Приведенная стоимость - Present value

В экономика и финансы, приведенная стоимость (PV), также известный как приведенная дисконтированная стоимость, - величина ожидаемого потока доходов, определенная на дату оценки. Приведенная стоимость обычно меньше будущей стоимости, потому что деньги интерес - потенциал заработка, характеристика, называемая временная стоимость денег за исключением периодов нулевых или отрицательных процентных ставок, когда текущая стоимость будет равна или больше будущей стоимости.^[1] Временную стоимость можно описать упрощенной фразой: «Сегодня доллар стоит больше, чем доллар завтра». Здесь «стоит больше» означает, что его ценность выше. Доллар сегодня стоит больше, чем доллар завтра, потому что доллар можно инвестировать и заработать дневные проценты, в результате чего общая сумма будет накапливаться до стоимости, превышающей доллар к завтрашнему дню. Проценты можно сравнить с арендной платой.^[2] Так же, как арендная плата выплачивается арендодателю арендатором без права собственности на передаваемый актив, так и проценты кредитору выплачиваются заемщиком, который получает доступ к деньгам на некоторое время, прежде чем выплачивать их обратно. Предоставив заемщику доступ к деньгам, кредитор пожертвовал меновой стоимостью этих денег и получил компенсацию в виде процентов. Первоначальная сумма заемных средств (текущая стоимость) меньше общей суммы денег, выплаченных кредитору.

Расчет приведенной стоимости и аналогичный будущая стоимость расчеты, используются для оценки займы, ипотека, аннуитеты, амортизационные фонды, вечность, облигации, и больше. Эти расчеты используются для сравнения денежных потоков, которые не происходят одновременно,^[1] поскольку даты должны быть согласованы, чтобы можно было сравнивать значения. При выборе между проектами, в которые вкладывать средства, выбор может быть сделан путем сравнения соответствующих приведенных стоимостей таких проектов путем дисконтирования ожидаемых потоков доходов по соответствующей процентной ставке проекта или норме прибыли. Следует выбирать проект с наибольшей текущей стоимостью, т.е. наиболее ценный на сегодняшний день.

Покупка лет

Традиционный метод оценки будущих потоков доходов как суммы текущего капитала заключается в умножении среднего ожидаемого годового денежного потока на коэффициент, известный как «покупка за годы». Например, при продаже третьему лицу имущества, сданного в аренду арендатору по договору аренды на 99 лет с арендной платой в размере 10 000 долларов в год, сделка может быть заключена на условиях «20-летней покупки», в результате чего аренда будет оцениваться в 20 * 10 000 долларов США, т.е. 200 000 долларов США. Это равняется приведенной стоимости, дисконтированной на неограниченный срок, на уровне 5%. Для более рискованных инвестиций покупатель потребует оплатить меньшее количество лет покупки. Этот метод использовался, например, английской короной при установлении перепродажных цен на поместья, конфискованные в Роспуск монастырей в начале 16 века. Стандартное использование было 20-летней покупкой.^[3]

Фон

Если предлагается выбор между 100 долларами сегодня или 100 долларами через год и при наличии положительной реальной процентной ставки в течение года, при прочих равных условиях, рациональный человек сегодня выберет 100 долларов. Экономисты описывают это как предпочтение времени. Временные предпочтения могут быть измерены путем продажи с аукциона безрисковой ценной бумаги, такой как вексель Казначейства США. Если купон на 100 долларов с нулевым купоном, подлежащим выплате в течение одного года, продается сейчас за 80 долларов, то 80 долларов - это приведенная стоимость банкноты, которая через год будет стоить 100 долларов. Это связано с тем, что деньги можно положить на банковский счет или в любое другое (безопасное) вложение, которое принесет проценты в будущем.

У инвестора, у которого есть деньги, есть два варианта: потратить их прямо сейчас или сэкономить. Но финансовая компенсация за его сбережение (а не на его расходование) заключается в том, что денежная ценность будет расти за счет сложные проценты которые он или она получит от заемщика (банковский счет, на который он хранит деньги).

