Теорема Фермаца о прямоугольном треугольнике - Fermats right triangle theorem

Два прямоугольных треугольника, у верхнего у которых две стороны равны стороне, а у нижнего - гипотенуза. Согласно теореме Ферма о прямоугольном треугольнике, невозможно для всех четырех длин

а

,

б

,

c

, и

d

быть целыми числами.

Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике это доказательство несуществования в теория чисел, единственное полное доказательство, данное Пьер де Ферма.^[1]^[2] Имеет несколько эквивалентных составов:

Если три квадратные числа для мужчин арифметическая прогрессия, затем разрыв между последовательными числами в прогрессии (называемый конгруум ) сам по себе не может быть квадратным.
Не существует двух Пифагоровы треугольники в котором два катета одного треугольника являются катетом и гипотенузой другого треугольника.
А прямоугольный треугольник для которого все три длины стороны рациональное число не может иметь площадь, равную квадрату рационального числа. Определенная таким образом область называется конгруэнтное число, поэтому никакое конгруэнтное число не может быть квадратным.
Прямоугольный треугольник и квадрат с равными площадями не может иметь всех сторон соразмерный друг с другом.
Единственный рациональный указывает на эллиптическая кривая ${ Displaystyle у ^ {2} = х (х-1) (х + 1)}$ - три тривиальные точки (0,0), (1,0) и (−1,0).
В Диофантово уравнение ${ displaystyle x ^ {4} -y ^ {4} = z ^ {2}}$ не имеет целочисленного решения.

Непосредственным следствием последней из этих формулировок является то, что Последняя теорема Ферма верно для экспоненты ${ Displaystyle п = 4,}$ и, следовательно, для любого кратного 4.

Формулировка

Квадраты в арифметической прогрессии

В 1225 г. Фибоначчи была поставлена задача найти конструкцию для троек квадратные числа которые находятся на равном расстоянии друг от друга, образуя арифметическая прогрессия, а расстояние между этими числами, которое он назвал конгруум.^[3] Один из способов описания решения Фибоначчи состоит в том, что возводимые в квадрат числа представляют собой разность катетов, гипотенузу и сумму катетов Пифагоров треугольник, и что конгруум в четыре раза больше площади того же треугольника.^[4] В его более поздних работах по проблеме конгруума, опубликованных в Книга квадратов, Фибоначчи заметил, что конгруум не может быть сам по себе квадратным числом, но не представил удовлетворительного доказательства этого факта.^[5]^[6]

Если три квадрата ${ displaystyle a ^ {2}}$ , ${ displaystyle b ^ {2}}$ , и ${ displaystyle c ^ {2}}$ мог образовывать арифметическую прогрессию, сравнение которой также было квадратом ${ displaystyle d ^ {2}}$ , то эти числа удовлетворяли бы Диофантовы уравнения

{ displaystyle a ^ {2} + d ^ {2} = b ^ {2}}

и

{ displaystyle b ^ {2} + d ^ {2} = c ^ {2}}

.

То есть по теорема Пифагора, они образовали бы два целочисленных прямоугольные треугольники в которой пара ${ displaystyle (d, b)}$ дает один катет и гипотенузу меньшего треугольника, и та же пара также образует два катета большего треугольника. Но если (как утверждал Фибоначчи) не может существовать никакого квадратного конгруума, то не может быть двух целочисленных прямоугольных треугольников, которые таким образом разделяют две стороны.^[7]

Площади прямоугольных треугольников

Поскольку конгруа - это в точности числа, которые в четыре раза больше площади треугольника Пифагора, а умножение на четыре не меняет, является ли число квадратным, существование квадратного конгруума эквивалентно существованию треугольника Пифагора с квадратной площадью . Доказательство Ферма касается именно этого варианта проблемы: он показывает, что такого треугольника не существует.^[1] При рассмотрении этой проблемы Ферма был вдохновлен не Фибоначчи, а изданием Диофант опубликовано Клод Гаспар Баше де Мезириак.^[1] В этой книге описаны различные специальные прямоугольные треугольники области которых имели форму, относящуюся к квадратам, но не рассматривали случай областей, которые сами были квадратными.^[8]

