Собственность Ротенберга - Rothenberg propriety

Диатоническая шкала с указанным размером шага Играть в 

В теория диатонических множеств, Собственность Ротенберга - важное понятие, отсутствие противоречия и двусмысленности в общей теории музыкальные гаммы который был представлен Дэвид Ротенберг в основополагающей серии статей 1978 года. Эта концепция была независимо открыта в более ограниченном контексте Джеральд Бальзано, кто назвал это согласованность.

«Ротенберг называет шкалу« строго правильной », если она обладает общим порядком,« правильной », если она допускает двусмысленность, но не противоречит, и« неподходящей », если допускает противоречия».^[1] А шкала строго правильно, если все два шага интервалы больше любого одного шага интервала, все три шага больше любого двухшагового интервала и так далее. Например, с диатоническая шкала, одноступенчатые интервалы - это полутон (1) и тон (2), два шаговых интервала - это минорный (3) и мажорный (4) третий, трехступенчатые интервалы - это четвертый (5) и тритонный (6), четыре шаговых интервала - это пятая (7) и тритоновая (6), пять шаговых интервалов - это минорная (8) и мажорная (9) шестая, а шесть интервалов шагов - минорная (т) и мажорная (е) седьмая. . Так что это не совсем правильно, потому что три интервала шагов и четыре интервала шагов имеют общий размер интервала (тритон), вызывая неоднозначность («два [конкретных] интервала, которые звучат одинаково, отображаются на разные коды [общие интервалы]»^[2]). Такой масштаб просто называют «правильным».

Например, главный пентатоника строго правильно:

1		C	2	D	2	E	3	грамм	2	А	3	C
2		C	4	E	5	А	5	D	5	грамм	5	C
3		C	7	грамм	7	D	7	А	7	E	8	C
4		C	9	А	т	грамм	9	E	т	D	т	C

Правильные, но не строго, пентатонические гаммы:^[2]

• {0,1,4,6,8} (Лидийский аккорд )
• {0,2,4,6,8} (вся шкала тонов )
• {0,1,4,6,9} (гамма-аккорд )
• {0,2,4,6,9} (доминирующий девятый аккорд )
• {0,1,3,6,9} (доминирующий минорный девятый аккорд )

Единственная строго правильная пентатоника:

• {0,2,4,7,9} (мажорная пентатоника)

Подходящими, но не строго, гептатоническими весами являются:^[2]

• {0,1,3,4,6,8,9} (гармоническая минорная гамма )
• {0,1,3,5,6,8, т} (диатоническая шкала )
• {0,1,3,4,6,8, t} (Измененный масштаб )
• {0,1,2,4,6,8, t} (Крупный неаполитанский масштаб )

Приемлемость также может рассматриваться как шкала, стабильность которой = 1, причем стабильность определяется как «отношение количества однозначных неориентированных интервалов ... к общему количеству неориентированных интервалов», и в этом случае диатоническая шкала имеет стабильность. из²⁰⁄₂₁.^[2]

Двенадцать равных гамм строго подходят, как и любая равная темперированная гамма, потому что в ней есть только один размер интервала для каждого количества шагов. Большинство темперированных гамм тоже подходят. Другой пример: отональный гармонический фрагмент⁵⁄₄, ​⁶⁄₄, ​⁷⁄₄, ​⁸⁄₄ строго правильно, с интервалом в один шаг, размер которого варьируется от⁸⁄₇ к⁵⁄₄, двухступенчатые интервалы варьируются от⁴⁄₃ к³⁄₂, трехступенчатые интервалы от⁸⁄₅ к⁷⁄₄.

Ротенберг предполагает, что правильные весы обеспечивают точку или систему отсчета, которая помогает восприятию («стабильный гештальт ") и что противоречия неправильных масштабов требуют дрон или же остинато чтобы предоставить ориентир.^[3]

Хирадзёши шкала на C Играть в 

Пример неправильной шкалы - японская Шкала Хирадзёши.

