Количественные модели потенциала действия - Quantitative models of the action potential

В нейрофизиология, несколько математических моделей потенциал действия были разработаны, которые делятся на два основных типа. Первый тип направлен на количественное моделирование экспериментальных данных, то есть точное воспроизведение измерений тока и напряжения. Известный Модель Ходжкина – Хаксли аксона от Лолиго squid служит примером таких моделей.^[1] Хотя качественно модель H-H верна, она не описывает точно каждый тип возбудимой мембраны, поскольку она учитывает только два иона (натрий и калий), каждый из которых имеет только один тип чувствительного к напряжению канала. Однако другие ионы, такие как кальций может быть важным, и существует большое разнообразие каналов для всех ионов.^[2] Например, потенциал сердечного действия иллюстрирует, как потенциалы действия различной формы могут быть созданы на мембранах с чувствительными к напряжению кальциевыми каналами и различными типами натриевых / калиевых каналов. Второй тип математической модели - это упрощение первого типа; цель состоит не в том, чтобы воспроизвести экспериментальные данные, а в том, чтобы качественно понять роль потенциалов действия в нервных цепях. Для этой цели подробные физиологические модели могут быть излишне сложными и могут скрывать «лес за деревьями». В Модель ФитцХью – Нагумо типичен для этого класса, который часто исследуют на предмет поведение вовлечения.^[3] Увлечение обычно наблюдаемый в природе, например при синхронизированном освещении светлячки, который координируется всплеском потенциалов действия;^[4] увлечение также можно наблюдать в отдельных нейронах.^[5] Оба типа моделей можно использовать для понимания поведения малых биологические нейронные сети, такой как генераторы центральных паттернов отвечает за некоторые автоматические рефлекторные действия.^[6] Такие сети могут генерировать сложный временной паттерн потенциалов действия, который используется для координации мышечных сокращений, например, участвующих в дыхании или быстром плавании, чтобы спастись от хищника.^[7]

Модель Ходжкина – Хаксли

Основная статья: Модель Ходжкина – Хаксли

Эквивалентная электрическая схема для модели потенциала действия Ходжкина – Хаксли. я_м и V_м представляют ток через небольшой участок мембраны и напряжение на небольшом участке мембраны соответственно. В C_м представляет собой емкость мембранного участка, тогда как четыре грамм's представляют проводимость четырех типов ионов. Две проводимости слева, для калия (K) и натрия (Na), показаны стрелками, чтобы указать, что они могут изменяться в зависимости от приложенного напряжения, что соответствует чувствительные к напряжению ионные каналы.

В 1952 г. Алан Ллойд Ходжкин и Эндрю Хаксли разработали набор уравнений, чтобы соответствовать их экспериментальным данным фиксации напряжения на аксональной мембране.^[1][8] Модель предполагает, что емкость мембраны C постоянно; таким образом, трансмембранное напряжение V изменяется с общим трансмембранным током я_малыш согласно уравнению

${\displaystyle C{\frac {dV}{dt}}=I_{\mathrm {tot} }=I_{\mathrm {ext} }+I_{\mathrm {Na} }+I_{\mathrm {K} }+I_{\mathrm {L} }}$

куда я_Na, я_K, и я_L токи, передаваемые через местные натриевые каналы, калиевые каналы и каналы «утечки» (всеохватывающее), соответственно. Начальный срок я_доб представляет ток, поступающий из внешних источников, таких как возбуждающие постсинаптические потенциалы от дендритов или электрода ученого.

Модель также предполагает, что данный ионный канал либо полностью открыт, либо закрыт; если закрыто, его проводимость равен нулю, тогда как в открытом состоянии его проводимость - некоторая постоянная величина грамм. Следовательно, чистый ток через ионный канал зависит от двух переменных: вероятности п_{открыто} открытого канала и разницы в напряжении от равновесного напряжения этого иона, V − V_экв. Например, ток через калиевый канал можно записать как

${\displaystyle I_{\mathrm {K} }=g_{\mathrm {K} }\left(V-E_{\mathrm {K} }\right)p_{\mathrm {open,K} }}$

что эквивалентно Закон Ома. По определению нет чистого тока (я_K = 0), когда трансмембранное напряжение равно равновесному напряжению этого иона (когда V = E_K).

