Псевдокружность - Pseudocircle

В псевдокружность это конечное топологическое пространство Икс состоящий из четырех различных точек {а,б,c,d} со следующими нехаусдорфовый топология:

${\displaystyle \left\{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,b\},\{a\},\{b\},\emptyset \right\}}$.

Эта топология соответствует частичный заказ ${\displaystyle a<c,\ b<c,\ a<d,\ b<d}$ где открытые множества - это закрытые вниз множества. Икс очень патологический с обычной точки зрения общая топология поскольку это не удовлетворяет ни один аксиома разделения Помимо Т₀. Однако с точки зрения алгебраическая топология Икс обладает тем замечательным свойством, что он неотличим от круг S¹.

Точнее непрерывная карта ж из S¹ к Икс (где мы думаем о S¹ как единичный круг в р²) предоставлено

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}a\quad x<0\\b\quad x>0\\c\quad (x,y)=(0,1)\\d\quad (x,y)=(0,-1)\end{cases}}}$

это слабая гомотопическая эквивалентность, то есть ж индуцирует изоморфизм на всех гомотопические группы. Следует^[1] который ж также индуцирует изоморфизм на особые гомологии и когомологии и вообще изоморфизм всех обычных или необычных теории гомологий и когомологий (например., K-теория ).

Это можно доказать, используя следующее наблюдение. Нравиться S¹, Икс это союз двух стягиваемый open sets {а,б,c} и {а,б,d} чье пересечение {а,б} также является объединением двух непересекающийся стягиваемые открытые множества {а} и {б}. Так нравится S¹, результат следует из группоида Теорема Зейферта-ван Кампена, как в книге Топология и группоиды.^[2]

В более общем плане МакКорд показал, что для любого конечного симплициальный комплекс K, Существует конечное топологическое пространство Икс_K который имеет тот же слабый гомотопический тип, что и геометрическая реализация |K| из K. Точнее есть функтор, принимая K к Икс_K, из категории конечных симплициальных комплексов и симплициальных отображений и естественный слабая гомотопическая эквивалентность из |K| к Икс_K.^[3]

Смотрите также

• Список топологий

Рекомендации

1. Аллен Хэтчер (2002) Алгебраическая топология, Предложение 4.21, Издательство Кембриджского университета
2. Рональд Браун (2006) «Топология и группоиды», Bookforce
3. МакКорд, Майкл С. (1966). «Особые группы гомологий и гомотопические группы конечных топологических пространств». Математический журнал герцога. 33: 465–474. Дои:10.1215 / S0012-7094-66-03352-7.