Классовая аффинная группа - Residue-class-wise affine group

В математика особенно в теория групп, остаточный класс аффинныйгруппы уверены группы перестановок игра актеров на${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (в целые числа ), элементы которого биективный остаточный класс аффинный сопоставления.

Отображение ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} }$ называется остаточный класс аффинныйесли есть ненулевое целое число ${\displaystyle m}$ так что ограничения ${\displaystyle f}$к классы остатков (мод ${\displaystyle m}$) все аффинный. Это означает, что для класса anyresidue ${\displaystyle r(m)\in \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ есть коэффициенты${\displaystyle a_{r(m)},b_{r(m)},c_{r(m)}\in \mathbb {Z} }$так что ограничение картографии ${\displaystyle f}$к набор ${\displaystyle r(m)=\{r+km\mid k\in \mathbb {Z} \}}$ дан кем-то

${\displaystyle f|_{r(m)}:r(m)\rightarrow \mathbb {Z} ,\ n\mapsto {\frac {a_{r(m)}\cdot n+b_{r(m)}}{c_{r(m)}}}}$.

Аффинные группы по вычету счетный, и они доступны вычислительные исследования.Многие из них действуют умножаться транзитивно на ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ или на их подмножествах.

Особенно простой тип аффинных классов остатков перестановки являютсяперестановки классов: данный непересекающийся классы остатков ${\displaystyle r_{1}(m_{1})}$и ${\displaystyle r_{2}(m_{2})}$соответствующие перестановка классов это перестановка ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ который меняет местами ${\displaystyle r_{1}+km_{1}}$ и${\displaystyle r_{2}+km_{2}}$ для каждого ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ и которыйисправления все остальное. Здесь предполагается, что${\displaystyle 0\leq r_{1}<m_{1}}$ и это ${\displaystyle 0\leq r_{2}<m_{2}}$.

Набор всех классовых транспозиций ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ генерирует счетный простая группа который имеет следующие свойства:

• Это не так конечно порожденный.
• Каждый конечная группа, каждый бесплатный продукт конечных групп и каждого свободная группа конечного ранга.
• Класс своего подгруппы закрыт при приеме прямые продукты, принимая венки с конечными группами и при ограниченном сплетении с бесконечными циклическая группа.
• В нем есть конечно порожденные подгруппы, не имеющие конечные презентации.
• Он имеет конечно порожденные подгруппы с алгоритмически неразрешимый проблема членства.
• Имеет бесчисленный ряд простых подгрупп, параметризованный наборами нечетных простые числа.

Несложно обобщить понятие аффинной группы по вычетам на группы, действующие на подходящих кольца Кроме как ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, хотя пока сделано очень мало работы в этом направлении.

См. Также Гипотеза Коллатца, которое является утверждением о сюръективный,но нет инъективный аффинное отображение классов вычетов.

Ссылки и внешние ссылки

• Стефан Коль. Restklassenweise affine Gruppen. Диссертация, Штутгартский университет, 2005. Archivserver der Deutschen Nationalbibliothek OPUS-Datenbank (Университет Штутгарта)
• Стефан Коль. RCWA - Аффинные группы класса остатков. ЗАЗОР упаковка. 2005 г.
• Стефан Коль. Простая группа, порожденная инволюциями, меняющими классы остатков целых чисел. Математика. З. 264 (2010), нет. 4, 927–938. [1]