Частичный волновой анализ - Partial wave analysis

Частичный волновой анализ, в контексте квантовая механика, относится к способу решения рассеяние проблемы, разложив каждую волну на составляющие угловой момент компоненты и решения с использованием граничные условия.

Предварительная теория рассеяния

Следующее ниже описание следует каноническому способу введения элементарной теории рассеяния. Устойчивый пучок частиц рассеивается на сферически-симметричном потенциале ${\displaystyle V(r)}$, который является короткодействующим, поэтому на больших расстояниях ${\displaystyle r\to \infty }$, частицы ведут себя как свободные частицы. В принципе, любую частицу следует описывать волновой пакет но мы описываем рассеяние плоская волна путешествие по оси z ${\displaystyle \exp(ikz)}$ вместо этого, потому что волновые пакеты расширяются в виде плоских волн, и это математически проще. Поскольку луч включается на время, большее, чем время взаимодействия частиц с рассеивающим потенциалом, предполагается установившееся состояние. Это означает, что стационарное уравнение Шредингера для волновой функции ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$ представляющий пучок частиц, следует решить:

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)\right]\Psi (\mathbf {r} )=E\Psi (\mathbf {r} )}$

Мы делаем следующие анзац:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\Psi _{0}(\mathbf {r} )+\Psi _{\mathrm {s} }(\mathbf {r} )}$

куда ${\displaystyle \Psi _{0}(\mathbf {r} )\propto \exp(ikz)}$ - приходящая плоская волна и ${\displaystyle \Psi _{\mathrm {s} }(\mathbf {r} )}$ - рассеянная часть, возмущающая исходную волновую функцию. Это асимптотика ${\displaystyle \Psi _{\mathrm {s} }(\mathbf {r} )}$ это представляет интерес, поскольку наблюдения вблизи центра рассеяния (например, ядра атома) в большинстве случаев невозможны, а обнаружение частиц происходит вдали от источника. На больших расстояниях частицы должны вести себя как свободные частицы и ${\displaystyle \Psi _{\mathrm {s} }(\mathbf {r} )}$ следовательно, должно быть решением свободного уравнения Шредингера. Это говорит о том, что она должна иметь форму, аналогичную плоской волне, без каких-либо физически бессмысленных частей. Поэтому мы исследуем расширение плоской волны:

${\displaystyle e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta )}$.

Сферический Функция Бесселя ${\displaystyle j_{\ell }(kr)}$ асимптотически ведет себя как

${\displaystyle j_{\ell }(kr)\to {\frac {1}{2ikr}}\left(\exp(i(kr-l\pi /2))-\exp(-i(kr-l\pi /2))\right).}$

Это соответствует уходящей и входящей сферической волне. Для функции рассеянной волны ожидаются только уходящие части. Поэтому мы ожидаем ${\displaystyle \Psi _{\mathrm {s} }(\mathbf {r} )\propto \exp(ikr)/r}$ на больших расстояниях и зададим асимптотику рассеянной волны равной

${\displaystyle \Psi _{\mathrm {s} }(\mathbf {r} )\to f(\theta ,k){\frac {\exp(ikr)}{r}}}$

куда ${\displaystyle f(\theta ,k)}$ так называемый амплитуда рассеяния, который в данном случае зависит только от угла места ${\displaystyle \theta }$ и энергии, что дает следующее асимптотическое выражение для всей волновой функции:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\to \Psi ^{(+)}(\mathbf {r} )=\exp(ikz)+f(\theta ,k){\frac {\exp(ikr)}{r}}}$.

Частичное волновое расширение

В случае сферически-симметричного потенциала ${\displaystyle V(\mathbf {r} )=V(r)}$волновую функцию рассеяния можно разложить по сферические гармоники которые сводятся к Полиномы Лежандра из-за азимутальной симметрии (нет зависимости от ${\displaystyle \phi }$):

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {u_{\ell }(r)}{r}}P_{\ell }(\cos \theta )}$.

В стандартной задаче рассеяния предполагается, что входящий луч принимает форму плоской волны с волновым числом k, которые можно разложить на парциальные волны с помощью расширение плоской волны с точки зрения сферические функции Бесселя и Полиномы Лежандра:

${\displaystyle \psi _{\text{in}}(\mathbf {r} )=e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta )}$

Здесь мы приняли сферическую систему координат, в которой z- ось совмещена с направлением луча. Радиальная часть этой волновой функции состоит исключительно из сферической функции Бесселя, которую можно переписать в виде суммы двух сферические функции Ганкеля:

${\displaystyle j_{\ell }(kr)={\frac {1}{2}}\left(h_{\ell }^{(1)}(kr)+h_{\ell }^{(2)}(kr)\right)}$

Это имеет физическое значение: час_ℓ⁽²⁾ асимптотически (т.е. при больших р) ведет себя как я^−(ℓ+1)е^икр/(кр) и, таким образом, является уходящей волной, тогда как час_ℓ⁽¹⁾ асимптотически ведет себя как я^ℓ+1е^−ikr/(кр) и, следовательно, является приходящей волной. На приходящую волну не влияет рассеяние, а на исходящую волну влияет фактор, известный как парциальная волна S-матрица элемент S_ℓ:

${\displaystyle {\frac {u_{\ell }(r)}{r}}{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {i^{\ell }k}{\sqrt {2\pi }}}\left(h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }h_{\ell }^{(2)}(kr)\right)}$

куда ты_ℓ(р)/р - радиальная составляющая реальной волновой функции. В фазовый сдвиг рассеяния δ_ℓ определяется как половина фазы S_ℓ:

${\displaystyle S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}}$

Если поток не теряется, то |S_ℓ| = 1 и, следовательно, фазовый сдвиг реален. Обычно это так, если потенциал не имеет мнимой поглощающей составляющей, которая часто используется в феноменологические модели для моделирования потерь из-за других каналов реакции.

Следовательно, полная волновая функция асимптотически равна

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }{\frac {h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }h_{\ell }^{(2)}(kr)}{2}}P_{\ell }(\cos \theta )}$

Вычитание ψ_в дает асимптотическую исходящую волновую функцию:

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }{\frac {S_{\ell }-1}{2}}h_{\ell }^{(2)}(kr)P_{\ell }(\cos \theta )}$

Используя асимптотику сферических функций Ганкеля, получаем:

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}P_{\ell }(\cos \theta )}$

Поскольку амплитуда рассеяния ж(θ, k) определяется через:

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {e^{ikr}}{r}}f(\theta ,k)}$

Следует, что

${\displaystyle f(\theta ,k)=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}P_{\ell }(\cos \theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}P_{\ell }(\cos \theta )}$

и таким образом дифференциальное сечение дан кем-то

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta ,k)|^{2}={\frac {1}{k^{2}}}\left|\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )\right|^{2}}$

Это работает для любого краткосрочного взаимодействия. Для дальнодействующих взаимодействий (таких как кулоновское взаимодействие) суммирование по ℓ может не сходиться. Общий подход к таким задачам состоит в рассмотрении кулоновского взаимодействия отдельно от короткодействующего взаимодействия, поскольку кулоновская проблема может быть решена точно в терминах Кулоновские функции, которые берут на себя роль функций Ганкеля в этой задаче.

Рекомендации

• Гриффитс, Дж. Д. (1995). Введение в квантовую механику. Пирсон Прентис Холл. ISBN  0-13-111892-7.

внешняя ссылка

• Частичный волновой анализ для чайников
• Частично-волновой анализ рассеяния.