Доказательство Великой теоремы Ферма для конкретных показателей - Proof of Fermats Last Theorem for specific exponents

Последняя теорема Ферма это теорема в теория чисел, первоначально заявлено Пьер де Ферма в 1637 г. и доказано Эндрю Уайлс в 1995 году. В формулировку теоремы входит целое число показатель степени п больше 2. В течение столетий после первоначальной формулировки результата и до его общего доказательства были разработаны различные доказательства для конкретных значений показателя степени п. Некоторые из этих доказательств описаны ниже, включая доказательство Ферма в случае п = 4, что является ранним примером метода бесконечный спуск.

Математические предварительные

Последняя теорема Ферма утверждает, что нет трех положительные целые числа (а, б, c) может удовлетворять уравнению ап + бп = cп для любого целого значения п больше двух. (За п равное 1, уравнение линейное уравнение и есть решение для всех возможных а, б. За п равное 2, уравнение имеет бесконечно много решений, Пифагорейские тройки.)

Коэффициенты экспоненты

Решение (а, б, c) для данного п приводит к решению для всех факторов п: если час фактор п тогда есть целое число грамм такой, что п = gh. Потом (аграмм, бграмм, cграмм) является решением для показателя степени час:

(аграмм)час + (бграмм)час = (cграмм)час.

Следовательно, чтобы доказать, что уравнение Ферма имеет нет решения для п > 2, достаточно доказать отсутствие решений для п = 4 и для всех нечетных простых чисел п.

Для любого такого нечетного показателя п, каждое положительно-целое решение уравнения ап + бп = cп соответствует общему целочисленному решению уравнения ап + бп + cп = 0. Например, если (3, 5, 8) решает первое уравнение, то (3, 5, −8) решает второе. И наоборот, любое решение второго уравнения соответствует решению первого. Второе уравнение иногда полезно, потому что оно делает симметрию между тремя переменными а, б и c более очевидный.

Примитивные решения

Если два из трех чисел (а, б, c) можно разделить на четвертое число d, то все три числа делятся на d. Например, если а и c делятся на d = 13, тогда б также делится на 13. Это следует из уравнения

бп = cп − ап

Если правая часть уравнения делится на 13, то левая часть также делится на 13. Пусть грамм представляют наибольший общий делитель из а, б, и c. Потом (а, б, c) можно записать как а = gx, б = гы, и c = gz где три числа (Икс, у, z) попарно совмещать. Другими словами, наибольший общий делитель (НОД) каждой пары равен одному

НОД (Икс, у) = НОД (Икс, z) = НОД (у, z) = 1

Если (а, б, c) является решением уравнения Ферма, то (Икс, у, z), поскольку уравнение

ап + бп = cп = граммпИксп + граммпуп = граммпzп

следует уравнение

Иксп + уп = zп.

Попарно взаимно простое решение (Икс, у, z) называется примитивное решение. Поскольку каждое решение уравнения Ферма может быть сведено к примитивному решению путем деления на их наибольший общий делитель грамм, Великую теорему Ферма можно доказать, продемонстрировав отсутствие примитивных решений.

Четный и нечетный

Целые числа можно разделить на четные и нечетные, на те, которые делятся на два, и на те, которые не делятся на два. Четные целые числа - это ...− 4, −2, 0, 2, 4, тогда как нечетные целые числа - это −3, −1, 1, 3, ... Свойство того, является ли целое число четным (или нет), известный как его паритет. Если два числа четные или оба нечетные, они имеют одинаковую четность. Напротив, если один четный, а другой нечетный, они имеют разную четность.

Сложение, вычитание и умножение четных и нечетных целых чисел подчиняются простым правилам. Сложение или вычитание двух четных чисел или двух нечетных чисел всегда дает четное число, например, 4 + 6 = 10 и 3 + 5 = 8. И наоборот, сложение или вычитание нечетного и четного числа всегда является нечетным, например , 3 + 8 = 11. Умножение двух нечетных чисел всегда нечетное, но умножение четного числа на любое число всегда четное. Нечетное число в степени всегда нечетное, а четное число в степени всегда четное.

В любом примитивном решении (Икс, у, z) к уравнению Иксп  +  уп = zп, одно число четное, а два других - нечетные. Все они не могут быть равными, иначе они не были бы взаимно простыми; их всех можно было разделить на двоих. Однако все они не могут быть нечетными, так как сумма двух нечетных чисел Иксп + уп никогда не бывает нечетным числом zп. Следовательно, хотя бы одно число должно быть четным и хотя бы одно число должно быть нечетным. Отсюда следует, что третье число также нечетное, потому что сумма четного и нечетного числа сама является нечетной.