Чтобы точно соответствовать своим данным, Ходжкин и Хаксли предположили, что каждый тип ионного канала имеет несколько «ворот», так что канал был открыт только в том случае, если все ворота были открыты, а в противном случае - закрыты. Они также предположили, что вероятность открытия ворот не зависит от открытия других ворот; это предположение было позже подтверждено для ворот инактивации.^[9] Ходжкин и Хаксли смоделировали чувствительный к напряжению калиевый канал как имеющий четыре затвора; позволяя п_п обозначают вероятность того, что один такой вентиль будет открыт, вероятность того, что весь канал будет открыт, является произведением четырех таких вероятностей, т.е. п_{открытый, K} = п⁴. Аналогичным образом была смоделирована вероятность того, что чувствительный к напряжению натриевый канал имеет три одинаковых логических элемента вероятности. м и четвертый вентиль, связанный с инактивацией, вероятности час; таким образом, п_{открытый, Na} = м³час. Предполагается, что вероятности для каждого гейта подчиняются кинетика первого порядка

${\displaystyle {\frac {dm}{dt}}=-{\frac {m-m_{\mathrm {eq} }}{\tau _{m}}}}$

где как равновесное значение м_экв а постоянная времени релаксации τ_м зависят от мгновенного напряжения V через мембрану. Если V изменяется во времени медленнее, чем τ_м, то м вероятность всегда будет примерно равна своему равновесному значению м_экв; однако, если V меняется быстрее, тогда м будет отставать м_экв. Подбирая свои данные фиксации напряжения, Ходжкин и Хаксли смогли смоделировать, как эти равновесные значения и постоянные времени меняются в зависимости от температуры и трансмембранного напряжения.^[1] Формулы сложны и экспоненциально зависят от напряжения и температуры. Например, постоянная времени для вероятности активации натриевого канала час изменяется как 3^{(θ − 6.3) / 10} с температурой Цельсия θ, а с напряжением V в качестве

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{h}}}=0.07e^{-V/20}+{\frac {1}{1+e^{3-V/10}}}.}$

Таким образом, уравнения Ходжкина – Хаксли являются комплексными, нелинейными. обыкновенные дифференциальные уравнения в четыре независимые переменные: трансмембранное напряжение V, а вероятности м, час и п.^[10] Общего решения этих уравнений не найдено. Менее амбициозный, но обычно применимый метод изучения таких нелинейных динамических систем состоит в рассмотрении их поведения в окрестности фиксированная точка.^[11] Этот анализ показывает, что система Ходжкина – Хаксли претерпевает переход от стабильного покоя к разрыв колебания как стимулирующий ток я_доб постепенно увеличивается; Примечательно, что аксон снова становится стабильно неподвижным по мере дальнейшего увеличения стимулирующего тока.^[12] Также было проведено более общее исследование типов качественного поведения аксонов, предсказываемых уравнениями Ходжкина – Хаксли.^[10]

Модель ФитцХью – Нагумо

Основная статья: Модель ФитцХью – Нагумо

Рисунок FHN: Чтобы имитировать потенциал действия, модель ФитцХью – Нагумо и ее родственники используют функцию грамм(V) с отрицательное дифференциальное сопротивление (отрицательный наклон на я против. V участок). Для сравнения, нормальный резистор имел бы положительный наклон, на Закон Ома I = GV, где проводимость грамм является инверсией сопротивление грамм=1/р.

