Уравнение Рэлея (гидродинамика) - Rayleighs equation (fluid dynamics)

Пример параллельного сдвигового потока.

В динамика жидкостей, Уравнение Рэлея или же Уравнение устойчивости Рэлея это линейный обыкновенное дифференциальное уравнение изучить гидродинамическая устойчивость параллели, несжимаемый и невязкий сдвиговый поток. Уравнение:^[1]

{ Displaystyle (U-c) ( varphi '' -k ^ {2} varphi) -U '' varphi = 0,}

с ${ Displaystyle U (г)}$ то скорость потока из устойчивый базовый поток, устойчивость которого необходимо изучить, и ${ displaystyle z}$ - направление поперечного течения (т.е. перпендикуляр к направлению потока). Дальше ${ Displaystyle varphi (г)}$ это комплексно оцененный амплитуда из бесконечно малый функция потока возмущения, приложенные к базовому потоку, ${ displaystyle k}$ это волновое число возмущений и ${ displaystyle c}$ это фазовая скорость при котором возмущения распространяются в направлении потока. Штрих обозначает дифференциация относительно ${ displaystyle z.}$

Фон

Уравнение названо в честь Лорд Рэйли, который ввел его в 1880 году.^[2] В Уравнение Орра – Зоммерфельда. - введено позже для исследования устойчивости параллельных вязкий расход - сводится к уравнению Рэлея при нулевой вязкости.^[3]

Уравнение Рэлея вместе с соответствующими граничные условия, чаще всего создает проблема собственных значений. Для заданного (действительного) волнового числа ${ displaystyle k}$ и средняя скорость потока ${ Displaystyle U (г),}$ то собственные значения фазовые скорости ${ displaystyle c,}$ и собственные функции - соответствующие амплитуды функции тока ${ displaystyle varphi (z).}$ В общем случае собственные значения образуют непрерывный спектр. В некоторых случаях дополнительно может быть дискретный спектр пар на комплексно сопряженный ценности ${ displaystyle c.}$ Поскольку волновое число ${ displaystyle k}$ встречается только как квадрат ${ displaystyle k ^ {2}}$ в уравнении Рэлея решение (т.е. ${ Displaystyle varphi (г)}$ и ${ displaystyle c}$ ) для волнового числа ${ displaystyle + k}$ также является решением для волнового числа ${ displaystyle -k.}$ ^[3]

Уравнение Рэлея касается только двумерных возмущений потока. Из Теорема Сквайра Отсюда следует, что двумерные возмущения менее устойчивы, чем трехмерные.

Кельвина узор кошачий глаз линий тока вблизи критического слоя.

Если фазовая скорость с действительным знаком ${ displaystyle c}$ находится между минимумом и максимумом ${ Displaystyle U (г),}$ проблема так называемая критические слои возле ${ Displaystyle г = г _ { mathrm {крит}}}$ куда ${ Displaystyle U (г _ { mathrm {crit}}) = с.}$ На критических слоях уравнение Рэлея принимает вид единственное число. Впервые они были изучены Лорд Кельвин, также в 1880 году.^[4] Его решение вызывает так называемый узор кошачий глаз из рационализирует вблизи критического слоя при наблюдении в точка зрения движение с фазовой скоростью ${ displaystyle c.}$ ^[3]

Вывод

Рассмотрим параллельный сдвиговый поток ${ Displaystyle U (г)}$ в ${ displaystyle x}$ направление, которое меняется только в направлении поперечного потока ${ displaystyle z.}$ ^[1] Устойчивость потока исследуется путем добавления малых возмущений к скорости потока. ${ Displaystyle и (х, г, т)}$ и ${ Displaystyle ш (х, г, т)}$ в ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle z}$ направления соответственно. Для описания течения используется несжимаемая Уравнения Эйлера, которые становятся после линеаризации - с использованием компонентов скорости ${ Displaystyle U (z) + и (х, z, t)}$ и ${ Displaystyle ш (х, г, т):}$

{ displaystyle { begin {align} & partial _ {t} u + U , partial _ {x} u + w , U '= - { frac {1} { rho}} partial _ {x} p, & partial _ {t} w + U , partial _ {x} w = - { frac {1} { rho}} partial _ {z} p qquad { текст {и}} & partial _ {x} u + partial _ {z} w = 0, end {align}}}

с ${ displaystyle partial _ {t}}$ то частная производная оператор по времени, и аналогично ${ displaystyle partial _ {x}}$ и ${ displaystyle partial _ {z}}$ относительно ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle z.}$ Колебания давления ${ Displaystyle р (х, г, т)}$ убедиться, что уравнение неразрывности ${ Displaystyle partial _ {x} и + partial _ {z} ш = 0}$ выполняется. Плотность жидкости обозначается как ${ displaystyle rho}$ и является константой в настоящем анализе. Премьер ${ displaystyle U '}$ обозначает дифференциацию ${ displaystyle U (z)}$ относительно его аргумента ${ displaystyle z.}$

Колебания потока ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle w}$ описываются с помощью функции потока ${ Displaystyle пси (х, г, т),}$ обеспечение выполнения уравнения неразрывности:

{ displaystyle u = + partial _ {z} psi quad { text {and}} quad w = - partial _ {x} psi.}

Принимая ${ displaystyle z}$ - и ${ displaystyle x}$ -производные ${ displaystyle x}$ - и ${ displaystyle z}$ уравнение импульса, а затем вычитая два уравнения, давление ${ displaystyle p}$ можно исключить:

{ displaystyle partial _ {t} left ( partial _ {x} ^ {2} psi + partial _ {z} ^ {2} psi right) + U , partial _ {x} left ( partial _ {x} ^ {2} psi + partial _ {z} ^ {2} psi right) -U '' , partial _ {x} psi = 0,}

что по сути завихренность уравнение переноса, ${ Displaystyle partial _ {x} ^ {2} psi + partial _ {z} ^ {2} psi}$ быть (минус) завихренностью.

Далее рассматриваются синусоидальные колебания:

{ Displaystyle psi (Икс, Z, T) = Re left { varphi (z) , exp (ik (x-ct)) right },}

с ${ Displaystyle varphi (г)}$ комплексная амплитуда колебаний функции тока, а ${ displaystyle i}$ это мнимая единица ( ${ displaystyle i ^ {2} = - 1}$ ) и ${ Displaystyle Re left { cdot right }}$ обозначает действительную часть выражения в скобках. Используя это в уравнении переноса завихренности, получается уравнение Рэлея.

Граничные условия для плоских непроницаемых стенок вытекают из того, что функция тока на них постоянна. Таким образом, у непроницаемых стенок колебания функции тока равны нулю, т.е. ${ displaystyle varphi = 0.}$ Для неограниченных потоков общие граничные условия таковы, что ${ displaystyle lim _ {z to pm infty} varphi (z) = 0.}$

Примечания

^ ^а ^б Крейк (1988), стр. 21–27).
^ Рэлей (1880)
^ ^а ^б ^c Дразин (2002), стр. 138–154).
^ Кельвин (1880)

Уравнение Рэлея (гидродинамика) - Rayleighs equation (fluid dynamics)

Содержание

Фон

Вывод

Примечания

Рекомендации