простые множители

В основная теорема арифметики утверждает, что любое натуральное число может быть записано только одним способом (однозначно) как произведение простых чисел. Например, 42 равно произведению простых чисел 2 × 3 × 7, и никакое другое произведение простых чисел не равно 42, кроме тривиальных перестановок, таких как 7 × 3 × 2. Это уникальное свойство факторизации является основой, на которой теория чисел построено.

Одним из следствий этого уникального свойства факторизации является то, что если пth степень числа равна произведению, например

Иксп = УФ

и если ты и v взаимно просты (не имеют простых множителей), то ты и v сами являются пth мощность двух других чисел, ты = рп и v = sп.

Однако, как описано ниже, некоторые системы счисления не имеют уникальной факторизации. Этот факт привел к провалу общего доказательства Великой теоремы Ферма, проведенного Ламе в 1847 году.

Два случая

Основная статья: Теорема Софи Жермен

Со времен Софи Жермен Последняя теорема Ферма была разделена на два случая, которые доказываются отдельно. Первый случай (случай I) - показать, что примитивных решений не существует (Икс, у, z) к уравнению Иксп + уп = zп при условии, что п не делит продукт xyz. Второй случай (случай II) соответствует условию, что п делит продукт xyz. С Икс, у, и z попарно взаимно просты, п делит только одно из трех чисел.

п = 4

Портрет Пьера де Ферма.

Сохранилось только одно математическое доказательство Ферма, в котором Ферма использует технику бесконечный спуск чтобы показать, что площадь прямоугольного треугольника с целыми сторонами никогда не может равняться квадрату целого числа.[1] Этот результат известен как Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике. Как показано ниже, его доказательство эквивалентно демонстрации того, что уравнение

Икс4 − у4 = z2

не имеет примитивных решений в целых числах (нет попарно взаимно простых решений). В свою очередь, этого достаточно для доказательства Великой теоремы Ферма для случая п = 4, поскольку уравнение а4 + б4 = c4 можно записать как c4 − б4 = (а2)2. Альтернативные доказательства дела п = 4 были разработаны позже[2] Френкль де Бесси,[3] Эйлер,[4] Кауслер,[5] Барлоу,[6] Лежандр,[7] Шопис,[8] Terquem,[9] Бертран,[10] Лебег,[11] Пепин,[12] Тафельмахер,[13] Гильберт,[14] Бендз,[15] Гамбиоли,[16] Кронекер,[17] Хлопнуть,[18] Соммер,[19] Боттари,[20] Рычлик,[21] Нутцхорн,[22] Кармайкл,[23] Хэнкок,[24] Врончану,[25] Грант и Перелла,[26] Барбара,[27] и Долан.[28] Одно доказательство бесконечным спуском см. Бесконечный спуск # Неразрешимость r2 + с4 = т4.

Приложение к прямоугольным треугольникам

Доказательство Ферма показывает, что ни один прямоугольный треугольник с целыми сторонами не может иметь площадь, равную квадрату.[29] Пусть прямоугольный треугольник имеет стороны (ты, v, ш), где площадь равна УФ/2 и, по теорема Пифагора, ты2 + v2 = ш2. Если бы площадь была равна квадрату целого числа s

УФ/2 = s2

давая

2УФ = 4s2
−2УФ = −4s2.

Добавление ты2 + v2 = ш2 к этим уравнениям дает

ты2 + 2УФ + v2 = ш2 + 4s2
ты2 − 2УФ + v2 = ш2 − 4s2,

который можно выразить как

(ты + v)2 = ш2 + 4s2
(ты − v)2 = ш2 − 4s2.

Умножение этих уравнений вместе дает

(ты2 − v2)2 = ш4 − 24s4.

Но, как доказал Ферма, не может быть целочисленного решения уравнения

Икс4 − у4 = z2

из которых это частный случай с z = (ты2 - v2), Икс = ш и у = 2s.

Первый шаг доказательства Ферма - разложить левую часть на множители[30]

(Икс2 + у2)(Икс2 − у2) = z2

С Икс и у взаимно просты (это можно предположить, потому что в противном случае множители можно было бы сократить), наибольший общий делитель Икс2 + у2 и Икс2 − у2 равно 2 (случай A) или 1 (случай B). Теорема доказывается отдельно для этих двух случаев.