Следовательно, чтобы оценить реальную стоимость денежной суммы сегодня по прошествии определенного периода времени, экономические агенты складывают сумму денег по заданной (процентной) ставке. В большинстве актуарных расчетов используется безрисковая процентная ставка что соответствует минимальной гарантированной ставке, предоставляемой, например, сберегательным счетом банка, при отсутствии риска неисполнения обязательств банком для своевременного возврата денег владельцу счета. Для сравнения изменения покупательной способности реальная процентная ставка (номинальная процентная ставка минус инфляция rate) следует использовать.

Операция оценки приведенной стоимости в будущая стоимость называется капитализацией (сколько сегодня будет стоить 100 долларов через 5 лет?). Обратная операция - оценка приведенной стоимости будущей суммы денег - называется дисконтированием (сколько 100 долларов, полученных через 5 лет, например, в лотерее, будут стоить сегодня?).

Отсюда следует, что если кто-то должен выбрать между получением 100 долларов сегодня и 100 долларов через год, рациональным решением будет выбрать 100 долларов сегодня. Если деньги должны быть получены в течение одного года и предполагаемая процентная ставка по сберегательному счету составляет 5%, человеку следует предложить не менее 105 долларов в год, чтобы два варианта были эквивалентны (либо получение 100 долларов сегодня, либо получение 105 долларов за один год). Это связано с тем, что если на сберегательный счет депонируется 100 долларов, через год его стоимость составит 105 долларов, опять же без риска потери первоначальной суммы из-за дефолта банка.

Процентные ставки

Проценты - это дополнительная сумма денег, полученная между началом и концом периода времени. Интерес представляет временная стоимость денег, и ее можно рассматривать как ренту, которая требуется от заемщика для использования денег кредитора.^[2][4] Например, когда физическое лицо берет ссуду в банке, с него взимаются проценты. Или же, когда физическое лицо кладет деньги в банк, деньги приносят проценты. В этом случае банк является заемщиком средств и несет ответственность за зачисление процентов владельцу счета. Точно так же, когда физическое лицо инвестирует в компанию (через корпоративные облигации, или через акции ), компания заимствует средства и должна выплатить частному лицу проценты (в виде купонных выплат, дивиденды, или повышение курса акций).^[1]Процентная ставка - это изменение суммы денег в течение одного периода начисления сложных процентов, выраженное в процентах. Период начисления сложных процентов - это период времени, который должен пройти, прежде чем проценты будут начислены или добавлены к общей сумме.^[2] Например, проценты, начисляемые ежегодно, начисляются один раз в год, а период начисления сложных процентов составляет один год. Проценты, начисляемые ежеквартально, начисляются четыре раза в год, а период начисления сложных процентов составляет три месяца. Период начисления процентов может быть любой продолжительности, но некоторые общие периоды - ежегодно, раз в полгода, квартал, месяц, день и даже непрерывно.

Есть несколько типов и терминов, связанных с интерес тарифы:

• Сложные проценты, процент, который растет экспоненциально в последующие периоды,
• Простой интерес, аддитивный интерес, который не увеличивает
• Эффективная процентная ставка, эффективный эквивалент по сравнению с несколькими периодами сложных процентов
• Номинальная годовая процентная ставка, простая годовая процентная ставка нескольких процентных периодов
• Учетная ставка, обратная процентная ставка при выполнении расчетов в обратном порядке
• Постоянно начисляемые проценты, то математический предел процентной ставки с нулевым периодом времени.
• Реальная процентная ставка, который учитывает инфляцию.

Расчет

Операция по оценке существующей суммы денег когда-нибудь в будущем называется капитализацией (сколько 100 будет стоить сегодня через пять лет?). Обратная операция - оценка приведенной стоимости будущей суммы денег - называется дисконтированием (сколько 100, полученных через пять лет, будут стоить сегодня?).^[4]

Таблицы обычно предлагают функции для вычисления текущей стоимости. В Microsoft Excel есть функции приведенной стоимости для разовых платежей - «= ЧПС (...)» и серии равных периодических платежей - «= ПС (...)». Программы будут гибко рассчитывать приведенную стоимость для любого денежного потока и процентной ставки или для графика различных процентных ставок в разное время.