Преобразуя уравнения для двух вышеупомянутых треугольников Пифагора, а затем умножая их вместе, получаем одно диофантово уравнение

{ displaystyle b ^ {4} -d ^ {4} = (b ^ {2} -d ^ {2}) (b ^ {2} + d ^ {2}) = a ^ {2} c ^ { 2}}

который можно упростить до

{ displaystyle b ^ {4} -d ^ {4} = e ^ {2}.}

И наоборот, любое решение этого уравнения можно разложить на множители, чтобы получить квадратное сравнение. (В частности, квадраты ${ displaystyle (b ^ {4} -d ^ {4} -2b ^ {2} d ^ {2}) ^ {2}}$ , ${ Displaystyle (Ь ^ {4} + d ^ {4}) ^ {2}}$ , и ${ displaystyle (b ^ {4} -d ^ {4} + 2b ^ {2} d ^ {2}) ^ {2}}$ составлять арифметическую прогрессию с конгруумом ${ displaystyle 4b ^ {2} d ^ {2} (b ^ {4} -d ^ {4}) = (2bde) ^ {2}}$ , который сам является квадратом.) Таким образом, разрешимость этого уравнения эквивалентна существованию квадратного конгруума. Но если Последняя теорема Ферма были ложными для экспоненты ${ displaystyle n = 4}$ , то возведение в квадрат одного из трех чисел в любом контрпримере также даст три числа, которые решают это уравнение. Следовательно, доказательство Ферма того, что ни один треугольник Пифагора не имеет квадратной площади, означает, что это уравнение не имеет решения и что этот случай последней теоремы Ферма верен.^[8]

Другая эквивалентная формулировка той же проблемы включает: конгруэнтные числа, числа, представляющие собой площади прямоугольных треугольников, все три стороны которых равны рациональное число. Умножая стороны на общий знаменатель, любое конгруэнтное число может быть преобразовано в площадь треугольника Пифагора, из чего следует, что конгруэнтные числа - это в точности числа, образованные путем умножения конгруума на квадрат рационального числа. Таким образом, квадратного конгруума не существует. если и только если число 1 не является конгруэнтным числом.^[9]^[10] Точно так же невозможно квадрат (геометрическая форма) и прямоугольный треугольник, чтобы иметь равные площади и все стороны соразмерный друг с другом.^[6]

Эллиптическая кривая

Еще одна эквивалентная форма теоремы Ферма включает в себя эллиптическая кривая состоящий из точек, Декартовы координаты ${ Displaystyle (х, у)}$ удовлетворяют уравнению

{ displaystyle y ^ {2} = x (x + 1) (x-1).}

Это уравнение имеет очевидные пары решений (0,0), (1,0) и (−1,0). Теорема Ферма эквивалентна утверждению, что это единственные точки на кривой, для которых обе Икс и у рациональны.^[10]^[11]

Доказательство Ферма

В течение своей жизни Ферма бросил вызов нескольким другим математикам, чтобы доказать несуществование треугольника Пифагора с квадратной площадью, но сам не опубликовал это доказательство. Однако он написал доказательство в своем экземпляре Диофанта Бахе, который его сын обнаружил и опубликовал посмертно.^[1]^[6]^[12]

Доказательство Ферма - это доказательство бесконечным спуском. Он показывает, что из любого примера треугольника Пифагора с квадратной площадью можно вывести меньший пример. Так как треугольники Пифагора имеют положительные целые области и не существует бесконечной убывающей последовательности положительных целых чисел, не может существовать и треугольник Пифагора с квадратной площадью.^[1]^[6]