Из-за сложности уравнений Ходжкина – Хаксли были разработаны различные упрощения, которые демонстрируют качественно похожее поведение.^[3][13] В Модель ФитцХью – Нагумо является типичным примером такой упрощенной системы.^[14][15] На основе туннельный диод, модель FHN имеет только две независимые переменные, но демонстрирует поведение устойчивости, подобное полному уравнению Ходжкина – Хаксли.^[16] Уравнения

${\displaystyle C{\frac {dV}{dt}}=I-g(V),}$

${\displaystyle L{\frac {dI}{dt}}=E-V-RI}$

куда г (В) является функцией напряжения V с областью отрицательного наклона в середине, окруженной одним максимумом и одним минимумом (рисунок FHN). Много изученным простым случаем модели ФитцХью – Нагумо является модель Бонхёффера-ван дер Поля, которая описывается уравнениями^[17]

${\displaystyle C{\frac {dV}{dt}}=I-\epsilon \left({\frac {V^{3}}{3}}-V\right),}$

${\displaystyle L{\frac {dI}{dt}}=-V}$

где коэффициент ε предполагается малым. Эти уравнения можно объединить в дифференциальное уравнение второго порядка

${\displaystyle C{\frac {d^{2}V}{dt^{2}}}+\epsilon \left(V^{2}-1\right){\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{L}}=0.}$

Этот ван дер Поль уравнение стимулировало множество исследований в области математики нелинейных динамические системы. Операционный усилитель схемы, реализующие модели потенциала действия FHN и ван дер Поля, были разработаны Кинером.^[18]

Гибрид моделей Ходжкина – Хаксли и ФитцХью – Нагумо был разработан Моррисом и Лекаром в 1981 году и применен к мышца волокно ракушки.^[19] Верная физиологии ракушек, модель Морриса – Лекара заменяет регулируемый по напряжению натриевый ток модели Ходжкина – Хаксли на зависимый от напряжения кальциевый ток. Нет инактивации (нет час переменная), и кальциевый ток мгновенно уравновешивается, так что снова есть только две переменные, зависящие от времени: трансмембранное напряжение V и вероятность калиевых ворот п. Взрыв, унос и другие математические свойства этой модели были подробно изучены.^[20]

Самыми простыми моделями потенциала действия являются модели «промыть и заполнить» (также называемые моделями «интегрировать и запустить»), в которых входной сигнал суммируется (фаза «заполнения») до тех пор, пока не достигнет порога, запускающего импульс и сброс суммирования на ноль (фаза «промывка»).^[3][21][22] Все эти модели способны демонстрировать увлечение, который обычно наблюдаемый в нервной системе.^[3]

Внеклеточные потенциалы и токи

В то время как приведенные выше модели моделируют трансмембранное напряжение и ток на одном участке мембраны, другие математические модели относятся к напряжениям и токам в ионном растворе, окружающем нейрон.^[23] Такие модели полезны при интерпретации данных от внеклеточных электродов, которые были обычным явлением до изобретения стеклянного электрода-пипетки, позволяющего производить внутриклеточную запись.^[24] Внеклеточную среду можно смоделировать как нормальную изотропную ионный раствор; в таких решениях ток следует за электрический полевые линии, согласно континуальной форме Закон Ома

${\displaystyle \mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} }$

куда j и E векторы, представляющие плотность тока и электрическое поле соответственно, и где σ - проводимость. Таким образом, j можно найти из E, который, в свою очередь, можно найти с помощью Уравнения Максвелла. Уравнения Максвелла можно свести к относительно простой задаче электростатика, поскольку концентрации ионов меняются слишком медленно (по сравнению с скорость света ) за магнитные эффекты быть важным. В электрический потенциал φ (Икс) в любой внеклеточной точке Икс можно решить с помощью Личность Грина^[23]

