Куб принца Руперта - Prince Ruperts cube

Единичный куб с прорезанным в нем отверстием, достаточно большим, чтобы позволить кубу принца Руперта пройти.

В геометрия, Куб принца Руперта (названный в честь Принц Руперт Рейнский ) самый большой куб который может проходить через отверстие, прорезанное в устройстве куб, т.е. через куб, длина сторон которого равна 1, без разделения куба на две части. Длина его стороны примерно на 6% больше, чем у единичного куба, через который он проходит. Проблема нахождения наибольшего квадрата, целиком лежащего в единичном кубе, тесно связана и имеет то же решение.^[1][2][3]

Первоначальное предложение, сформулированное Принц Руперт Рейнский состоял в том, что куб можно было пропустить через отверстие, сделанное в другом кубе того же размера не разбивая куб на две части.^[4]

Решение

Триметрическая проекция куба с единичной длиной стороны с отмеченными выбранными размерами - зеленая пунктирная линия показывает единичный квадрат (поперечное сечение единичного куба) в отверстии (синяя пунктирная линия)

Если две точки расположены на двух смежных ребрах единичного куба, каждая на расстоянии 3/4 от точки, где встречаются два ребра, то расстояние между двумя точками будет

${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\approx 1.0606601.}$

Эти две точки вместе со вторым набором из двух точек, расположенных симметрично на противоположной грани куба, образуют четыре вершины квадрата, полностью лежащего внутри единичного куба. Этот квадрат, выдавленный в обоих направлениях перпендикулярно самому себе, образует отверстие, через которое куб больше исходного (до длины стороны ${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {2}}}{4}}}$) может пройти.^[3]

Части единичного куба, оставшиеся после опустошения этого отверстия, образуют две треугольные призмы и два нерегулярных тетраэдры, соединенных тонкими перемычками в четырех вершинах квадрата. Каждая призма имеет своими шестью вершинами две смежные вершины куба и четыре точки вдоль ребер куба на расстоянии 1/4 от этих вершин куба. Каждый тетраэдр имеет в качестве четырех вершин одну вершину куба, две точки на расстоянии 3/4 от нее на двух соседних ребрах и одну точку на расстоянии 3/16 от вершины куба вдоль третьего смежного ребра.^[5]

Единичный куб с прорезанным в нем отверстием (3D модель)

История

Куб принца Руперта назван в честь Принц Руперт Рейнский. Согласно истории, рассказанной в 1693 году английским математиком Джон Уоллис Принц Руперт поспорил, что в кубе можно прорезать отверстие, достаточно большое, чтобы через него мог пройти другой куб такого же размера. Уоллис показал, что на самом деле такая дыра возможна (с некоторыми ошибками, которые не были исправлены намного позже), и принц Руперт выиграл свою ставку.^[1][2]

Уоллис предположил, что отверстие будет параллельно диагональ пространства куба. В проекция куба на плоскость, перпендикулярную этой диагонали, является правильный шестиугольник, а наилучшее отверстие, параллельное диагонали, можно найти, нарисовав самый большой квадрат, который может быть вписан в этот шестиугольник. Расчет размера этого квадрата показывает, что куб с длиной стороны

${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\approx 1.03527}$,

немного больше единицы, может проходить через отверстие.^[1]

Примерно 100 лет спустя голландский математик Питер Ньюланд обнаружили, что лучшее решение (по сути, оптимальное решение) может быть достигнуто при использовании отверстия с другим углом, чем диагональ пространства. Ньюланд умер в 1794 г. (через год после того, как занял должность профессора в Лейденский университет ), но его решение было опубликовано посмертно в 1816 году наставником Ньюланда, Жан Анри ван Суинден.^[1][2]

С тех пор проблема повторялась во многих книгах по развлекательная математика, в некоторых случаях с субоптимальным решением Уоллиса вместо оптимального решения.^{[3][5][6][7][8][9][10][11][4]}

Модели

Куб принца Руперта, напечатанный на 3D-принтере, с соотношением внутреннего куба к внешнему 1: 1.