Более подробно, предположим, что ${ displaystyle x}$ , ${ displaystyle y}$ , и ${ displaystyle z}$ - целые стороны прямоугольного треугольника с квадратной площадью. Разделив на любые общие множители, можно предположить, что этот треугольник примитивен.^[6] и из известной формы всех примитивных троек Пифагора можно установить ${ displaystyle x = 2pq}$ , ${ displaystyle y = p ^ {2} -q ^ {2}}$ , и ${ displaystyle z = p ^ {2} + q ^ {2}}$ , с помощью которого задача трансформируется в поиск относительно простых целых чисел ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$ (один из которых четный) такой, что ${ displaystyle pq (p ^ {2} -q ^ {2})}$ квадратный. Четыре линейных фактора ${ displaystyle p}$ , ${ displaystyle q}$ , ${ displaystyle p + q}$ , и ${ displaystyle p-q}$ являются относительно простыми и поэтому сами должны быть квадратами; позволять ${ Displaystyle р + д = г ^ {2}}$ и ${ displaystyle p-q = s ^ {2}}$ . Обе ${ displaystyle r}$ и ${ displaystyle s}$ должно быть нечетным, так как ровно один из ${ displaystyle p}$ или же ${ displaystyle q}$ четное, а другое - нечетное. Следовательно, оба ${ displaystyle r-s}$ и ${ displaystyle r + s}$ четные, одно из которых делится на 4. Из этих двух чисел Ферма выводит еще два числа. ${ Displaystyle и = (р-с) / 2}$ и ${ Displaystyle v = (г + s) / 2}$ , одно из которых даже по предыдущему предложению. Потому что ${ displaystyle u ^ {2} + v ^ {2} = p}$ квадрат, ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ катеты другого примитивного треугольника Пифагора, площадь которого ${ Displaystyle (УФ) / 2 = д / 4}$ . С ${ displaystyle q}$ сам по себе является квадратом, и поскольку ${ displaystyle uv}$ даже, ${ displaystyle q / 4}$ это квадрат. Таким образом, любой треугольник Пифагора с квадратной площадью приводит к меньшему треугольнику Пифагора с квадратной площадью, завершая доказательство.^[1]^[6]^[8]

Рекомендации

^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж Эдвардс, Гарольд М. (2000), «1.6 Одно доказательство Ферма», Последняя теорема Ферма: генетическое введение в алгебраическую теорию чисел, Тексты для выпускников по математике, 50, Springer, стр. 10–14, ISBN 978-0-387-95002-0
^ Есть и современное доказательство французского академика Бернара Френикла де Бесси. Для обсуждения Ферма и этого автора см. Гольдштейн, Кэтрин (1995). Un theorème de Fermat et ses lecteurs. Сен-Дени: Press Universaires de Vincennes.
^ Брэдли, Майкл Джон (2006), Рождение математики: древние времена до 1300 г., Издательство Информационной базы, стр. 124, ISBN 978-0-8160-5423-7
^ Бейлер, Альберт Х. (1964), Развлечение в теории чисел: королева математики развлекает, Courier Corporation, стр. 153, ISBN 978-0-486-21096-4
^ Руда, Эйстейн (2012), Теория чисел и ее история, Courier Dover Corporation, стр. 202–203, ISBN 978-0-486-13643-1
^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж Диксон, Леонард Юджин (1999), «XXII. Уравнения четвертой степени. Сумма или разность двух биквадратов никогда не бывает квадратом; площадь рационального прямоугольного треугольника никогда не бывает квадратом», История теории чисел, Том 2, Американское математическое общество, стр. 615–626, ISBN 978-0-8218-1935-7
^ Тот факт, что не может быть двух прямоугольных треугольников, имеющих две стороны, и связь между этой проблемой и проблемой квадратов в арифметической прогрессии, описывается как «хорошо известный» Купер, Джошуа; Пуарель, Крис (2008), Пифагорова разбиение-регулярность и упорядоченные тройные системы со свойством суммы, 0809, п. 3478, г. arXiv:0809.3478, Bibcode:2008arXiv0809.3478C
^ ^а ^б ^c Стиллвелл, Джон (1998), «4.7 Площадь рациональных прямоугольных треугольников», Числа и геометрия, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, стр. 131–133, ISBN 978-0-387-98289-2
^ Конрад, Кит (Осень 2008 г.), «Проблема конгруэнтного числа» (PDF), Математический обзор Гарвардского колледжа, 2 (2): 58–73, архивировано с оригинал (PDF) 20 января 2013 г.
^ ^а ^б Коблиц, Нил (1984), Введение в эллиптические кривые и модульные формы, Тексты для выпускников по математике, вып. 97, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97966-2
^ Като, Казуя; Сайто, Такеши (2000), Теория чисел: мечта Ферма, Переводы математических монографий, перевод Нобусигэ Курокава, Американское математическое общество, стр. 17, ISBN 978-0-8218-0863-4
^ Другие доказательства см. Грант, Майк; Перелла, Малькольм (июль 1999 г.), «Спуск к иррациональному», Математический вестник, 83: 263–267.; Барбара, Рой (июль 2007 г.), "Последняя теорема Ферма в случае ${ displaystyle n = 4}$ ", Математический вестник, 91: 260–262.