1		C		2	D	1	E♭	4	грамм	1	А♭	4	C
2		C		3	E♭	5	А♭	6	D	5	грамм	5	C
3		C		7	грамм	7	D	6	А♭	7	E♭	9	C
4		C		8	А♭	е	грамм	8	E♭	е	D	т	C

Шаги в полутонах - 2, 1, 4, 1, 4. Интервалы одиночных шагов варьируются от полутона от G до A.♭ до большой трети от A♭ до C. Двухступенчатые интервалы варьируются от малой трети от C до E♭ и тритон из A♭ к D. Там второстепенная треть, как двухшаговый интервал, меньше, чем большая треть, которая встречается как одноступенчатый интервал, создавая противоречие («противоречие возникает ... когда порядок двух конкретных интервалов противоположен порядку соответствующие им общие интервалы ".^[2]).

Математическое определение приличия

Ротенберг определил приличие в очень общем контексте; однако почти для всех целей достаточно рассмотреть то, что в музыкальном контексте часто называют периодическая шкала, хотя на самом деле они соответствуют тому, что математики называют квазипериодическая функция. Это гаммы, которые повторяются с определенным фиксированным интервалом выше каждой ноты в определенном конечном наборе нот. Фиксированный интервал обычно составляет октава, поэтому гамма состоит из всех нот, принадлежащих конечному числу классы поля. Если β_я обозначает элемент шкалы для каждого целого числа i, тогда β_я+℘ = β_я + Ω, куда Ω обычно октава 1200 центов, хотя это может быть любое фиксированное количество центов; и ℘ - количество элементов шкалы в периоде Ω, который иногда называют размером шкалы.

Для любого я множество всех различий можно рассматривать как я шаги между классом элементов шкалы (я) = {β_п+я − β_п}. Мы можем обычным способом распространить порядок элементов набора на сами наборы, говоря А < B если и только если для каждого а ∈ А и б ∈ B у нас есть а < б. Тогда шкала строго правильно если я < j подразумевает класс (я) <класс (j). это правильный если я ≤ j подразумевает класс (я) ≤ класс (j). Строгое приличие подразумевает приличие, но правильный масштаб не обязательно должен быть строго правильным; примером является диатоническая шкала в равный темперамент, где тритон интервал принадлежит как к классу четвертого (как дополненный четвертый ) и в пятый класс (как уменьшенная пятая ). Строгая приличия - это то же самое, что согласованность в смысле Бальцано.

Общие и специальные интервалы

В интервальный класс class (i) по модулю Ω зависит только от я по модулю ℘, поэтому мы также можем определить версию класса Class (я), за классы поля по модулю Ω, которые называются общие интервалы. Затем называются конкретные классы высоты тона, принадлежащие Классу (i). определенные интервалы. Класс унисон, Class (0), состоит исключительно из кратных Ω и обычно исключается из рассмотрения, так что количество общих интервалов равно - 1. Следовательно, общие интервалы пронумерованы от 1 до - 1, и шкала является правильной, если для любых двух общих интервалов я < j подразумевает класс (я) <класс (j). Если мы представим элементы класса (я) интервалами, сокращенными до интервалов между унисоном и Ω, мы можем упорядочить их, как обычно, и таким образом определить уместность, заявив, что я < j для общих классов влечет за собой Class (я) <Класс (j). Эта процедура, хотя и намного более запутанная, чем определение, как было первоначально заявлено, является тем, как к этому вопросу обычно подходят в теория диатонических множеств.

Рассмотрим диатоническую (мажорную) гамму в обычной 12-тонной равной темперации, которая следует схеме (в полутонах) 2-2-1-2-2-2-1. Никакой интервал в этой шкале, охватывающий любое заданное количество шагов шкалы, не является более узким (состоящим из меньшего количества полутонов), чем интервал, охватывающий меньшее количество шагов шкалы. Например, в этой шкале нельзя найти четверть меньше одной трети: самые маленькие четверти имеют ширину пять полутонов, а самые большие трети - четыре полутона. Поэтому диатоническая гамма правильная. Однако есть интервал, который содержит такое же количество полутонов, что и интервал, охватывающий меньшее количество ступеней шкалы: увеличенная четверть (F G A B) и уменьшенная квинта (B C D E F) имеют ширину шесть полутонов. Следовательно, диатоническая гамма правильная, но не совсем правильная.