Текущая стоимость единовременной выплаты

Наиболее часто применяемая модель текущей оценки использует сложные проценты. Стандартная формула:

${\displaystyle PV={\frac {C}{(1+i)^{n}}}\,}$

Где ${\displaystyle \,C\,}$ это будущая сумма денег, которую нужно дисконтировать, ${\displaystyle \,n\,}$ - количество периодов начисления сложных процентов между текущей датой и датой, когда сумма стоит ${\displaystyle \,C\,}$, ${\displaystyle \,i\,}$ - процентная ставка за один период начисления сложных процентов (окончание периода начисления сложных процентов наступает, когда начисляются проценты, например, ежегодно, раз в полгода, квартал, ежемесячно, ежедневно). Процентная ставка, ${\displaystyle \,i\,}$, дается в процентах, но выражается в этой формуле в виде десятичной дроби.

Часто, ${\displaystyle v^{n}=\,(1+i)^{-n}}$ называется фактором текущей стоимости ^[2]

Это также можно найти в формула будущей стоимости с отрицательным временем.

Например, если вы должны получить 1000 долларов через пять лет, а эффективная годовая процентная ставка в течение этого периода составляет 10% (или 0,10), то приведенная стоимость этой суммы равна

${\displaystyle PV={\frac {\$1000}{(1+0.10)^{5}}}=\$620.92\,}$

Интерпретация заключается в том, что при эффективной годовой процентной ставке 10% физическому лицу будет безразлично получить 1000 долларов через пять лет или 620,92 доллара сегодня.^[1]

В покупательная способность в сегодняшних деньгах суммы ${\displaystyle \,C\,}$ денег, ${\displaystyle \,n\,}$ лет в будущее можно вычислить по той же формуле, где в данном случае ${\displaystyle \,i\,}$ предполагаемое будущее уровень инфляции.

Чистая приведенная стоимость потока денежных потоков

Денежный поток - это сумма денег, которая либо выплачена, либо получена, дифференцированная по отрицательному или положительному знаку, в конце периода. Обычно полученные денежные потоки обозначаются положительным знаком (общая сумма денежных средств увеличилась), а выплачиваемые денежные потоки обозначаются отрицательным знаком (общая сумма денежных средств уменьшилась). Денежный поток за период представляет собой чистое изменение денег за этот период.^[4] Расчет чистой приведенной стоимости, ${\displaystyle \,NPV\,}$, потока денежных потоков состоит из дисконтирования каждого денежного потока до настоящего времени с использованием коэффициента приведенной стоимости и соответствующего количества периодов начисления сложных процентов и объединения этих значений.^[1]

Например, если поток денежных средств состоит из + 100 долларов в конце первого периода, - 50 долларов в конце второго периода и + 35 долларов в конце третьего периода, а процентная ставка за период начисления сложных процентов составляет 5% ( 0,05), то приведенная стоимость этих трех денежных потоков составляет:

${\displaystyle PV_{1}={\frac {\$100}{(1.05)^{1}}}=\$95.24\,}$

${\displaystyle PV_{2}={\frac {-\$50}{(1.05)^{2}}}=-\$45.35\,}$

${\displaystyle PV_{3}={\frac {\$35}{(1.05)^{3}}}=\$30.23\,}$ соответственно

Таким образом, чистая приведенная стоимость будет:

${\displaystyle NPV=PV_{1}+PV_{2}+PV_{3}={\frac {100}{(1.05)^{1}}}+{\frac {-50}{(1.05)^{2}}}+{\frac {35}{(1.05)^{3}}}=95.24-45.35+30.23=80.12,}$

Следует сделать несколько соображений.