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi \sigma _{\mathrm {outside} }}}\oint _{\mathrm {membrane} }{\frac {\partial }{\partial n}}{\frac {1}{\left|\mathbf {x} -{\boldsymbol {\xi }}\right|}}\left[\sigma _{\mathrm {outside} }\phi _{\mathrm {outside} }({\boldsymbol {\xi }})-\sigma _{\mathrm {inside} }\phi _{\mathrm {inside} }({\boldsymbol {\xi }})\right]dS}$

где интегрирование происходит по всей поверхности мембраны; ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$ позиция на мембране, σ_внутри и φ_внутри - проводимость и потенциал внутри мембраны, а σ_{за пределами} и φ_{за пределами} соответствующие значения сразу за пределами мембраны. Таким образом, при этих значениях σ и φ на мембране внеклеточный потенциал φ (Икс) можно рассчитать для любой позиции Икс; в свою очередь, электрическое поле E и плотность тока j можно рассчитать из этого потенциального поля.^[25]

Смотрите также

• Биологические модели нейронов
• Текущее уравнение GHK
• Модели нейронных вычислений
• Соляная проводимость
• Биоэлектроника
• Теория кабеля

Рекомендации

1. Ходжкин А.Л., Хаксли А.Ф., Кац Б (1952). «Токи, переносимые ионами натрия и калия через мембрану гигантского аксона Лолиго». Журнал физиологии. 116 (4): 424–448. Дои:10.1113 / jphysiol.1952.sp004717. ЧВК  1392213. PMID  14946713.
   Ходжкин А.Л., Хаксли А.Ф. (1952). «Токи, переносимые ионами натрия и калия через мембрану гигантского аксона Лолиго». Журнал физиологии. 116 (4): 449–472. Дои:10.1113 / jphysiol.1952.sp004717. ЧВК  1392213. PMID  14946713.
   Ходжкин А.Л., Хаксли А.Ф. (1952). «Компоненты проводимости мембраны в гигантском аксоне Лолиго». J Physiol. 116 (4): 473–496. Дои:10.1113 / jphysiol.1952.sp004718. ЧВК  1392209. PMID  14946714.
   Ходжкин А.Л., Хаксли А.Ф. (1952). «Двойное влияние мембранного потенциала на проводимость натрия в гигантском аксоне Лолиго». J Physiol. 116 (4): 497–506. Дои:10.1113 / jphysiol.1952.sp004719. ЧВК  1392212. PMID  14946715.
   Ходжкин А.Л., Хаксли А.Ф. (1952). «Количественное описание мембранного тока и его применение к проводимости и возбуждению в нерве». J Physiol. 117 (4): 500–544. Дои:10.1113 / jphysiol.1952.sp004764. ЧВК  1392413. PMID  12991237.
2. Ямада WM, Кох С, Адамс PR (1989). «Множественные каналы и динамика кальция». В К. Кох, Я Сегев (ред.). Методы нейронного моделирования: от синапсов к сетям. Кембридж, Массачусетс: Книга Брэдфорда, MIT Press. С. 97–133. ISBN  978-0-262-11133-1.
3. Хоппенстедт (1986). Введение в математику нейронов. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-31574-6.
4. Hanson, F.E .; Case, J.F .; Buck, E .; Бак, Дж. (1971). "Синхронность и мгновенное вовлечение в светлячок Новой Гвинеи". Наука. 174 (4005): 161–164. Bibcode:1971 г., наука ... 174..161H. Дои:10.1126 / science.174.4005.161. PMID  17742039.
5. Гуттман Р., Фельдман Л., Якобссон Э (1980). «Частотный захват аксона кальмара». J. Membr. Биол. 56 (1): 9–18. Дои:10.1007 / BF01869347. PMID  7441721.
