощью эллипсографа или вручную (см. эллипс ).

Конструкция Ритца - это классическая конструкция из Евклидова геометрия, в котором только компас и линейка разрешены в качестве вспомогательных средств. Дизайн назван в честь изобретателя. Дэвид Ритц Бругга, 1801–1868 гг.

Сопряженные диаметры появляются всегда, если окружность или эллипс проецируется параллельно (лучи параллельны) как изображения ортогональных диаметров окружности (см. Вторую диаграмму) или как изображения осей эллипса. Существенное свойство двух сопряженных диаметров ${\displaystyle d_{1},\;d_{2}}$ составляет: касательные в точках эллипса одного диаметра параллельны второму диаметру (см. вторую диаграмму).

Куб с кругами: военная проекция

Конструкция Ритца за 6 шагов.
Дано: центр C и два сопрягать половинные диаметры CP, CQ эллипса.
искал: полуоси и вершины эллипса.

Постановка проблемы и решение

Параллельная проекция (косая или ортогональная) окружности, которая в общем случае является эллипсом (частный случай отрезка прямой как изображения опущен). Фундаментальная задача начертательной геометрии - нарисовать такое изображение круга. На диаграмме показан военная проекция куба с 3 кругами на 3-х гранях куба. Плоскость изображения для военной проекции - горизонтальная. Это означает, что верхний круг имеет свою истинную форму (как круг). Изображения окружностей на двух других гранях, очевидно, представляют собой эллипсы с неизвестными осями. Но в любом случае распознаются изображения двух ортогональных диаметров окружностей. Эти диаметры эллипсов больше не ортогональны, но как изображения ортогональных диаметров круга они сопрягать (касательные в конечных точках одного диаметра параллельны другому диаметру!). Это стандартная ситуация в начертательной геометрии:

• Из эллипса в центр ${\displaystyle C}$ и два очка ${\displaystyle P,Q}$ на два сопряженных диаметра.
• Задача: найти оси и полуоси эллипса.

этапы строительства

(1) точка поворота ${\displaystyle P}$ вокруг ${\displaystyle C}$ на 90 °.
(2) Определите центр ${\displaystyle D}$ линейного сегмента ${\displaystyle {\overline {P'Q}}}$.
(3) Проведите линию ${\displaystyle P'Q}$ и круг с центром ${\displaystyle D}$ через ${\displaystyle C}$. Пересеките круг и линию. Точки пересечения ${\displaystyle A,B}$.
(4) Линии ${\displaystyle CA}$ и ${\displaystyle CB}$ являются топоры эллипса.
(5) Отрезок ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ можно рассматривать как полоску бумаги длиной ${\displaystyle a+b}$ (видеть эллипс ) генерирующая точка ${\displaystyle Q}$. Следовательно ${\displaystyle a=|AQ|}$ и ${\displaystyle b=|BQ|}$ являются полуоси. (Если ${\displaystyle a>b}$ тогда ${\displaystyle a}$ это полу-основной ось.)
(6) Вершины и совпадающие вершины известны, и эллипс можно нарисовать одним из методы рисования.

Если выполнить оставили поворот точки ${\displaystyle P}$, то конфигурация показывает 2. Метод бумажной ленты (см. вторую диаграмму в следующем разделе) и ${\displaystyle a=|AQ|}$ и ${\displaystyle b=|BQ|}$ все еще верно.

Доказательство утверждения

Ритц: доказательство

Стандартное доказательство проводится геометрически.^[1] Альтернативное доказательство использует аналитическую геометрию:

Доказательство сделано, если можно показать, что

• точки пересечения ${\displaystyle U,V}$ линии ${\displaystyle P'Q}$ с осями эллипса лежат на окружности через ${\displaystyle C}$ с центром ${\displaystyle D}$, следовательно ${\displaystyle U=A}$ и ${\displaystyle V=B}$, и ${\displaystyle |UQ|=a,\quad |VQ|=b\ .}$

доказательство

(1): Любой эллипс может быть параметрически представлен в подходящей системе координат как

${\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\;b\sin t)^{T}}$.

