Лемма о пинг-понге - Ping-pong lemma

В математика, то лемма о пинг-понге, или же лемма о настольном теннисе, является любым из нескольких математических операторов, которые гарантируют, что несколько элементов в группе игра актеров на съемочной площадке свободно генерирует а свободный подгруппа этой группы.

История

Аргумент о пинг-понге восходит к концу 19 века и обычно приписывается^[1] к Феликс Кляйн кто использовал его для изучения подгрупп Клейнианские группы, то есть дискретных групп изометрий гиперболическое 3-пространство или, что то же самое Преобразования Мебиуса из Сфера Римана. Лемма о пинг-понге была ключевым инструментом, использованным Жак Титс в его статье 1972 года^[2] содержащее доказательство известного результата, теперь известного как Альтернатива сисек. Результат утверждает, что конечно порожденный линейная группа либо практически разрешимый или содержит свободный подгруппа второго ранга. Лемма о пинг-понге и ее варианты широко используются в геометрическая топология и геометрическая теория групп.

Современные версии леммы о пинг-понге можно найти во многих книгах, таких как Lyndon & Schupp,^[3] де ла Харп^[1] Бридсон и Хефлигер^[4] и другие.

Формальные заявления

Лемма о пинг-понге для нескольких подгрупп

Эта версия леммы о пинг-понге гарантирует, что несколько подгруппы группы, действующей на множестве, порождают бесплатный продукт. Следующее заявление появляется в^[5], и доказательство из^[1].

Позволять грамм быть группой, действующей на множестве Икс и разреши ЧАС₁, ЧАС₂,...., ЧАС_k быть нетривиальными подгруппами в грамм куда k≥2, такое, что хотя бы одна из этих подгрупп имеет порядок больше 2. Предположим, что существуют попарно непересекающиеся непустые подмножества Икс₁, Икс₂,....,Икс_k из Икс такое, что имеет место следующее:

• Для любого я≠s и для любого час∈ЧАС_я, час≠ 1 имеем час(Икс_s)⊆Икс_я.

потом

${displaystyle langle H_{1},dots ,H_{k}angle =H_{1}ast dots ast H_{k}.}$

Доказательство

По определению свободного произведения достаточно проверить, что данное (непустое) приведенное слово представляет собой нетривиальный элемент ${displaystyle G}$. Позволять ${displaystyle w}$ быть таким длинным словом ${displaystyle mgeq 2}$, и разреши

${displaystyle w=prod _{i=1}^{m}w_{i},}$

куда ${ extstyle w_{i}in H_{alpha _{i}}}$ для некоторых ${ extstyle alpha _{i}in {1,dots ,k}}$. С ${ extstyle w}$ сокращается, имеем ${displaystyle alpha _{i}eq alpha _{i+1}}$для любого ${displaystyle i=1,dots ,m-1}$ и каждый ${displaystyle w_{i}}$ отличается от элемента идентичности ${displaystyle H_{alpha _{i}}}$. Затем мы позволяем ${displaystyle w}$ воздействовать на элемент одного из наборов ${displaystyle X_{i}}$. Поскольку мы предполагаем, что хотя бы одна подгруппа ${displaystyle H_{i}}$ имеет порядок не менее 3, без ограничения общности можно считать, что ${displaystyle H_{1}}$ имеет порядок не менее 3. Сначала сделаем предположение, что ${displaystyle alpha _{1}}$и ${displaystyle alpha _{m}}$ оба равны 1 (что означает ${displaystyle mgeq 3}$). Отсюда мы считаем ${displaystyle w}$ действующий на ${displaystyle X_{2}}$. Получаем следующую цепочку сдерживаний:

${displaystyle w(X_{2})subseteq prod _{i=1}^{m-1}w_{i}(X_{1})subseteq prod _{i=1}^{m-2}w_{i}(X_{alpha _{m-1}})subseteq dots subseteq w_{1}(X_{alpha _{2}})subseteq X_{1}.}$

По предположению, что разные ${displaystyle X_{i}}$не пересекаются, мы заключаем, что ${displaystyle w}$ действует нетривиально на некотором элементе ${displaystyle X_{2}}$, таким образом ${displaystyle w}$ представляет собой нетривиальный элемент ${displaystyle G}$.