6. Получение ПА (1989). «Реконструкция малых нейронных сетей». В C Koch и я Сегев (ред.). Методы нейронного моделирования: от синапсов к сетям. Кембридж, Массачусетс: Книга Брэдфорда, MIT Press. С. 171–194. ISBN  978-0-262-11133-1.
7. Хупер, Скотт Л. «Генераторы центральных образов». Эмбриональный ELS (1999) http://www.els.net/elsonline/figpage/I0000206.html^{[постоянная мертвая ссылка ]} (2 из 2) [6 февраля 2001 г., 11:42:28] Интернет: доступ 27 ноября 2007 г. [1].
8. Нельсон М.Э., Ринзель Дж. (1994). "Модель Ходжкина – Хаксли" (PDF). В Bower J, Beeman D (ред.). Книга GENESIS: Изучение реалистичных нейронных моделей с помощью общей системы нейронной симуляции. Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 29–49.
9. Армстронг CM, Безанилла Ф, Рохас Э. (1973). «Разрушение инактивации натриевой проводимости в аксонах кальмаров, перфузированных проназой». J. Gen. Physiol. 62 (4): 375–391. Дои:10.1085 / jgp.62.4.375. ЧВК  2226121. PMID  4755846.
   Рохас Э., Руди Б. (1976). «Нарушение инактивации натриевой проводимости специфической протеазой в перфузируемых нервных волокнах от Лолиго". J. Physiol. 262 (2): 501–531. Дои:10.1113 / jphysiol.1976.sp011608. ЧВК  1307656. PMID  994046.
10. Сато С, Фукай Х, Номура Т, Дои С (2005). "Бифуркационный анализ уравнений Ходжкина – Хаксли". В Reeke GN, Poznanski RR, Lindsay KA, Rosenberg JR, Sporns O (ред.). Моделирование в нейронауках: от биологических систем до нейромиметической робототехники (2-е изд.). Бока-Ратон: CRC Press. С. 459–478. ISBN  978-0-415-32868-5.
11. Guckenheimer J, Холмс П. (1986). Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. (2-е издание, переработанное и исправленное ред.). Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 12–16. ISBN  978-0-387-90819-9.
12. Сабах Н.Х., Спанглер Р.А. (1970). «Повторяющийся ответ модели Ходжкина-Хаксли для гигантского аксона кальмара». Журнал теоретической биологии. 29 (2): 155–171. Дои:10.1016/0022-5193(70)90017-2. PMID  5500466.
    Эванс Дж. В. (1972). «Уравнения нервного аксона. I. Линейные приближения». Indiana Univ. Математика. J. 21 (9): 877–885. Дои:10.1512 / iumj.1972.21.21071.
    Эванс Дж. У., Феро Дж. (1977). «Теория локальной устойчивости нервного импульса». Математика. Biosci. 37 (1–2): 23–50. Дои:10.1016/0025-5564(77)90076-1.
13. ФитцХью Р. (1960). "Пороги и плато в уравнениях нервов Ходжкина-Хаксли". J. Gen. Physiol. 43 (5): 867–896. Дои:10.1085 / jgp.43.5.867. ЧВК  2195039. PMID  13823315.
    Кеплер ТБ, Эбботт Л.Ф., Мардер Э. (1992). «Редукция моделей нейронов на основе проводимости». Биологическая кибернетика. 66 (5): 381–387. Дои:10.1007 / BF00197717. PMID  1562643.
14. ФитцХью Р. (1961). «Импульсы и физиологические состояния в теоретических моделях нервной мембраны». Биофизический журнал. 1 (6): 445–466. Bibcode:1961BpJ ..... 1..445F. Дои:10.1016 / S0006-3495 (61) 86902-6. ЧВК  1366333. PMID  19431309.
15. Нагумо Дж., Аримото С., Йошизава С. (1962). «Активная линия передачи импульсов, имитирующая аксон нерва». Труды IRE. 50 (10): 2061–2070. Дои:10.1109 / JRPROC.1962.288235.