• Периоды могут быть непоследовательными. Если это так, показатели изменятся, чтобы отразить соответствующее количество периодов.
• Процентные ставки за период могут быть разными. Денежный поток должен быть дисконтирован с использованием процентной ставки для соответствующего периода: если процентная ставка изменяется, сумма должна быть дисконтирована до периода, в котором происходит изменение, с использованием второй процентной ставки, а затем дисконтирована до настоящего времени с использованием первой процентной ставки. .^[2] Например, если денежный поток за первый период составляет 100 долларов, а за второй - 200 долларов, а процентная ставка за первый период составляет 5%, а за второй - 10%, то чистая приведенная стоимость будет:

${\displaystyle NPV=100\,(1.05)^{-1}+200\,(1.10)^{-1}\,(1.05)^{-1}={\frac {100}{(1.05)^{1}}}+{\frac {200}{(1.10)^{1}(1.05)^{1}}}=\$95.24+\$173.16=\$268.40}$

• Процентная ставка обязательно должна совпадать со сроком выплаты. В противном случае необходимо изменить период выплаты или процентную ставку. Например, если заданная процентная ставка является эффективной годовой процентной ставкой, но денежные потоки поступают (и / или выплачиваются) ежеквартально, необходимо рассчитывать процентную ставку за квартал. Это можно сделать путем преобразования эффективной годовой процентной ставки, ${\displaystyle \,i\,}$, к номинальной годовой процентной ставке, составляемой ежеквартально:

${\displaystyle (1+i)=\left(1+{\frac {i^{4}}{4}}\right)^{4}}$^[2]

Здесь, ${\displaystyle i^{4}}$ - номинальная годовая процентная ставка, начисляемая ежеквартально, а процентная ставка за квартал составляет ${\displaystyle {\frac {i^{4}}{4}}}$

Приведенная стоимость аннуитета

Смотрите также: Аннуитет § Оценка

Многие финансовые договоренности (включая облигации, другие ссуды, аренду, заработную плату, членские взносы, аннуитеты, включая немедленную аннуитетную и аннуитетную выплату, линейные амортизационные отчисления) предусматривают структурированные графики платежей; выплаты одинаковой суммы через определенные промежутки времени. Такое расположение называется рента. Выражения для приведенной стоимости таких платежей: подведения итогов из геометрическая серия.

Существует два типа аннуитетов: немедленная аннуитетная и аннуитетная. Для немедленной выплаты аннуитета, ${\displaystyle \,n\,}$ платежи принимаются (или выплачиваются) в конце каждого периода, от 1 до ${\displaystyle \,n\,}$, в то время как для аннуитета, ${\displaystyle \,n\,}$ платежи принимаются (или выплачиваются) в начале каждого периода, временами от 0 до ${\displaystyle \,n-1\,}$.^[4] Эту небольшую разницу необходимо учитывать при расчете приведенной стоимости.

Аннуитет - это немедленный аннуитет с еще одним периодом начисления процентов. Таким образом, две приведенные стоимости различаются в разы ${\displaystyle (1+i)}$:

${\displaystyle PV_{\text{annuity due}}=PV_{\text{annuity immediate}}(1+i)\,\!}$^[2]

Приведенная стоимость немедленного аннуитета - это стоимость потока денежных потоков в момент времени 0:

${\displaystyle PV=\sum _{k=1}^{n}{\frac {C}{(1+i)^{k}}}=C\left[{\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\right],\qquad (1)}$

куда:

${\displaystyle \,n\,}$ = количество периодов,

${\displaystyle \,C\,}$ = сумма денежных потоков,

${\displaystyle \,i\,}$ = эффективная периодическая процентная ставка или доходность.

Примерный расчет аннуитета и кредита

Приведенная выше формула (1) для немедленных расчетов аннуитета мало что дает среднему пользователю и требует использования какого-либо вычислительного оборудования. Существует приближение, которое менее пугающе, его легче вычислить и которое дает некоторую информацию для неспециалистов. Это дается ^[5]

${\displaystyle C\approx PV\left({\frac {1}{n}}+{\frac {2}{3}}i\right)}$

Где, как указано выше, C - аннуитетный платеж, PV - основная сумма, n - количество платежей, начиная с конца первого периода, а i - процентная ставка за период. Эквивалентно C - это периодическое погашение ссуды для ссуды PV, продолжающейся n периодов под процентную ставку, т.е. Формула верна (для положительных n, i) для ni≤3. Для полноты картины при ni≥3 аппроксимация имеет вид ${\displaystyle C\approx PVi}$.

