Лемма Рохлина - Rokhlin lemma

В математике Лемма Рохлина, или же Лемма Какутани – Рохлина. важный результат в эргодическая теория. В нем говорится, что апериодический динамическая система с сохранением меры можно разложить на произвольную высокую башню измеримых множеств и остаток сколь угодно малой меры. Это было доказано Владимир Абрамович Рохлин и независимо Шизуо Какутани. Лемма широко используется в эргодической теории, например в Теория Орнштейна и имеет много обобщений.

Терминология

Лемма Рохлина принадлежит к группе математических утверждений, таких как Лемма Цорна в теории множеств и Лемма Шварца в комплексном анализе, которые традиционно называются леммами, несмотря на то, что их роль в соответствующих областях является фундаментальной.

Утверждение леммы

Лемма: Позволять ${\displaystyle T\colon X\to X}$ - обратимое, сохраняющее меру преобразование на стандартное пространство измерения ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ,\mu )}$ с ${\displaystyle \textstyle \mu (X)=1}$. Мы предполагаем ${\displaystyle \textstyle T}$ (измеримо) апериодический, то есть набор периодические точки за ${\displaystyle \textstyle T}$ имеет нулевую меру. Тогда для каждого целого числа ${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$ и для каждого ${\displaystyle \textstyle \varepsilon >0}$, существует измеримое множество ${\displaystyle \textstyle E}$ такие, что множества ${\displaystyle \textstyle E,TE,\ldots ,T^{n-1}E}$ попарно не пересекаются и такие, что ${\displaystyle \textstyle \mu (E\cup TE\cup \cdots \cup T^{n-1}E)>1-\varepsilon }$.

Полезное усиление леммы утверждает, что для конечного измеримого разбиения ${\displaystyle \textstyle P}$, тогда ${\displaystyle \textstyle E}$ можно выбрать так, чтобы ${\displaystyle \textstyle T^{i}E}$ и ${\displaystyle \textstyle P}$ независимы для всех ${\displaystyle \textstyle 0\leq i<n}$.^[1]

Топологический вариант леммы

Позволять ${\displaystyle \textstyle (X,T)}$ быть топологическая динамическая система состоящий из компактного метрического пространства ${\displaystyle \textstyle X}$ и гомеоморфизм ${\displaystyle \textstyle T:X\rightarrow X}$. Топологическая динамическая система ${\displaystyle \textstyle (X,T)}$ называется минимальный если у него нет надлежащего непустого закрытого ${\displaystyle \textstyle T}$-инвариантные подмножества. Он называется (топологически) апериодический если у него нет периодических точек (${\displaystyle T^{k}x=x}$ для некоторых ${\displaystyle x\in X}$ и ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ подразумевает ${\displaystyle k=0}$). Топологическая динамическая система ${\displaystyle \textstyle (Y,S)}$ называется фактор из ${\displaystyle \textstyle (X,T)}$ если существует непрерывное сюръективное отображение ${\displaystyle \textstyle \varphi :X\rightarrow Y}$ который эквивариантный, т.е. ${\displaystyle \textstyle \varphi (Tx)=S\varphi (x)}$ для всех ${\displaystyle \textstyle x\in X}$.

Илон Линденштраус доказал следующую теорему:^[2]

Теорема: Позволять ${\displaystyle \textstyle (X,T)}$ - топологическая динамическая система, имеющая апериодический минимальный фактор. Тогда для целого числа ${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$ есть непрерывная функция ${\displaystyle \textstyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$ так что набор ${\displaystyle \textstyle E=\{x\in X\mid f(Tx)\neq f(x)+1\}}$ удовлетворяет ${\displaystyle \textstyle E,TE,\ldots ,T^{n-1}E}$ попарно не пересекаются.

Гутман доказал следующую теорему:^[3]

Теорема: Позволять ${\displaystyle (X,T)}$ - топологическая динамическая система, имеющая апериодический фактор с небольшая граница собственности. Тогда для каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$, существует непрерывная функция ${\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$ так что набор ${\displaystyle \textstyle E=\{x\in X\mid f(Tx)\neq f(x)+1\}}$ удовлетворяет ${\displaystyle \operatorname {ocap} (\textstyle E)<\varepsilon }$, куда ${\displaystyle \operatorname {ocap} }$ обозначает емкость орбиты.

Дальнейшие обобщения

• Существуют версии для необратимых преобразований, сохраняющих меру.^[4][5]
• Дональд Орнштейн и Бенджамин Вайс доказал версию для свободных действий счетным дискретным послушный группы.^[6]
• Карл Линдерхольм доказал версию для периодических неособых преобразований.^[7]

Рекомендации

1. Шилдс, Пол (1973). Теория сдвигов Бернулли (PDF). Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс и Лондон: Издательство Чикагского университета. С. Глава 3.
2. Линденштраус, Илон (1999-12-01). «Средняя размерность, малые энтропийные факторы и теорема вложения». Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 89 (1): 227–262. Дои:10.1007 / BF02698858. ISSN  0073-8301.
3. Гутман, Йонатан. «Вложение ℤk-действий в кубические сдвиги и ℤk-символические расширения». Эргодическая теория и динамические системы 31.2 (2011): 383-403.
4. "Исаак Корнфельд. ​​Некоторые старые и новые башни Рохлина. Современная математика% 2C 356% 3A145% 2C 2004. - Google Scholar". scholar.google.co.il. Получено 2015-09-21.
5. Авила, Артур; Кандела, Пабло (2016). «Башни коммутирующих эндоморфизмов и комбинаторные приложения». Annales de l'Institut Fourier (Гренобль). 66 (4): 1529–1544. Дои:10.5802 / aif.3042.
6. Орнштейн, Дональд С.; Вайс, Бенджамин (1987-12-01). «Теоремы об энтропии и изоморфизме действий аменабельных групп». Журнал д'анализа математика. 48 (1): 1–141. Дои:10.1007 / BF02790325. ISSN  0021-7670.
7. Ионеску Тулча, Александра (1965-01-01). «О категории некоторых классов преобразований в эргодической теории». Труды Американского математического общества. 114 (1): 261–279. Дои:10.2307/1994001. JSTOR  1994001.

Примечания

• Владимир Рохлин. «Общее» преобразование, сохраняющее меру, не смешивает. Доклады Академии Наук СССР, 60: 349–351, 1948.
• Шизуо Какутани. Индуцированные преобразования с сохранением меры. Proc. Imp. Акад. Токио, 19: 635–641, 1943.
• Бенджамин Вайс. О работах В. А. Рохлина по эргодической теории. Эргодическая теория и динамические системы, 9(4):619–627, 1989.
• Исаак Корнфельд. Некоторые старые и новые башни Рохлина. Современная математика, 356: 145, 2004.

Смотрите также

Лемму Рохлина не следует путать с Теорема Рохлина.