Чтобы завершить доказательство, мы должны рассмотреть три случая:

• если ${displaystyle alpha _{1}=1,,alpha _{m}eq 1}$, тогда пусть ${displaystyle hin H_{1}setminus {w_{1}^{-1},1}}$ (такой ${displaystyle h}$ существует, поскольку по предположению ${displaystyle H_{1}}$ имеет порядок минимум 3);
• если ${displaystyle alpha _{1}eq 1,,alpha _{m}=1}$, тогда пусть ${displaystyle hin H_{1}setminus {w_{m},1}}$;
• и если ${displaystyle alpha _{1}eq 1,,alpha _{m}eq 1}$, тогда пусть ${displaystyle hin H_{1}setminus {1}}$.

В каждом случае, ${displaystyle hwh^{-1}}$после сокращения становится сокращенным словом с первой и последней буквой в ${displaystyle H_{1}}$. Ну наконец то, ${displaystyle hwh^{-1}}$представляет собой нетривиальный элемент ${displaystyle G}$, и то же самое ${displaystyle w}$. Это доказывает утверждение.

Лемма о пинг-понге для циклических подгрупп

Позволять грамм быть группой игра актеров на съемочной площадке Икс. Позволять а₁,...,а_k быть элементами грамм бесконечного порядка, где k ≥ 2. Предположим, что существуют непересекающиеся непустые подмножества

Икс₁⁺,...,Икс_k⁺ и Икс₁^–,...,Икс_k^–

из Икс со следующими свойствами:

• а_я(Икс − Икс_я^–) ⊆ Икс_я⁺ за я = 1, ..., k;
• а_я⁻¹(Икс − Икс_я⁺) ⊆ Икс_я^– за я = 1, ..., k.

Тогда подгруппа ЧАС = <а₁, ..., а_k> ≤ грамм генерируется к а₁, ..., а_k является свободный на бесплатной основе {а₁, ..., а_k}.

Доказательство

Это утверждение следует как следствие версии для общих подгрупп, если мы положим Икс_я= Икс_я⁺∪Икс_я⁻ и разреши ЧАС_я = ⟨а_я⟩.

Примеры

Пример специальной линейной группы

Лемму о пинг-понге можно использовать для доказательства^[1] что подгруппа ЧАС = <А,B> ≤SL (2,Z), порожденные матрицами

${displaystyle scriptstyle A={egin{pmatrix}1&2�&1end{pmatrix}}}$ и ${displaystyle scriptstyle B={egin{pmatrix}1&02&1end{pmatrix}}}$

является свободный второго ранга.

Доказательство

Действительно, пусть ЧАС₁ = <А> и ЧАС₂ = <B> быть циклический подгруппы SL (2,Z) создано А и B соответственно. Нетрудно проверить, что A и B - элементы бесконечного порядка в SL (2,Z) и что

${displaystyle H_{1}={A^{n}|nin mathbb {Z} }=left{{egin{pmatrix}1&2n�&1end{pmatrix}}:nin mathbb {Z} ight}}$

и

${displaystyle H_{2}={B^{n}|nin mathbb {Z} }=left{{egin{pmatrix}1&02n&1end{pmatrix}}:nin mathbb {Z} ight}.}$

Рассмотрим стандартное действие SL (2,Z) на р² к линейные преобразования. Положить

${displaystyle X_{1}=left{{egin{pmatrix}xyend{pmatrix}}in mathbb {R} ^{2}:|x|>|y|ight}}$

и

${displaystyle X_{2}=left{{egin{pmatrix}xyend{pmatrix}}in mathbb {R} ^{2}:|x|<|y|ight}.}$

Это несложно проверить, используя приведенное выше явное описание ЧАС₁ и ЧАС₂ что для каждого нетривиального грамм ∈ ЧАС₁ у нас есть грамм(Икс₂) ⊆ Икс₁ и что для каждого нетривиального грамм ∈ ЧАС₂ у нас есть грамм(Икс₁) ⊆ Икс₂. Используя альтернативную форму леммы о пинг-понге для двух подгрупп, приведенных выше, мы заключаем, что ЧАС = ЧАС₁∗ЧАС₂. Поскольку группы ЧАС₁ и ЧАС₂ находятся бесконечный циклический, следует, что ЧАС это свободная группа второго ранга.