Доказательство для случая А

В этом случае оба Икс и у странные и z даже. С (у2, z, Икс2) образуют примитивную пифагорову тройку, их можно записать

z = 2де
у2 = d2 − е2
Икс2 = d2 + е2

куда d и е взаимно просты и d > е > 0. Таким образом,

Икс2у2 = d4 − е4

что дает другое решение (d, е, ху) меньшего размера (0 < d < Икс). Как и раньше, должна быть нижняя граница размера решений, в то время как этот аргумент всегда дает меньшее решение, чем любое заданное, и, таким образом, исходное решение невозможно.

Доказательство для случая B

В этом случае два фактора взаимно просты. Поскольку их продукт - квадрат z2, каждый из них должен быть квадратом

Икс2 + у2 = s2
Икс2 − у2 = т2

Цифры s и т оба нечетные, так как s2 + т2 = 2 Икс2, четное число, и поскольку Икс и у не могут оба быть даже. Следовательно, сумма и разность s и т также являются четными числами, поэтому мы определяем целые числа ты и v в качестве

ты = (s + т)/2
v = (s − т)/2

С s и т взаимно просты, так же ты и v; только один из них может быть четным. С у2 = 2УФ, ровно один из них четный. Для иллюстрации пусть ты быть ровным; тогда числа можно записать как ты=2м2 и v=k2. С (ты, v, Икс) образуют примитивный Пифагорейская тройка

(s2 + т2)/2 = ты2 + v2 = Икс2

они могут быть выражены в виде меньших целых чисел d и е используя формулу Евклида

ты = 2де
v = d2 − е2
Икс = d2 + е2

С ты = 2м2 = 2де, и с тех пор d и е взаимно просты, они сами должны быть квадратами, d = грамм2 и е = час2. Это дает уравнение

v = d2 − е2 = грамм4 − час4 = k2

Решение (грамм, час, k) - другое решение исходного уравнения, но меньшего размера (0 < грамм < d < Икс). Применяя ту же процедуру к (грамм, час, k) даст другое решение, еще меньшего размера, и так далее. Но это невозможно, поскольку натуральные числа нельзя бесконечно уменьшать. Следовательно, исходное решение (Икс, у, z) было невозможно.

п = 3

Леонард Эйлер к Якоб Эмануэль Хандманн.

Ферма прислал письма, в которых упоминал случай, когда п = 3 в 1636, 1640 и 1657 годах.[31]Эйлер отправил письмо, в котором приводил доказательства дела, в котором п = От 3 до Гольдбах 4 августа 1753 г.[32]У Эйлера было полное и чисто элементарное доказательство в 1760 году.[33]Дело п = 3 было доказано Эйлер в 1770 г.[34][35][36][37] Независимые доказательства были опубликованы несколькими другими математиками,[38] включая Кауслера,[5] Legendre,[7][39] Кальцолари,[40] Хромой,[41] Tait,[42] Гюнтер,[43] Гамбиоли,[16] Крей,[44] Рычлик,[21] Стокхаус,[45] Кармайкл,[46] van der Corput,[47] Чт,[48] и Дуарте.[49]

Хронологическая таблица доказательства п = 3
Датарезультат / доказательствоопубликовано / не опубликованоработайимя
1621никтоопубликованоЛатинская версия Диофант с АрифметикаBachet
около 1630 г.только результатне опубликованопримечание на полях в АрифметикаФерма
1636, 1640, 1657только результатопубликованописьма п = 3Ферма[31]
1670только результатопубликованопримечание на полях в АрифметикаСын Ферма Самуэль опубликовал Арифметика с запиской Ферма.
4 августа 1753 г.только результатопубликованоПисьмо к ГольдбахЭйлер[32]
1760доказательствоне опубликованополное и чистое элементарное доказательствоЭйлер[33]
1770доказательствоопубликованонеполное, но элегантное доказательство в Элементы алгебрыЭйлер[32][34][37]

Как Ферма сделал в случае п = 4, Эйлер использовал технику бесконечный спуск.[50] Доказательство предполагает решение (Икс, у, z) к уравнению Икс3 + у3 + z3 = 0, где три ненулевых целых числа Икс, у, и z попарно взаимно просты и не все положительны. Один из трех должен быть четным, а два других - нечетными. Не теряя общий смысл, z можно считать четным.

С Икс и у оба нечетные, они не могут быть равны. Если Икс = у, то 2Икс3 = −z3, откуда следует, что Икс четно, противоречие.