Построение физической модели куба принца Руперта затруднено из-за точности, с которой такая модель должна быть измерена, и тонкости связей между оставшимися частями единичного куба после того, как в нем прорезано отверстие. Для внутреннего куба максимального размера с длиной 1,06 ... относительно внешнего куба длиной 1 построение модели было названо «математически возможным, но практически невозможным».^[12]

Для примера с использованием двух кубиков одинакового размера, как первоначально предложил принц Руперт, возможно построение модели. В обзоре проблемы 1950 г. Д. Дж. Э. Шрек опубликовал фотографии модели куба, проходящего через отверстие в другом кубе.^[13] Мартин Рейнсфорд разработал шаблон для построения бумажных моделей куба, через который проходит другой куб; однако, чтобы учесть допуски конструкции бумаги и не разорвать бумагу в узких стыках между частями проколотого куба, отверстие в модели Рейнсфорда пропускает только кубики, которые немного меньше внешнего куба.^[14]

С появлением 3D печать, создание куба принца Руперта с соотношением 1: 1 стало простым.^[15]

Обобщения

Многогранник п говорят, что имеет Руперт свойство, если многогранник того же или большего размера и такой же формы, что и п может пройти через дыру в п.^[16]Все пять Платоновы тела: куб, обычный тетраэдр, обычный октаэдр,^[17]обычный додекаэдр, и обычный икосаэдр, обладают собственностью Руперта.^[16] Было высказано предположение^[16] что все трехмерные выпуклые многогранники обладают этим свойством. п больше 2, п-мерный гиперкуб также обладает свойством Руперта.^[18]

Из 13 Архимедовы тела, известно, что эти девять обладают свойством Руперта: кубооктаэдр, усеченный октаэдр, усеченный куб, ромбокубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный додекаэдр.^[19] и усеченный тетраэдр.^[20][21]

Другой способ выразить ту же проблему - попросить квадрат который находится внутри единичного куба. В более общем смысле, Джеррард и Ветцель (2004) покажи как найти самый большой прямоугольник данного соотношение сторон который находится внутри единичного куба. Как они показывают, оптимальный прямоугольник всегда должен проходить через центр куба, а его вершины должны находиться на краях куба. На основе этого они показывают, в зависимости от желаемого соотношения сторон, что оптимальный прямоугольник должен либо лежать на плоскости, которая по диагонали пересекает четыре угла куба, либо он должен быть образован равнобедренным прямоугольным треугольником на одном углу куба. и двумя противоположными пунктами, как в случае проблемы принца Руперта.^[2] Если соотношение сторон не ограничено, прямоугольник с наибольшей площадью, которая умещается в кубе, - это тот, у которого два противоположных края куба являются двумя его сторонами, а две диагонали граней - двумя другими сторонами.^[22]

Как вариант, можно попросить самый большой ${\displaystyle m}$-мерный гиперкуб, который можно нарисовать внутри ${\displaystyle n}$-размерная единица гиперкуб. Ответ всегда алгебраическое число. Например, проблема для ${\displaystyle (m,n)=(3,4)}$ запрашивает самый большой куб в четырехмерном гиперкубе. После Мартин Гарднер задал этот вопрос в Scientific American, Кей Р. Печеник ДеВиччи и несколько других читателей показали, что ответ в случае (3,4) - это квадратный корень из двух меньших настоящие корни из многочлен ${\displaystyle 4x^{4}-28x^{3}-7x^{2}+16x+16}$, что составляет примерно 1,007435.^[3][23] За ${\displaystyle m=2}$, оптимальная длина стороны наибольшего квадрата в ${\displaystyle n}$-мерный гиперкуб либо ${\displaystyle {\sqrt {n/2}}}$ или же ${\displaystyle {\sqrt {n/2-3/8}}}$, в зависимости от того, ${\displaystyle n}$ четное или нечетное соответственно.^[24]

