Небольшая граница собственности - Small boundary property

В математике небольшая граница собственности является собственностью определенных топологические динамические системы. Это динамический аналог индуктивное определение из Размер покрытия Лебега нуль.

Определение

Рассмотрим категорию топологическая динамическая система (система короче), состоящий из компактного метрического пространства ${\displaystyle X}$ и гомеоморфизм ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$. Множество ${\displaystyle E\subset X}$ называется маленький если он исчезнет емкость орбиты, т.е. ${\displaystyle \operatorname {ocap} (E)=0}$. Это эквивалентно: ${\displaystyle \forall \mu \in M_{T}(X),\ \mu (E)=0}$ где ${\displaystyle M_{T}(X)}$ обозначает набор ${\displaystyle T}$-инвариантные меры на ${\displaystyle X}$.

Система ${\displaystyle (X,T)}$ говорят, что имеет малое граничное свойство (SBP) если ${\displaystyle X}$ имеет основу открытых множеств ${\displaystyle \{O_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ чья границы малы, т.е. ${\displaystyle \operatorname {ocap} (\partial O_{i})=0}$ для всех ${\displaystyle i}$.

Всегда ли можно снизить топологическую энтропию?

Маленькие наборы были представлены Михаил Шуб и Бенджамин Вайс при исследовании вопроса «всегда ли можно понизить топологическую энтропию?» Цитата из их статьи:^[1]

«Что касается энтропии в теории меры, хорошо известно и довольно легко увидеть, что преобразование положительной энтропии всегда имеет факторы меньшей энтропии. Действительно, фактор, порожденный разбиением на два множества с одним из множеств, имеющим очень малую меру, всегда будет иметь малую величину. Наша цель здесь - рассмотреть аналогичный вопрос для топологической энтропии ... Мы исключим тривиальный фактор, где он сводится к одной точке ».

Напомним, что система ${\displaystyle (Y,S)}$ называется фактор из ${\displaystyle (X,T)}$, в качестве альтернативы ${\displaystyle (X,T)}$ называется расширение из ${\displaystyle (Y,S)}$, если существует непрерывное сюръективное отображение ${\displaystyle \varphi :X\rightarrow Y}$ который эквивалентный, т.е. ${\displaystyle \varphi (Tx)=S\varphi (x)}$ для всех ${\displaystyle x\in X}$.

Таким образом, Шуб и Вайс спросили: «Учитывая систему ${\displaystyle (X,T)}$ и ${\displaystyle \varepsilon >0}$, можно ли найти нетривиальный множитель ${\displaystyle (Y,S)}$ так что ${\displaystyle \operatorname {h_{top}} (Y,S)<\varepsilon }$?

Напомним, что система ${\displaystyle (X,T)}$ называется минимальный если у него нет надлежащего непустого закрытого ${\displaystyle T}$-инвариантные подмножества. Это называется бесконечный если ${\displaystyle |X|=\infty }$.

Линденштраус представил SBP и доказал:^[2]

Теорема: Позволять ${\displaystyle (X,T)}$ - расширение бесконечной минимальной системы. Следующие варианты эквивалентны:

1. ${\displaystyle (X,T)}$ обладает свойством малой границы.
2. ${\displaystyle \operatorname {mdim} (X,T)=0}$, где ${\displaystyle \operatorname {mdim} }$ обозначает средний размер.
3. Для каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$, ${\displaystyle x\neq y\in X}$, существует фактор ${\displaystyle \varphi _{xy}:(X,T)\rightarrow (Y_{xy},S)}$ так ${\displaystyle \varphi _{xy}(x)\neq \varphi _{xy}(y)}$ и ${\displaystyle \operatorname {h_{top}} (Y_{xy},S)<\varepsilon }$.
4. ${\displaystyle (X,T)=\varprojlim (X_{i},T_{i})}$ где ${\displaystyle \{(X_{i},T_{i})\}_{i=1}^{\infty }}$ является обратный предел систем с конечным топологическая энтропия ${\displaystyle \operatorname {h_{top}} (X_{i},T_{i})<\infty }$ для всех ${\displaystyle i}$.

Позднее эта теорема была обобщена на контекст нескольких коммутирующих преобразований Гутмана, Линденштрауса и Цукамото.^[3]

Системы без нетривиальных факторов конечной энтропии

Позволять ${\displaystyle X=[0,1]^{\mathbb {Z} }}$ и ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ быть сдвиг гомеоморфизма

${\displaystyle (\ldots ,x_{-2},x_{-1},\mathbf {x_{0}} ,x_{1},x_{2},\ldots )\rightarrow (\ldots ,x_{-1},x_{0},\mathbf {x_{1}} ,x_{2},x_{3},\ldots ).}$

Это Карта Бейкера, сформулированная как двусторонний сдвиг. Можно показать, что ${\displaystyle (X,T)}$ не имеет нетривиальных конечных энтропийных факторов.^[2] Можно также найти минимальные системы с тем же свойством.^[2]

использованная литература

1. Шуб, Майкл и Б. Вайс. «Всегда ли можно понизить топологическую энтропию?». Эргодическая теория и динамические системы 11.3 (1991): 535–546.
2. Линденштраус, Илон (1999-12-01). «Средняя размерность, малые энтропийные факторы и теорема вложения». Публикации Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques. 89 (1): 227–262. Дои:10.1007 / BF02698858. ISSN  0073-8301.
3. Гутман, Йонатан, Илон Линденштраус и Масаки Цукамото. "Средний размер ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{k}}$-действия. »Геометрический и функциональный анализ 26.3 (2016): 778–817.