С Икс и у оба нечетные, их сумма и разность - четные числа

2ты = Икс + у
2v = Икс − у

где ненулевые целые числа ты и v взаимно просты и имеют разную четность (одна четная, другая нечетная). С Икс = ты + v и у = ты − v, следует, что

−z3 = (ты + v)3 + (ты − v)3 = 2ты(ты2 + 3v2)

С ты и v имеют противоположный паритет, ты2 + 3v2 всегда нечетное число. Следовательно, поскольку z даже, ты даже и v странно. С ты и v взаимно просты, наибольший общий делитель 2ты и ты2 + 3v2 равно 1 (случай A) или 3 (случай B).

Доказательство для случая А

В этом случае два фактора -z3 взаимно просты. Это означает, что три не делят ты и что два множителя представляют собой кубы двух меньших чисел, р и s

2ты = р3
ты2 + 3v2 = s3

С ты2 + 3v2 странно, так это s. Важная лемма показывает, что если s нечетно и если удовлетворяет уравнению s3 = ты2 + 3v2, то его можно записать в терминах двух взаимно простых целых чисел е и ж

s = е2 + 3ж2

так что

ты = е ( е2 − 9ж2)
v = 3ж ( е2 − ж2)

С ты даже и v странно, тогда е даже и ж странно. С

р3 = 2ты = 2е (е − 3ж)(е + 3ж)

Факторы 2е, (е–3ж ), и (е+3ж ) взаимно просты, так как 3 не может делить е: Если е делятся на 3, то 3 делит ты, нарушая обозначение ты и v как coprime. Поскольку три множителя в правой части взаимно просты, они должны по отдельности равняться кубам меньших целых чисел.

−2е = k3
е − 3ж = л3
е + 3ж = м3

что дает меньшее решение k3 + л3 + м3= 0. Следовательно, по аргументу бесконечный спуск, исходное решение (Икс, у, z) было невозможно.

Доказательство для случая B

В этом случае наибольший общий делитель 2ты и ты2 + 3v2 равно 3. Это означает, что 3 делит ты, и можно выразить ты = 3ш через меньшее целое число, ш. С ты делится на 4, поэтому ш; следовательно, ш тоже даже. С ты и v взаимно просты, так же v и ш. Следовательно, ни 3, ни 4 не делят v.

Подстановка ты к ш в уравнении для z3 дает

−z3 = 6ш(9ш2 + 3v2) = 18ш(3ш2 + v2)

Потому что v и ш взаимно просты, и поскольку 3 не делит v, затем 18ш и 3ш2 + v2 также взаимно просты. Следовательно, поскольку их продукт является кубом, каждый из них является кубом меньших целых чисел, р и s

18ш = р3
3ш2 + v2 = s3

По лемме выше, поскольку s нечетно и его куб равен числу вида 3ш2 + v2, это тоже можно выразить через меньшие взаимно простые числа, е и ж.

s = е2 + 3ж2

Краткий расчет показывает, что

v = е (е2 − 9ж2)
ш = 3ж (е2 − ж2)

Таким образом, е это странно и ж чётно, потому что v странно. Выражение для 18ш затем становится

р3 = 18ш = 54ж (е2 − ж2) = 54ж (е + ж) (е − ж) = 33×2ж (е + ж) (е − ж).

С 33 разделяет р3 у нас есть 3 деления р, так (р /3)3 целое число, равное 2ж (е + ж) (е − ж). С е и ж взаимно просты, как и три фактора 2е, е+ж, и е−ж; следовательно, каждый из них является кубом меньших целых чисел, k, л, и м.

−2е = k3
е + ж = л3
е − ж = м3

что дает меньшее решение k3 + л3 + м3= 0. Следовательно, по аргументу бесконечный спуск, исходное решение (Икс, у, z) было невозможно.

п = 5

Портрет Питер Густав Лежен Дирихле.
Карикатура на Адриан-Мари Лежандр (единственный сохранившийся его портрет).

Последняя теорема Ферма для п = 5 означает, что нет трех взаимно простых целых чисел Икс, у и z может удовлетворять уравнению

Икс5 + у5 + z5 = 0

Это было доказано[51] ни независимо, ни совместно Дирихле и Legendre около 1825 г.[32][52] Были разработаны альтернативные доказательства[53] к Гаусс,[54] Лебег,[55] Хромой,[56] Гамбиоли,[16][57] Веребрусов,[58] Рычлик,[59] van der Corput,[47] и Терджанян.[60]

Доказательство Дирихле для п = 5 делится на два случая (случаи I и II), определяемые формулой Софи Жермен. В случае I показатель 5 не делит произведение xyz. В случае II 5 делит xyz.