16. ФитцХью Р. (1969). «Математические модели возбуждения и распространения в нерве». В HP Schwann (ред.). Биологическая инженерия. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 1–85.
17. Бонхёффер К.Ф. (1948). «АКТИВАЦИЯ ПАССИВНОГО ЖЕЛЕЗА КАК МОДЕЛЬ ВОЗБУЖДЕНИЯ НЕРВА». J. Gen. Physiol. 32 (1): 69–91. Дои:10.1085 / jgp.32.1.69. ЧВК  2213747. PMID  18885679.
    Бонхёффер К.Ф. (1953). "Modelle der Nervenerregung". Naturwissenschaften. 40 (11): 301–311. Bibcode:1953NW ..... 40..301B. Дои:10.1007 / BF00632438.
    ван дер Поль Б (1926). «О релаксационных колебаниях». Философский журнал. 2: 978–992.
    ван дер Поль Б, ван дер Марк Дж (1928). «Сердцебиение рассматривается как расслабляющее колебание и электрическая модель сердца». Философский журнал. 6: 763–775.
    ван дер Поль Б, ван дер Марк Дж (1929). «Сердцебиение рассматривается как расслабляющее колебание и электрическая модель сердца». Arch. Neerl. Физиол. 14: 418–443.
18. Кинер Дж. П. (1983). «Аналоговая схема для уравнений Ван дер Поля и ФитцХью-Нагумо». IEEE Transactions по системам, человеку и кибернетике. 13 (5): 1010–1014. Дои:10.1109 / TSMC.1983.6313098.
19. Моррис С., Лекар Х (1981). «Колебания напряжения в мышечном волокне усоногих гигантских». Биофизический журнал. 35 (1): 193–213. Bibcode:1981BpJ .... 35..193M. Дои:10.1016 / S0006-3495 (81) 84782-0. ЧВК  1327511. PMID  7260316.
20. Ринзель Дж., Эрментрут Г.Б. (1989). «Анализ нервной возбудимости и колебаний». В К. Кох, Я Сегев (ред.). Методы нейронного моделирования: от синапсов к сетям. Кембридж, Массачусетс: Книга Брэдфорда, MIT Press. С. 135–169. ISBN  978-0-262-11133-1.
21. Кинер Дж. П., Хоппенстедт ФК, Ринзель Дж. (1981). «Интегрируй и запускай модели реакции нервной мембраны на колебательный вход». Журнал SIAM по прикладной математике. 41 (3): 503–517. Дои:10.1137/0141042.
22. Цейнар, Павел; Вышата, Олдржих; Кукал, Яромир; Беранек, Мартин; Валиш, Мартин; Прохазка, Алеш (2020). «Простая модель возбуждающего и тормозящего нейрона с переключателем между конденсаторами и биологически объясненными всеми частями позволяет вводить хаотические колебания, зависящие от схемы зажигания». Научные отчеты. 10 (1): 7353. Дои:10.1038 / s41598-020-63834-7. PMID  32355185.
23. Стивенс, Чарльз Ф. (1966). Нейрофизиология: учебник. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр.161 –173. LCCN  66015872.
24. Линг G, Джерард RW (1949). «Нормальный мембранный потенциал волокон портняжника лягушки». J. Cell. Комп. Физиол. 34 (3): 383–396. Дои:10.1002 / jcp.1030340304. PMID  15410483.
25. Лоренте де Но Р. (1947). «Исследование физиологии нервов». Stud. Rockefeller Inst. Med. Исследование. 132: Гл. 16.
    Мауро А. (1960). «Свойства тонких генераторов электрофизиологических потенциалов в объемных проводниках». J. Neurophysiol. 23 (2): 132–143. Дои:10.1152 / jn.1960.23.2.132.
    Вудбери JW (1965). «Глава 3: Потенциалы в объемном проводнике». В ТЦ Ручь; HD Паттон (ред.). Физиология и биофизика. Филадельфия: W. B. Saunders Co.

дальнейшее чтение

• Гласс Л., Макки М.С. (1988). От часов к хаосу: ритмы жизни. Принстон, Нью-Джерси: Принстонский университет. ISBN  978-0-691-08496-1.