Теория представлений групп диффеоморфизмов - Representation theory of diffeomorphism groups

В математика, источник теория представлений из группа из диффеоморфизмы из гладкое многообразие M это начальное наблюдение, что (для M связно) эта группа транзитивно действует на M.

История

Обзорная статья 1975 г. Анатолий Вершик, Израиль Гельфанд и М. И. Граев связывает первоначальный интерес к теме с исследованиями в теоретическая физика из локальная алгебра токов, в предыдущие годы. Исследования по конечная конфигурация представления были в бумагах Исмагилов Р.С. (1971), и Кириллов А.А. (1974). Представления, представляющие интерес в физике, описываются как перекрестное произведение C^∞(M) · Diff (M).

Конструкции

Пусть поэтому M быть п-размерный связаны дифференцируемое многообразие, и Икс быть хоть сколько-нибудь. Пусть Diff (M) - сохраняющая ориентацию группа диффеоморфизмов из M (только компонент идентичности сопоставлений гомотопный к тождественному диффеоморфизму, если хотите) и Diff_Икс¹(M) стабилизатор из Икс. Потом, M определяется как однородное пространство

Разница (M) / Diff_Икс¹(M).

Вместо этого с алгебраической точки зрения ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ это алгебра из гладкие функции над M и ${\displaystyle I_{x}(M)}$ это идеальный гладких функций, исчезающих в Икс. Позволять ${\displaystyle I_{x}^{n}(M)}$ - идеал гладких функций, обращающихся в нуль с точностью до n-1 частная производная в Икс. ${\displaystyle I_{x}^{n}(M)}$ инвариантна относительно группы Diff_Икс¹(M) диффеоморфизмов, фиксирующих x. За п > 0 группа Diff_Икс^п(M) определяется как подгруппа разницы_Икс¹(M), который действует как тождество на ${\displaystyle I_{x}(M)/I_{x}^{n}(M)}$. Итак, у нас есть нисходящая цепочка

Разница (M) ⊃ Diff_Икс¹(M) ⊃ ... ⊃ Diff_Икс^п(M) ⊃ ...

Здесь Diff_Икс^п(M) это нормальная подгруппа разницы_Икс¹(M), что означает, что мы можем посмотреть на факторгруппа

Diff_Икс¹(M) / Diff_Икс^п(M).

С помощью гармонический анализ, вещественно- или комплекснозначная функция (с некоторыми достаточно хорошими топологическими свойствами) на группе диффеоморфизмов может быть разложенный в Diff_Икс¹(M) представительных функций над M.

Поставка представительств

Итак, каковы представления Diff_Икс¹(M)? Воспользуемся тем фактом, что если у нас есть групповой гомоморфизм φ:грамм → ЧАС, то если у нас есть ЧАС-представление, можно получить ограниченное грамм-представление. Итак, если у нас есть представитель

Diff_Икс¹(M) / Diff_Икс^п(M),

мы можем получить репутацию Diff_Икс¹(M).

Давайте посмотрим на

Diff_Икс¹(M) / Diff_Икс²(M)

первый. Это изоморфный к общая линейная группа GL⁺(п, р) (и поскольку мы рассматриваем только сохраняющие ориентацию диффеоморфизмы, и поэтому определитель положительный). Какие представители GL⁺(п, р)?

${\displaystyle GL^{+}(n,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{+}\times SL(n,\mathbb {R} )}$.

Мы знаем представителей SL (п, р) просто тензоры над п размеры. Как насчет р⁺ часть? Это соответствует плотность, или другими словами, как тензор изменяется под детерминант из Якобиан диффеоморфизма в Икс. (Думайте об этом как о конформный вес если хотите, за исключением того, что здесь нет конформной структуры). (Между прочим, ничто не мешает нам иметь сложную плотность).

Итак, мы только что открыли тензорные представления (с плотностью) группы диффеоморфизмов.

Давайте посмотрим на

Diff_Икс¹(M) / Diff_Икс^п(M).

Это конечномерная группа. У нас есть цепочка

Diff_Икс¹(M) / Diff_Икс¹(M) ⊂ ... ⊂ Diff_Икс¹(M) / Diff_Икс^п(M) ⊂ ...

Здесь знаки «⊂» действительно следует понимать как означающие инъективный гомоморфизм, но, поскольку он каноничен, мы можем притвориться, что эти фактор-группы вложены одна в другую.

Любой представитель

Diff_Икс¹(M) / Diff_Икс^м(M)

может быть автоматически превращен в репутацию

Diff_Икс¹/ Diff_Икс^п(M)

если п > м. Допустим, у нас есть представитель

Diff_Икс¹/ Diff_Икс^{п + 2}

который не возникает из повторения

Diff_Икс¹/ Diff_Икс^{п + 1}.

Затем мы вызываем пучок волокон с этой репутацией как волокно (т.е. Diff_Икс¹/ Diff_Икс^{п + 2} это структурная группа ) а связка струй порядка п.

Боковое замечание: это действительно метод индуцированные представления с меньшей группой Diff_Икс¹(M), а большая группа - Diff (M).

Переплетающаяся структура

В общем, пространство сечений тензорного и струйного расслоений было бы неприводимым представлением, и мы часто рассматриваем их подпредставление. Мы можем изучить структуру этих повторений, изучив сплетники между ними.

Если слой не является неприводимым представлением Diff_Икс¹(M), то мы можем иметь ненулевой сплетник, поточечно отображающий каждый слой в меньший частное представление. Так же внешняя производная сплетник из пространства дифференциальные формы к другому более высокого порядка. (Других производных нет, потому что связи не инвариантны относительно диффеоморфизмов, хотя они ковариантный.) частная производная не инвариантен относительно диффеоморфизма. Существует производная сплетница, занимающая сечения струйного пучка порядка п на секции реактивного пучка порядка п + 1.