Прилиевая алгебра - Pre-Lie algebra

В математика, а предлиевая алгебра является алгебраическая структура на векторное пространство который описывает некоторые свойства объектов, например укоренившиеся деревья и векторные поля на аффинное пространство.

Понятие предлиевой алгебры было введено Мюррей Герстенхабер в своей работе над деформации алгебр.

Прилиевские алгебры рассматривались под некоторыми другими названиями, среди которых можно назвать левосимметрические алгебры, правосимметрические алгебры или алгебры Винберга.

Определение

Прилиевая алгебра ${\displaystyle (V,\triangleleft )}$ это векторное пространство ${\displaystyle V}$ с билинейной картой ${\displaystyle \triangleleft :V\otimes V\to V}$, удовлетворяющая соотношению${\displaystyle (x\triangleleft y)\triangleleft z-x\triangleleft (y\triangleleft z)=(x\triangleleft z)\triangleleft y-x\triangleleft (z\triangleleft y).}$

Это тождество можно рассматривать как инвариантность ассоциатор ${\displaystyle (x,y,z)=(x\triangleleft y)\triangleleft z-x\triangleleft (y\triangleleft z)}$ при обмене двух переменных ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$.

Каждый ассоциативная алгебра следовательно, также является предлиевой алгеброй, поскольку ассоциатор тождественно равен нулю. Несмотря на то, что это более слабое, чем ассоциативность, определяющее соотношение предлиевой алгебры по-прежнему означает, что коммутатор ${\displaystyle x\triangleleft y-y\triangleleft x}$ является скобкой Ли. В частности, тождество Якоби для коммутатора следует из цикла ${\displaystyle x,y,z}$ в определяющем соотношении для алгебр пред Ли, приведенном выше.

Примеры

Векторные поля на аффинном пространстве

Позволять ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ быть открытым соседством ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, параметризованный переменными ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$. Данные векторные поля ${\displaystyle u=u_{i}\partial _{x_{i}}}$, ${\displaystyle v=v_{j}\partial _{x_{j}}}$ мы определяем ${\displaystyle u\triangleleft v=v_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\partial x_{i}}$.

Разница между ${\displaystyle (u\triangleleft v)\triangleleft w}$ и ${\displaystyle u\triangleleft (v\triangleleft w)}$, является${\displaystyle (u\triangleleft v)\triangleleft w-u\triangleleft (v\triangleleft w)=v_{j}w_{k}{\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}\partial _{x_{i}}}$который симметричен по ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle w}$. Таким образом ${\displaystyle \triangleleft }$ определяет структуру предлиевой алгебры.

Учитывая многообразие ${\displaystyle M}$ и гомеоморфизмы ${\displaystyle \phi ,\phi '}$ из ${\displaystyle U,U'\subset \mathbb {R} ^{n}}$ к перекрывающимся открытым районам ${\displaystyle M}$, каждая из них определяет структуру предлиевой алгебры ${\displaystyle \triangleleft ,\triangleleft '}$ на векторных полях, определенных на перекрытии. Пока ${\displaystyle \triangleleft }$ не нужно соглашаться с ${\displaystyle \triangleleft '}$, их коммутаторы согласны: ${\displaystyle u\triangleleft v-v\triangleleft u=u\triangleleft 'v-v\triangleleft 'u=[v,u]}$, скобка Ли ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle u}$.

Деревья с корнями

Позволять ${\displaystyle \mathbb {T} }$ быть свободное векторное пространство охватывают все деревья с корнями.

Можно ввести билинейное произведение ${\displaystyle \curvearrowleft }$ на ${\displaystyle \mathbb {T} }$ следующее. Позволять ${\displaystyle \tau _{1}}$ и ${\displaystyle \tau _{2}}$ быть двумя корневыми деревьями.

${\displaystyle \tau _{1}\curvearrowleft \tau _{2}=\sum _{s\in \mathrm {Vertices} (\tau _{1})}\tau _{1}\circ _{s}\tau _{2}}$

куда ${\displaystyle \tau _{1}\circ _{s}\tau _{2}}$ корневое дерево, полученное добавлением к несвязному объединению ${\displaystyle \tau _{1}}$ и ${\displaystyle \tau _{2}}$ ребро, идущее из вершины ${\displaystyle s}$ из ${\displaystyle \tau _{1}}$ в корневую вершину ${\displaystyle \tau _{2}}$.

потом ${\displaystyle (\mathbb {T} ,\curvearrowleft )}$ это свободный предлиевая алгебра с одним образующим. В более общем смысле, свободная предлиевая алгебра на любом наборе образующих строится таким же образом из деревьев, каждая вершина которых помечена одним из образующих.

Рекомендации

• Chapoton, F .; Ливерне, М. (2001), "Алгебры до Ли и операда корневых деревьев", Уведомления о международных математических исследованиях, 8 (8): 395–408, Дои:10.1155 / S1073792801000198, МИСТЕР  1827084.
• Щесны, М. (2010), Прилиевские алгебры и категории инцидентности цветных корневых деревьев, 1007, п. 4784, г. arXiv:1007.4784, Bibcode:2010arXiv1007.4784S.