Рекомендации

1. Рики, В. Фредерик (2005), Волшебный квадрат Дюрера, кольца Кардано, куб принца Руперта и другие изящные вещи (PDF), заархивировано из оригинал (PDF) на 2010-07-05. Примечания к «Развлекательной математике: краткий курс в честь 300-летия Бенджамина Франклина», Математическая ассоциация Америки, Альбукерке, штат Нью-Мексико, 2–3 августа 2005 г.
2. Джеррард, Ричард П .; Ветцель, Джон Э. (2004), «Прямоугольники принца Руперта», Американский математический ежемесячник, 111 (1): 22–31, Дои:10.2307/4145012, JSTOR  4145012, МИСТЕР  2026310.
3. Гарднер, Мартин (2001), Колоссальная книга по математике: классические головоломки, парадоксы и проблемы: теория чисел, алгебра, геометрия, вероятности, топология, теория игр, бесконечность и другие темы развлекательной математики, W. W. Norton & Company, стр. 172–173, ISBN  9780393020236.
4. Пиковер, Клиффорд А. (2009), Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики, Sterling Publishing Company, Inc., стр. 214, г. ISBN  9781402757969.
5. Уэллс, Дэвид (1997), Словарь любопытных и интересных чисел Penguin (3-е изд.), Пингвин, стр. 16, ISBN  9780140261493.
6. Озанам, Жак (1803), Montucla, Жан Этьен; Хаттон, Чарльз (ред.), Развлечения по математике и натурфилософии: содержащие забавные диссертации и вопросы по самым примечательным и подходящим предметам для возбуждения любопытства и внимания всего круга математических и философских наук, Г. Кирсли, стр. 315–316..
7. Дудени, Генри Эрнест (1936), Современные головоломки и способы их решения, п. 149
8. Огилви, К. Стэнли (1956), Через Mathescope, Oxford University Press, стр. 54–55.. Печатается как Огилви, К. Стэнли (1994), Экскурсии по математике, Нью-Йорк: Dover Publications Inc., ISBN  0-486-28283-X, МИСТЕР  1313725.
9. Эренфойхт, Аниела (1964), Куб сделал интересным, Нью-Йорк: Macmillan Co., стр. 77, МИСТЕР  0170242. Перевод с польского Вацлава Завадовского.
10. Стюарт, Ян (2001), Флаттерленд: как Флатлэнд, только больше, Macmillan, стр. 49–50, ISBN  9780333783122.
11. Дорогая, Дэвид (2004), Универсальная книга математики: от абракадабры до парадоксов Зенона, John Wiley & Sons, стр. 255, ISBN  9780471667001.
12. Шрираман, Бхарат (2009), «Математика и литература (продолжение): воображение как путь к передовым математическим идеям и философии», в Шрирамане, Бхарат; Фрейман, Виктор; Лиретт-Питр, Николь (ред.), Междисциплинарность, творчество и обучение: математика с литературой, парадоксы, история, технологии и моделирование, Серия монографий для энтузиастов математики из штата Монтана в области математического образования, 7, Information Age Publishing, Inc., стр. 41–54, ISBN  9781607521013.
13. Шрек, Д. Дж. Э. (1950), "Проблема принца Руперта и ее расширение Питером Ньюландом", Scripta Mathematica, 16: 73–80 и 261–267. Как цитирует Рики (2005) и Джеррард и Ветцель (2004).
14. Харт, Джордж У. (30 января 2012 г.), Математический понедельник: прохождение куба через другой куб, Музей математики. Первоначально опубликовано в Сделать онлайн.
15. 3geek14, Куб принца Руперта, Shapeways, получено 2017-02-06.
16. Джеррард, Ричард П .; Ветцель, Джон Э .; Юань, Липин (апрель 2017 г.). «Платонические переходы». Математический журнал. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. 90 (2): 87–98. Дои:10.4169 / math.mag.90.2.87. S2CID  218542147.
17. Скриба, Кристоф Дж. (1968), "Проблема принца Рупрехта фон дер Пфальца", Praxis der Mathematik (на немецком), 10 (9): 241–246, МИСТЕР  0497615
18. Хубер, Грег; Шульц, Кей Печеник; Ветцель, Джон Э. (июнь – июль 2018 г.). «N-Cube - это Руперт». Американский математический ежемесячный журнал. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. 125 (6): 505–512. Дои:10.1080/00029890.2018.1448197. S2CID  51841349.
19. Чай, Инь; Юань, Липин; Замфиреску, Тюдор (июнь – июль 2018 г.). «Свойство Руперта архимедовых тел». Американский математический ежемесячный журнал. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. 125 (6): 497–504. Дои:10.1080/00029890.2018.1449505. S2CID  125508192.
20. Хоффманн, Балаш (2019). «Рупертовы свойства многогранников и обобщенная постоянная Ньивланда». J. Geom. График. 23 (1): 29–35.
21. Лавау, Жерар (декабрь 2019 г.). «Усеченный тетраэдр - это Руперт». Американский математический ежемесячный журнал. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. 126 (10): 929–932. Дои:10.1080/00029890.2019.1656958. S2CID  213502432.
22. Thompson, Silvanus P .; Гарднер, Мартин (1998), Расчет стал проще (3-е изд.), Macmillan, p. 315, ISBN  9780312185480.
23. Гай, Ричард К.; Новаковски, Ричард Дж. (1997), «Нерешенные проблемы: ежемесячные нерешенные проблемы, 1969–1997», Американский математический ежемесячник, 104 (10): 967–973, Дои:10.2307/2974481, JSTOR  2974481, МИСТЕР  1543116.
24. Вайсштейн, Эрик В. "Куб квадратной надписи". MathWorld.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Куб принца Руперта". MathWorld.