  1. Случай I за п = 5 можно сразу доказать Теорема Софи Жермен (1823), если вспомогательное простое число θ = 11.
  2. Дело II делится на два случая (случаи II (i) и II (ii)) Дирихле в 1825 году. Случай II (i) - это случай, когда одно из x, y, z делится на 5 и 2. Случай II ( ii) это случай, когда одно из x, y, z делится на 5, а другое из x, y, z делится на 2. В июле 1825 года Дирихле доказал случай II (i) для п = 5. В сентябре 1825 г. Лежандр доказал случай II (ii) для п = 5. После доказательства Лежандра Дирихле завершил доказательство случая II (ii) для п = 5 с помощью расширенных рассуждений для случая II (i).[32]
Хронологическая таблица доказательства п = 5
Датаслучай I / IIдело II (i / ii)имя
1823случай IСофи Жермен
Июль 1825 г.случай IIдело II (i)Дирихле
Сентябрь 1825 г.дело II (ii)Legendre
после сентября 1825 г.Дирихле

Доказательство для случая А

Случай А для п = 5 может быть немедленно доказано Теорема Софи Жермен если вспомогательное простое число θ = 11. Более методическое доказательство состоит в следующем. К Маленькая теорема Ферма,

Икс5 ≡ Икс (мод 5)
у5 ≡ у (мод 5)
z5 ≡ z (мод 5)

и поэтому

Икс + у + z ≡ 0 (мод 5)

Это уравнение заставляет два из трех чисел Икс, у, и z быть эквивалентными по модулю 5, что можно увидеть следующим образом: поскольку они неделимы на 5, Икс, у и z не может равняться 0 по модулю 5 и должен равняться одному из четырех возможных значений: ± 1 или ± 2. Если бы все они были разными, два были бы противоположностями, и их сумма по модулю 5 была бы равна нулю (что, в отличие от предположения этого случая, означает, что другой будет 0 по модулю 5).

Не теряя общий смысл, Икс и у можно обозначить как два эквивалентных числа по модулю 5. Из эквивалентности следует, что

Икс5 ≡ у5 (mod 25) (обратите внимание на изменение по модулю)
−z5 ≡ Икс5 + у5 ≡ 2 Икс5 (мод 25)

Однако уравнение Икс ≡ у (mod 5) также означает, что

−z ≡ Икс + у ≡ 2 Икс (мод 5)
−z5 ≡ 25 Икс5 ≡ 32 Икс5 (мод 25)

Объединяя два результата и разделяя обе стороны на Икс5 приводит к противоречию

2 ≡ 32 (мод 25)

Таким образом, случай A для п = 5 доказано.

Доказательство для случая B

п = 7

Дело п = 7 было доказано[61] к Габриэль Ламе в 1839 г.[62] Его довольно сложное доказательство было упрощено в 1840 г. Виктор-Амеде Лебег,[63] и еще более простые доказательства[64] были опубликованы Анджело Дженокки в 1864, 1874 и 1876 гг.[65] Альтернативные доказательства были разработаны Теофилем Пепеном.[66] и Эдмон Майе.[67]

п = 6, 10 и 14

Последняя теорема Ферма также была доказана для показателей степени п = 6, 10 и 14. Доказательства для п = 6 были опубликованы Кауслером,[5] Чт,[68] Тафельмахер,[69] Линд,[70] Капферер,[71] Быстрый,[72] и Бреуш.[73] По аналогии, Дирихле[74] и Терджанян[75] каждый доказал свою правоту п = 14, а Капферер[71] и Бреуш[73] каждый доказал свою правоту п = 10. Строго говоря, в этих доказательствах нет необходимости, поскольку эти случаи следуют из доказательств для п = 3, 5 и 7 соответственно. Тем не менее, рассуждение этих доказательств четной экспоненты отличается от их аналогов нечетной экспоненты. Доказательство Дирихле для п = 14 было опубликовано в 1832 г., до доказательства Ламе 1839 г. п = 7.