С другой стороны, рассмотрим загадочный масштаб, который следует схеме 1-3-2-2-2-1-1. В этой шкале можно найти интервалы, которые уже, чем другие интервалы в шкале, охватывающие меньшее количество шагов шкалы: например, четвертый, построенный на 6-м шаге шкалы, имеет ширину три полутона, а третий, построенный на 2-м шаге шкалы, равен пяти. полутонов в ширину. Поэтому загадочный масштаб неуместен.

Теория диатонической гаммы

Бальцано представил идею попытки охарактеризовать диатоническая шкала с точки зрения приличия. Строго правильных семизначных гамм в 12 равных темпераментов; однако там находятся пять собственных гамм, одна из которых диатоническая. Здесь транспозиция и моды отдельно не учитываются, так что диатоническая шкала охватывает как основная диатоническая шкала и натуральный минор начиная с любого шага. Каждая из этих шкал при правильном написании имеет версию в любом имел ввиду тюнинг, а когда пятая более плоская чем 700 центы, все они становятся строго правильными. В частности, пять из семи строго правильных семизначных гамм в 19 ровный темперамент являются одной из таких шкал. Пять шкал:

• Диатонический: C D E F G A B
• Мелодический / восходящий минор / джаз-минор: C D E♭ F G A B
• Гармонический минор: C D E♭ F G A♭ B
• Гармонический мажор: C D E F G A♭ B
• Майор локрийский: C D E F G♭ А♭ B♭

В любой средней системе с пятыми более плоскими, чем 700 центов, также существует следующая строго правильная шкала: C D♭ E F♭ G A♭ B♭.

Диатонический, восходящий минор, гармонический минор, гармонический мажор и эта последняя безымянная гамма - все содержат полные круги из трех мажорных и четырех минорных третей, расположенных по-разному. В большой локрийской шкале есть круг из четырех мажорных и двух минорных третей, а также уменьшенная треть, который в семеричный означаетодин темперамент приближается к семеричная большая секунда отношения⁸⁄₇. Остальные гаммы - это все гаммы с полным кругом из трех мажорных и четырех минорных третей, которые, поскольку (⁵⁄₄)³ (​⁶⁄₅)⁴ = ​⁸¹⁄₂₀, умеренный до двух октав в meanone, указывает на meanone.

Первые три шкалы имеют принципиальное значение для обычная практика музыка, часто используется гармоническая мажорная гамма, и то, что диатоническая гамма не выделяется по уместности, возможно, менее интересно^{[согласно кому? ]} чем то, что составляет основу всей диатонической практики.

Смотрите также

• Свойство глубокого масштаба

Примечания

Рекомендации

1. Кэри, Норман (1998). Распределение по модулю один и музыкальные гаммы, стр.103, п.19. Университет Рочестера. Кандидат наук. диссертация.
2. Мередит, Д. (2011). «Тональные шкалы и минимальные простые циклы класса высоты звука», Математика и вычисления в музыке: Третья международная конференция, с.174. Springer. ISBN  9783642215896
3. (1986). 1/1: Ежеквартальный журнал сети Just Intonation, том 2, стр.28. Сеть просто интонации.

дальнейшее чтение

• Джеральд Дж. Бальзано, Теоретико-групповое описание систем с 12-кратным и микротональным шагом, Компьютерный музыкальный журнал 4/4 (1980) 66–84
• Джеральд Дж. Бальзано, Набор высоты звука как уровень описания для изучения музыкального восприятия высоты звука, в музыке, разуме и мозге, Манфред Клайнс, изд., Plenum Press, 1982
• Дэвид Ротенберг, Модель восприятия паттернов в музыкальных приложениях.Часть I.Структуры высоты тона как сохраняющие порядок карты, Математическая теория систем 11 (1978) 199–234 [1]