[edwards-1] а ^б ^c ^d ^е ^ж Эдвардс, Гарольд М. (2000), «1.6 Одно доказательство Ферма», Последняя теорема Ферма: генетическое введение в алгебраическую теорию чисел, Тексты для выпускников по математике, 50, Springer, стр. 10–14, ISBN 978-0-387-95002-0

[2] Есть и современное доказательство французского академика Бернара Френикла де Бесси. Для обсуждения Ферма и этого автора см. Гольдштейн, Кэтрин (1995). Un theorème de Fermat et ses lecteurs. Сен-Дени: Press Universaires de Vincennes.

[3] Брэдли, Майкл Джон (2006), Рождение математики: древние времена до 1300 г., Издательство Информационной базы, стр. 124, ISBN 978-0-8160-5423-7

[4] Бейлер, Альберт Х. (1964), Развлечение в теории чисел: королева математики развлекает, Courier Corporation, стр. 153, ISBN 978-0-486-21096-4

[5] Руда, Эйстейн (2012), Теория чисел и ее история, Courier Dover Corporation, стр. 202–203, ISBN 978-0-486-13643-1

[dickson-6] а ^б ^c ^d ^е ^ж Диксон, Леонард Юджин (1999), «XXII. Уравнения четвертой степени. Сумма или разность двух биквадратов никогда не бывает квадратом; площадь рационального прямоугольного треугольника никогда не бывает квадратом», История теории чисел, Том 2, Американское математическое общество, стр. 615–626, ISBN 978-0-8218-1935-7

[7] Тот факт, что не может быть двух прямоугольных треугольников, имеющих две стороны, и связь между этой проблемой и проблемой квадратов в арифметической прогрессии, описывается как «хорошо известный» Купер, Джошуа; Пуарель, Крис (2008), Пифагорова разбиение-регулярность и упорядоченные тройные системы со свойством суммы, 0809, п. 3478, г. arXiv:0809.3478, Bibcode:2008arXiv0809.3478C

[stillwell-8] а ^б ^c Стиллвелл, Джон (1998), «4.7 Площадь рациональных прямоугольных треугольников», Числа и геометрия, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, стр. 131–133, ISBN 978-0-387-98289-2

[9] Конрад, Кит (Осень 2008 г.), «Проблема конгруэнтного числа» (PDF), Математический обзор Гарвардского колледжа, 2 (2): 58–73, архивировано с оригинал (PDF) 20 января 2013 г.

[koblitz-10] а ^б Коблиц, Нил (1984), Введение в эллиптические кривые и модульные формы, Тексты для выпускников по математике, вып. 97, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97966-2

[11] Като, Казуя; Сайто, Такеши (2000), Теория чисел: мечта Ферма, Переводы математических монографий, перевод Нобусигэ Курокава, Американское математическое общество, стр. 17, ISBN 978-0-8218-0863-4

[12] Другие доказательства см. Грант, Майк; Перелла, Малькольм (июль 1999 г.), «Спуск к иррациональному», Математический вестник, 83: 263–267.; Барбара, Рой (июль 2007 г.), "Последняя теорема Ферма в случае ${ displaystyle n = 4}$ ", Математический вестник, 91: 260–262.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]