Примечания

  1. ^ Фримен Л. "Одно доказательство Ферма". Получено 2009-05-23.
  2. ^ Рибенбойм, стр. 15–24.
  3. ^ Фриникль де Бесси, Traité des Triangles Rectangles en Nombres, т. I, 1676 год, Париж. Перепечатано в Mém. Акад. Рой. Sci., 5, 1666–1699 (1729).
  4. ^ Эйлер Л (1738). «Демонстрация теоремы кворундам арифметикорума». Comm. Акад. Sci. Петроп. 10: 125–146.. Перепечатано Опера омния, сер. I, "Commentationes Arithmeticae", т. I, стр. 38–58, Лейпциг: Teubner (1915).
  5. ^ а б c Кауслер CF (1802). "Нова демонстрация теоремы, не подлежащая суммам, некогда дифференцирующая дуорум куборум кубум esse posse". Novi Acta Acad. Петроп. 13: 245–253.
  6. ^ Барлоу П (1811). Элементарное исследование теории чисел. Церковный двор Святого Павла, Лондон: Дж. Джонсон. С. 144–145.
  7. ^ а б Legendre AM (1830). Теория Номбр (Том II) (3-е изд.). Париж: Фирмин Didot Frères. Перепечатано в 1955 году А. Бланшаром (Париж).
  8. ^ Шопис (1825 г.). Einige Sätze aus der unbestimmten Analytik. Гуммбиннен: Программа.
  9. ^ Terquem O (1846). "Теории сюр-ле-Писсанс-де-Номб". Nouv. Анна. Математика. 5: 70–87.
  10. ^ Бертран Дж. (1851). Traité Élémentaire d'Algèbre. Париж: Ашетт. стр.217 –230, 395.
  11. ^ Лебег В.А. (1853). "Résolution des équations biquadratiques" z2 = Икс4 ± 2му4, z2 = 2мИкс4 − у4, 2мz2 = Икс4 ± у4". J. Math. Pures Appl. 18: 73–86.
    Лебег В.А. (1859). Exercices d'Analyse Numérique. Париж: Leiber et Faraguet. С. 83–84, 89.
    Лебег В.А. (1862). Введение à la Théorie des Nombres. Париж: Малле-Башелье. С. 71–73.
  12. ^ Пепин Т (1883). "Étude sur l'équation indéterminée топор4 + к4 = cz2". Atti Accad. Наз. Линчеи. 36: 34–70.
  13. ^ Тафельмахер WLA (1893 г.). "Sobre la ecuación Икс4 + у4 = z4". Анна. Univ. Чили. 84: 307–320.
  14. ^ Гильберт Д. (1897). "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 4: 175–546. Переиздано в 1965 г. в Gesammelte Abhandlungen, vol. я от Нью-Йорка: Челси.
  15. ^ Бендз Т.Р. (1901). Öfver diophantiska ekvationen xп + yп = zп. Упсала: Альмквист и Викселлс Боктрикен.
  16. ^ а б c Гамбиоли D (1901). "Memoria bibliographica sull'ultimo teorema di Fermat". Период. Мат. 16: 145–192.
  17. ^ Кронекер Л. (1901). Vorlesungen über Zahlentheorie, vol. я. Лейпциг: Тойбнер. С. 35–38. Перепечатано Нью-Йорком: Springer-Verlag в 1978 году.
  18. ^ Взрыв A (1905). "Нит Бевис для Лигнингена Икс4 − у4 = z4, икке кан имеет обоснование, Лёсингер ". Нит Тидсскрифт Мат. 16B: 35–36.
  19. ^ Соммер Дж (1907). Vorlesungen über Zahlentheorie. Лейпциг: Тойбнер.
  20. ^ Боттари А. "Решение интересного детального питания и приложение для всех dimostrazione alcune teoremi dellla teoria dei numeri". Период. Мат. 23: 104–110.
  21. ^ а б Рычлик К (1910). «О последней теореме Ферма для п = 4 и п = 3 (по-богемски) ". Časopis Pěst. Мат. 39: 65–86.
  22. ^ Нутцхорн Ф (1912). "Den ubestemte Ligning" Икс4 + у4 = z4". Нит Тидсскрифт Мат. 23B: 33–38.
  23. ^ Кармайкл РД (1913). «О невозможности некоторых диофантовых уравнений и систем уравнений». Амер. Математика. Ежемесячно. 20 (7): 213–221. Дои:10.2307/2974106. JSTOR  2974106.
  24. ^ Хэнкок Х (1931). Основы теории алгебраических чисел, т. я. Нью-Йорк: Макмиллан.