Формула может, при некоторых обстоятельствах, свести вычисления к одной только мысленной арифметике. Например, каковы (приблизительные) выплаты по ссуде на сумму PV = 10 000 долларов США, выплачиваемую ежегодно в течение n = десяти лет под 15% годовых (i = 0,15)? Применимая приблизительная формула: C ≈ 10 000 * (1/10 + (2/3) 0,15) = 10 000 * (0,1 + 0,1) = 10 000 * 0,2 = 2000 долларов США в год только по ментальной арифметике. Правильный ответ - 1993 $, очень близко.

Общее приближение имеет точность в пределах ± 6% (для всех n≥1) для процентных ставок 0≤i≤0,20 и в пределах ± 10% для процентных ставок 0,20≤i≤0,40. Однако он предназначен только для «грубых» расчетов.

Приведенная стоимость бессрочного права

А вечность относится к периодическим платежам, подлежащим получению на неопределенный срок, хотя таких инструментов мало. Приведенную стоимость бессрочного капитала можно рассчитать, взяв предел приведенной выше формулы как п приближается к бесконечности.

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {C}{i}}.\qquad (2)}$

Формулу (2) также можно найти, вычтя из (1) текущую стоимость бессрочного платежа с задержкой на n периодов, или напрямую суммируя приведенную стоимость платежей.

${\displaystyle PV=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {C}{(1+i)^{k}}}={\frac {C}{i}},\qquad i>0,}$

которые образуют геометрическая серия.

Опять же, существует различие между бессрочным немедленным платежом, когда платежи получены в конце периода, и бессрочным платежом, полученным в начале периода. И так же, как и при расчетах аннуитета, бессрочная задолженность и немедленная бессрочность различаются в разы. ${\displaystyle (1+i)}$:

${\displaystyle PV_{\text{perpetuity due}}=PV_{\text{perpetuity immediate}}(1+i)\,\!}$^[2]

PV облигации

Видеть: Оценка облигаций # Подход с использованием текущей стоимости

Корпорация выпускает связь, долговая ценная бумага, приносящая процентный доход, инвестору для сбора средств.^[4] Облигация имеет номинальную стоимость, ${\displaystyle F}$, купонная ставка, ${\displaystyle r}$, и срок погашения, который, в свою очередь, дает количество периодов до наступления срока погашения долга, который должен быть погашен. Держатель облигации будет получать купонные выплаты раз в полгода (если не указано иное) в размере ${\displaystyle Fr}$до наступления срока погашения облигации, после чего держатель облигации получит последнюю купонную выплату и номинальную стоимость облигации, ${\displaystyle F(1+r)}$.

Приведенная стоимость облигации - это цена покупки.^[2]Цена покупки может быть рассчитана как:

${\displaystyle PV=\left[\sum _{k=1}^{n}Fr(1+i)^{-k}\right]}$ ${\displaystyle +F(1+i)^{-n}}$

Цена покупки равна номинальной стоимости облигации, если купонная ставка равна текущей рыночной процентной ставке, и в этом случае говорят, что облигация продается «по номинальной стоимости». Если купонная ставка ниже рыночной процентной ставки, цена покупки будет меньше номинальной стоимости облигации, и считается, что облигация была продана «со скидкой» или ниже номинала. Наконец, если купонная ставка выше рыночной процентной ставки, цена покупки будет выше номинальной стоимости облигации, и считается, что облигация была продана «с премией» или выше номинала.^[4]

Технические детали

Приведенная стоимость составляет добавка. Приведенная стоимость пачки денежные потоки представляет собой сумму текущей стоимости каждого из них. Видеть временная стоимость денег Для дальнейшего обсуждения. Эти расчеты необходимо применять с осторожностью, поскольку есть основные предположения:

• Что не нужно учитывать цену инфляция или, альтернативно, стоимость инфляции включена в процентную ставку; видеть Облигации с индексом инфляции.
• Что вероятность получения платежей высока или, альтернативно, что обычный риск включается в процентную ставку; видеть Корпоративная облигация # Анализ рисков.