Пример слова-гиперболической группы

Позволять грамм быть словесно-гиперболическая группа который без кручения, то есть без нетривиальных элементов конечных порядок. Позволять грамм, час ∈ грамм - два некоммутирующих элемента, то есть такие, что gh ≠ hg. Тогда существует M≥1 такое, что для любых целых чисел п ≥ M, м ≥ M подгруппа H = <грамм^п, час^м> ≤ грамм является свободный второго ранга.

Набросок доказательства^[6]

Группа грамм действует на его гиперболическая граница ∂грамм к гомеоморфизмы. Известно, что если а ∈ грамм является нетривиальным элементом, то а имеет ровно две различные неподвижные точки, а^∞ и а^−∞ в ∂грамм и это а^∞ является привлечение фиксированной точки пока а^−∞ это отталкивающая фиксированная точка.

С грамм и час не ездить на работу, основные факты о словесно-гиперболические группы подразумевают, что грамм^∞, грамм^−∞, час^∞ и час^−∞ четыре различные точки на ∂грамм. Взять непересекающийся окрестности U₊, U_–, V₊ и V_– из грамм^∞, грамм^−∞, час^∞ и час^−∞ в ∂грамм соответственно. Тогда притягивающие / отталкивающие свойства неподвижных точек грамм и час подразумевают, что существует M ≥ 1 такое, что для любых целых чисел п ≥ M, м ≥ M у нас есть:

• грамм^п(∂грамм – U_–) ⊆ U₊
• грамм^−п(∂грамм – U₊) ⊆ U_–
• час^м(∂грамм – V_–) ⊆ V₊
• час^−м(∂грамм – V₊) ⊆ V_–

Из леммы о пинг-понге следует, что ЧАС = <грамм^п, час^м> ≤ грамм является свободный второго ранга.

Приложения леммы о пинг-понге

• Лемма о пинг-понге используется в Клейнианские группы изучить их так называемые Подгруппы Шоттки. В контексте клейновских групп лемма о пинг-понге может использоваться, чтобы показать, что конкретная группа изометрий гиперболическое 3-пространство это не просто свободный но также правильно прерывистый и геометрически конечный.
• Подобные аргументы типа Шоттки широко используются в геометрическая теория групп, особенно для подгрупп словесно-гиперболические группы^[6] и для групп автоморфизмов деревьев.^[7]
• Лемма о пинг-понге используется также для изучения подгрупп типа Шоттки в отображение групп классов из Римановы поверхности, где множество, на котором действует группа классов отображений, является границей Терстона Пространство Тейхмюллера.^[8] Аналогичный аргумент также используется при изучении подгрупп группы группа внешних автоморфизмов из свободная группа.^[9]
• Одно из самых известных приложений леммы о пинг-понге - доказательство Жак Титс так называемых Альтернатива сисек за линейные группы.^[2] (смотрите также ^[10] для обзора доказательства Титса и объяснения задействованных идей, включая использование леммы о пинг-понге).
• Существуют обобщения леммы о пинг-понге, которые дают не только бесплатные продукты но также объединенные бесплатные продукты и Расширения HNN.^[3] Эти обобщения используются, в частности, при доказательстве теоремы Маскита о комбинации для Клейнианские группы.^[11]
• Существуют также версии леммы о пинг-понге, которые гарантируют, что несколько элементов в группе порождают свободная полугруппа. Такие версии доступны как в общем контексте групповое действие на съемочной площадке,^[12] и для определенных типов действий, например в контексте линейные группы,^[13] группы действуя на деревья^[14] и другие.^[15]