  25. ^ Vrnceanu G (1966). "Asupra teorema lui Fermat pentru п=4". Газ. Мат. Сер. А. 71: 334–335. Переиздано в 1977 г. в Математика оперы, т. 4, стр. 202–205, Bucureşti: Edit. Акад. Rep. Soc. Романа.
  26. ^ Грант, Майк, и Перелла, Малькольм, «Спуск к иррациональному», Математический вестник 83, июль 1999 г., стр. 263-267.
  27. ^ Барбара, Рой, "Последняя теорема Ферма в случае n = 4", Математический вестник 91, июль 2007 г., 260–262.
  28. ^ Долан, Стэн, "Метод Ферма Descente Infinie", Математический вестник 95, июль 2011 г., 269-271.
  29. ^ Ферма П. "Ad Problema XX commentarii in ultimam questionem Arithmeticorum Diophanti. Area trianguli rectanguli in numeris non potest esse quadratus", Oeuvres, т. I, стр. 340 (латиница), т. III, стр. 271–272 (французский). Париж: Готье-Виллар, 1891, 1896.
  30. ^ Рибенбойм, стр. 11–14.
  31. ^ а б Диксон (2005 г., п. 546)
  32. ^ а б c d е О'Коннор и Робертсон (1996)
  33. ^ а б Бергманн (1966)
  34. ^ а б Эйлер Л (1770) Vollständige Anleitung zur Algebra, Рой.Акад. Наук, Санкт-Петербург.
  35. ^ Фримен Л. "Последняя теорема Ферма: доказательство п = 3". Получено 2009-05-23.
  36. ^ Й. Я. Мачис (2007). «О гипотетическом доказательстве Эйлера». Математические заметки. 82 (3–4): 352–356. Дои:10.1134 / S0001434607090088. МИСТЕР  2364600.
  37. ^ а б Эйлер (1822 г., стр. 399, 401–402)
  38. ^ Рибенбойм, стр. 33, 37–41.
  39. ^ Legendre AM (1823 г.). "Recherches sur quelques objets d'analyse indéterminée, et specialulièrement sur le teorème de Fermat". Mém. Акад. Рой. Sci. Institut France. 6: 1–60. Перепечатано в 1825 г. как «Второе приложение» к печати 2-го издания Essai sur la Théorie des Nombres, Курсье (Париж). Также переиздан в 1909 г. Сфинкс-Эдип, 4, 97–128.
  40. ^ Кальцолари Л. (1855). Tentativo per dimostrare il teorema di Fermat sull'equazione indeterminata xп + yп = zп. Феррара.
  41. ^ Lamé G (1865). "Étude des binômes cubiques" Икс3 ± у3". C. R. Acad. Sci. Париж. 61: 921–924, 961–965.
  42. ^ Tait PG (1872 г.). «Математические заметки». Proc. Рой. Soc. Эдинбург. 7: 144.
  43. ^ Гюнтер С (1878). "Über die unbestimmte Gleichung Икс3 + у3 = z3". Sitzungsberichte Böhm. Ges. Wiss.: 112–120.
  44. ^ Крей Х (1909). "Neuer Beweis eines arithmetischen Satzes". Математика. Naturwiss. Blätter. 6: 179–180.
  45. ^ Stockhaus H (1910 г.). Beitrag zum Beweis des Fermatschen Satzes. Лейпциг: Brandstetter.
  46. ^ Кармайкл РД (1915). Диофантов анализ. Нью-Йорк: Вили.
  47. ^ а б van der Corput JG (1915). "Quelques formes quadratiques et quelques équations indéterminées". Nieuw Archief Wisk. 11: 45–75.
  48. ^ Вт А (1917). "Et bevis for at ligningen А3 + B3 = C3 er unmulig i hele tal fra nul forskjellige tal А, B og C". Arch. Мат. Натурв. 34 (15). Перепечатано в Избранные статьи по математике (1977), Осло: Universitetsforlaget, стр. 555–559.
  49. ^ Дуарте Ф.Дж. (1944). "Sobre la ecuación Икс3 + у3 + z3 = 0". Ciencias Fis. Мат. Naturales (Каракас). 8: 971–979.
  50. ^ Рибенбойм, стр. 24–49.
  51. ^ Фримен Л. "Последняя теорема Ферма: доказательство п = 5". Получено 2009-05-23.
  52. ^ Рибенбойм, стр. 49.
  53. ^ Рибенбойм, стр. 55–57.
  54. ^ Gauss CF (1875, посмертно). "Neue Theorie der Zerlegung der Cuben". Zur Theorie der complexen Zahlen, Werke, vol. II (2-е изд.). Кёнигль. Ges. Wiss. Гёттинген. С. 387–391. Проверить значения даты в: | год = (помощь)