Две точки ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{1}),\ {\vec {p}}(t_{2})}$ лежат на сопряженных диаметрах, если ${\displaystyle t_{2}-t_{1}=\pm {\tfrac {\pi }{2}}\ .}$ (видеть Эллипс: сопряженные диаметры.)

(2): Пусть будет ${\displaystyle Q=(a\cos t,\;b\sin t)}$ и

${\displaystyle P=(a\cos(t+{\tfrac {\pi }{2}}),\;b\sin(t+{\tfrac {\pi }{2}}))=(-a\sin t,b\cos t)}$

две точки на сопряженных диаметрах.

потом ${\displaystyle P'=(b\cos t,a\sin t)}$ и середина отрезка прямой ${\displaystyle {\overline {P'Q}}}$ является ${\displaystyle D=\left({\tfrac {a+b}{2}}\cos t,{\tfrac {a+b}{2}}\sin t\right)}$.

(3): Линия ${\displaystyle P'Q}$ имеет уравнение ${\displaystyle x\sin t+y\cos t=(a+b)\;\cos t\sin t\ .}$

Точки пересечения этой прямой с осями эллипса равны

${\displaystyle U=\left(0,\;(a+b)\sin t\right)\ ,\quad V=\left((a+b)\cos t,\;0\right)\ .}$

Ритц: оставили поворот точки ${\displaystyle P}$

(4): Из-за ${\displaystyle |UD|=|VD|=|CD|}$ точки ${\displaystyle U,V,C}$ лежать на круге с центром ${\displaystyle D}$ и радиус ${\displaystyle |CD|\ .}$

Следовательно ${\displaystyle A=U,\ B=V\ .}$

(5): ${\displaystyle |UQ|=a,\quad |VQ|=b\ .}$

В доказательстве используется правый поворот. ${\displaystyle P}$, что приводит к диаграмме, показывающей 1. Метод бумажной ленты.

вариации

Если выполнить оставили поворот точки ${\displaystyle P}$, то результаты (4) и (5) все еще действительны, и теперь конфигурация показывает 2. Метод бумажной ленты (см. диаграмму).
Если использовать ${\displaystyle P=(a\cos(t{\color {red}-}{\tfrac {\pi }{2}}),\;b\sin(t{\color {red}-}{\tfrac {\pi }{2}}))=(a\sin t,-b\cos t)}$, то конструкция и доказательство тоже работают.

Компьютерное решение

Чтобы найти вершины эллипса с помощью компьютера,

• координаты трех точек ${\displaystyle C,P,Q}$ должны быть известны.

Идея проста: можно написать программу, которая выполняет шаги, описанные выше. Лучшая идея - использовать представление произвольный эллипс параметрически:

• ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\ .}$

С ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\vec {OC}}}$ (центр) и ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={\vec {CP}},\;{\vec {f}}_{2}={\vec {CQ}}}$ (два сопряженных полудиаметра) можно вычислять точки и нарисовать эллипс.

При необходимости: с ${\displaystyle \cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}}$ каждый получает 4 вершины эллипса: ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi )\ .}$

Рекомендации

• Рудольф Фуке; Конрад Кирх; Heinz Nickel (2007). Darstellende Geometrie für Ingenieure [Начертательная геометрия для инженеров] (на немецком языке) (17-е изд.). Мюнхен: Карл Хансер. п. 183. ISBN  978-3446411432. Получено 2013-05-31.
• Клаус Ульсхёфер; Дитрих Тилп (2010). «5: Эллипс как ортогонально-аффинные Bild des Hauptkreises«[5:« Эллипс как ортогональный аффинный образ единичной окружности »]. Darstellende Geometrie in systematischen Beispielen [Начертательная геометрия в систематическом сборнике примеров]. Übungen für die gymnasiale Oberstufe (на немецком языке) (1-е изд.). Бамберг: К. К. Бюхнер. ISBN  978-3-7661-6092-8.
• Александр Остерманн; Герхард Ваннер (2012). Геометрия по ее истории. Springer Science & Business Media. С. 68–69. ISBN  9783642291630.

1. Ульрих Граф, Мартин Барнер: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Гейдельберг, 1961 г., ISBN  3-494-00488-9, стр.114

внешняя ссылка

• анимация конструкции Ритца