(Фактически, приведенная стоимость денежного потока при постоянной процентной ставке математически равна одному пункту Преобразование Лапласа этого денежного потока, оцениваемого с помощью переменной преобразования (обычно обозначаемой "s"), равной процентной ставке. Полное преобразование Лапласа - это кривая всех приведенных значений, построенная как функция процентной ставки. Для дискретного времени, когда платежи разделены большими периодами времени, преобразование сводится к сумме, но когда платежи осуществляются почти непрерывно, математика непрерывных функций можно использовать как приближение.)

Варианты / подходы

Есть в основном два вкуса Present Value. Всякий раз, когда возникает неопределенность как в сроках, так и в сумме денежных потоков, подход на основе ожидаемой приведенной стоимости часто будет подходящим методом.

• Традиционный подход к приведенной стоимости - в этом подходе для оценки справедливой стоимости будет использоваться единый набор предполагаемых денежных потоков и единая процентная ставка (соразмерная риску, обычно средневзвешенная стоимость компонентов).
• Подход ожидаемой приведенной стоимости - в этом подходе для оценки справедливой стоимости используются несколько сценариев денежных потоков с различной / ожидаемой вероятностью и безрисковой ставкой, скорректированной с учетом кредита.

Выбор процентной ставки

Используемая процентная ставка - это безрисковая процентная ставка если в проекте нет рисков. Норма прибыли от проекта должна быть равна или превышать эту норму прибыли, иначе было бы лучше инвестировать капитал в эти безрисковые активы. Если есть риски, связанные с инвестициями, это можно отразить с помощью премия за риск. Требуемая премия за риск может быть найдена путем сравнения проекта с нормой доходности, требуемой от других проектов с аналогичными рисками. Таким образом, инвесторы могут учитывать любую неопределенность, связанную с различными инвестициями.

Метод оценки по приведенной стоимости

Инвестор, ссудодатель денег, должен решить, в какой финансовый проект вложить свои деньги, и приведенная стоимость предлагает один из методов принятия решения.^[1]Финансовый проект требует первоначальных денежных затрат, таких как цена акций или цена корпоративной облигации. Проект утверждает, что возвращает первоначальные затраты, а также некоторые излишки (например, проценты или будущие денежные потоки). Инвестор может решить, в какой проект инвестировать, рассчитав приведенную стоимость каждого проекта (используя одинаковую процентную ставку для каждого расчета), а затем сравнив их. Будет выбран проект с наименьшей приведенной стоимостью - наименьшими начальными затратами, поскольку он предлагает такую ​​же доходность, как и другие проекты, за наименьшую сумму денег.^[2]

Смотрите также

• Бюджетирование капитала
• Дериватив (финансы)
• Пожизненная ценность
• Ликвидация
• Чистая приведенная стоимость

Рекомендации

1. Мойер, Чарльз; Уильям Кретлоу; Джеймс Макгиган (2011). Современный финансовый менеджмент (12-е изд.). Уинстед: Юго-Западное издательство, стр. 147–498. ISBN  9780538479172.
2. Броверман, Сэмюэл (2010). Математика инвестиций и кредита. Победил: Издательство ACTEX. С. 4–229. ISBN  9781566987677.
3. Юингс, Джойс, "Девонские монашеские земли: календарь подробностей для грантов 1536–1558", Девонское и Корнуоллское общество звукозаписи, Новая серия, Том 1, 1955 г.
4. Росс, Стивен; Рэндольф В. Вестерфилд; Брэдфорд Д. Джордан (2010). Основы корпоративных финансов (9-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 145–287. ISBN  9780077246129.
5. Свинглер, Д. Н., (2014), "Простое правило для расчета временной стоимости денег", Журнал личных финансов, Vol. 13, выпуск 2, с. 57-61

дальнейшее чтение

• Хендерсон, Дэвид Р. (2008). "Приведенная стоимость". Краткая энциклопедия экономики (2-е изд.). Индианаполис: Библиотека экономики и свободы. ISBN  978-0865976658. OCLC  237794267.