Рекомендации

1. Пьер де ла Харп. Разделы геометрической теории групп. Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета, Чикаго. ISBN  0-226-31719-6; Гл. II.B «Лемма о настольном теннисе (критерий Клейна) и примеры бесплатных продуктов»; С. 25–41.
2. Дж. Титс. Свободные подгруппы в линейных группах.^{[мертвая ссылка ]} Журнал алгебры, т. 20 (1972), стр. 250–270
3. Роджер С. Линдон и Пол Э. Шупп. Комбинаторная теория групп. Springer-Verlag, New York, 2001. Серия "Классика в математике", перепечатка издания 1977 года. ISBN  978-3-540-41158-1; Глава II, Раздел 12, стр. 167–169
4. Мартин Р. Бридсон и Андре Хефлигер. Метрические пространства неположительной кривизны. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], 319. Springer-Verlag, Berlin, 1999. ISBN  3-540-64324-9; Глава III.Г, стр. 467–468
5. Андрей Олижник и Виталий Суччанский. Представления свободных произведений бесконечными унитреугольными матрицами над конечными полями. Международный журнал алгебры и вычислений. Vol. 14 (2004), нет. 5–6, стр. 741–749; Лемма 2.1.
6. М. Громов. Гиперболические группы. Очерки теории групп, стр. 75–263, публикации Института математических наук, 8, Спрингер, Нью-Йорк, 1987; ISBN  0-387-96618-8; Гл. 8.2. С. 211–219.
7. Александр Любоцкий. Решетки в группах Ли ранга один над локальными полями. Геометрический и функциональный анализ, т. 1 (1991), нет. 4. С. 406–431.
8. Ричард П. Кент и Кристофер Дж. Лейнингер. Подгруппы групп классов отображений с геометрической точки зрения. В традициях Альфорс-Берс. IV, стр. 119–141, Серия «Современная математика», 432, стр. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2007; ISBN  978-0-8218-4227-0; 0-8218-4227-7
9. М. Бествина, М. Файн и М. Гендель. Ламинирования, деревья и неприводимые автоморфизмы свободных групп. Геометрический и функциональный анализ, т. 7 (1997), нет. 2. С. 215–244.
10. Пьер де ла Харп. Свободные группы в линейные группы. L'Enseignement Mathématique (2), т. 29 (1983), нет. 1-2, стр. 129–144
11. Бернард Маскит.Клейновы группы. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], 287. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ISBN  3-540-17746-9; Гл. VII.C и гл. VII.E стр. 149–156 и стр. 160–167
12. Пьер де ла Харп. Разделы геометрической теории групп. Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета, Чикаго. ISBN  0-226-31719-6; Гл. II.B «Лемма о настольном теннисе (критерий Клейна) и примеры бесплатных продуктов»; С. 187–188.
13. Алекс Эскин, Шахар Мозес и Хи О. О равномерном экспоненциальном росте линейных групп. Inventiones Mathematicae. т. 60 (2005), нет. 1. С. 1432–1297; Лемма 2.2.
14. Роджер С. Альперин и Геннади А. Носков. Равномерный рост, действия на деревья и GL₂. Вычислительная и статистическая теория групп: Специальная сессия AMS Геометрическая теория групп, 21–22 апреля 2001 г., Лас-Вегас, Невада, Специальная сессия AMS Computational Group Theory, 28–29 апреля 2001 г., Хобокен, Нью-Джерси. (Роберт Х. Гилман, Владимир Шпильрайн, Алексей Георгиевич Мясников, редакторы). Американское математическое общество, 2002. ISBN  978-0-8218-3158-8; стр. 2, лемма 3.1
15. Ив де Корнюлье и Ромен Тессера. Квазиизометрически вложенные свободные подполугруппы. Геометрия и топология, т. 12 (2008), стр. 461–473; Лемма 2.1.

Смотрите также

• Бесплатная группа
• Бесплатный продукт
• Клейнианская группа
• Альтернатива сисек
• Слово-гиперболическая группа
• Группа Шоттки