  55. ^ Лебег В.А. (1843). "Новые теории по неопределенным условиям" Икс5 + у5 = az5". J. Math. Pures Appl. 8: 49–70.
  56. ^ Lamé G (1847). "Mémoire sur la résolution en nombres complex de l'équation А5 + B5 + C5 = 0". J. Math. Pures Appl. 12: 137–171.
  57. ^ Гамбиоли D (1903/4). "Intorno all'ultimo teorema di Fermat". Il Pitagora. 10: 11–13, 41–42. Проверить значения даты в: | год = (помощь)
  58. ^ Веребрусов А.С. (1905). "Об уравнении Икс5 + у5 = Аз5 (на русском)". Москов. Математика. Samml. 25: 466–473.
  59. ^ Рычлик К (1910). «О последней теореме Ферма для п = 5 (на богемском языке)". Časopis Pěst. Мат. 39: 185–195, 305–317.
  60. ^ Терджанян Г (1987). "Sur une question de В. А. Лебег". Annales de l'Institut Fourier. 37 (3): 19–37. Дои:10.5802 / aif.1096.
  61. ^ Рибенбойм, стр. 57–63.
  62. ^ Lamé G (1839). "Mémoire sur le dernier théorème de Fermat". C. R. Acad. Sci. Париж. 9: 45–46.
    Lamé G (1840). "Mémoire d'analyse indéterminée démontrant que l'équation Икс7 + у7 = z7 est possible en nombres entiers ". J. Math. Pures Appl. 5: 195–211.
  63. ^ Лебег В.А. (1840). "Демонстрация импосибилит-де-ресуда Икс7 + у7 + z7 = 0 en nombres entiers ". J. Math. Pures Appl. 5: 276–279, 348–349.
  64. ^ Фримен Л. "Последняя теорема Ферма: доказательство п = 7". Получено 2009-05-23.
  65. ^ Дженокки А (1864). "Intorno all'equazioni Икс7 + у7 + z7 = 0". Анна. Мат. Pura Appl. 6: 287–288.
    Дженокки А (1874 г.). "Sur l'impossibilité de quelques égalités удваивается". C. R. Acad. Sci. Париж. 78: 433–436.
    Дженокки А (1876 г.). "Généralisation du théorème de Lamé sur l'impossibilité de l'équation Икс7 + у7 + z7 = 0". C. R. Acad. Sci. Париж. 82: 910–913.
  66. ^ Пепин Т (1876 г.). "Impossibilité de l'équation Икс7 + у7 + z7 = 0". C. R. Acad. Sci. Париж. 82: 676–679, 743–747.
  67. ^ Maillet E (1897). "Sur l'équation indéterminée топорλт + кλт = czλт". Доц. Française Avanc. Наук, Сент-Этьен (сер. II). 26: 156–168.
  68. ^ Вт А (1896 г.). "Über die Auflösbarkeit einiger unbestimmter Gleichungen". Дет Конгель. Norske Videnskabers Selskabs Skrifter. 7. Перепечатано в Избранные статьи по математике, стр. 19–30, Осло: Университетфорлагет (1977).
  69. ^ Тафельмахер WLA (1897). "La ecuación Икс3 + у3 = z2: Una manifestración nueva del teorema de fermat para el caso de las sestas Potencias ". Анна. Univ. Чили, Сантьяго. 97: 63–80.
  70. ^ Линд Б. (1909). "Einige zahlentheoretische Sätze". Arch. Математика. Phys. 15: 368–369.
  71. ^ а б Капферер H (1913). "Beweis des Fermatschen Satzes für die Exponenten 6 und 10". Arch. Математика. Phys. 21: 143–146.
  72. ^ Свифт E (1914). «Решение проблемы 206». Амер. Математика. Ежемесячно. 21: 238–239. Дои:10.2307/2972379.
  73. ^ а б Breusch R (1960). "Простое доказательство последней теоремы Ферма для п = 6, п = 10". Математика. Mag. 33 (5): 279–281. Дои:10.2307/3029800. JSTOR  3029800.
  74. ^ Дирихле ПГЛ (1832 г.). "Теоретическая демонстрация Ферма на улице 14"е мощи ". J. Reine Angew. Математика. 9: 390–393. Перепечатано в Werke, т. I, стр. 189–194, Берлин: G. Реймер (1889 г.); переиздано Нью-Йорк: Челси (1969).
  75. ^ Терджанян Г (1974). "L'équation Икс14 + у14 = z14 en nombres entiers ". Бык. Sci. Математика. (сер. 2). 98: 91–95.

Рекомендации

дальнейшее чтение

внешняя ссылка